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8. (2025春·新华区期中)如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断(AB⊥地面)，其树顶端恰好落在树乙(乙⊥地面)的根部C处.若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为
19
米.答案
8. 如图所示:延长AB,过点C作CD⊥AB延长线于点D,由题意可得:CD=12米,AB=4米,BC=13米,在Rt△BCD中,$BD=\sqrt{BC^2−DC^2}=5$米,即AD=AB+BD=9米,在Rt△ACD中,$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$(米),故AC+AB=15+4=19(米).答:这棵树原来的高度是19米.故答案为:19.
9.（2024秋·宿迁期末）如图1是由四片门扇连接成的折叠门，轨道装在天花板上，图2是示意图。已知轨道AB=110 cm，在推拉合页C或E时，滚轮D，F在轨道上移动，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道。已知每小片门扇宽度均相等，则AC=CD=DE=EF。刚开始门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时，AC//DE，∠A=60°，此时门被关上部分的长AF；接着继续向右拉门扇，位置如图3时，∠C'D'E'=90°，AD':D'F'=6:8，此时门被关上部分的长AF'，那么AF'比AF长多少厘米？
答案
9.
∵ 轨道AB=110 cm,AC=CD=DE=EF,
∴ AC=CD=DE=EF=$\frac{1}{4}AB=\frac{55}{2}$ cm.
∵ ∠A = 60°, AC // DE,
∴ ∠EDF=∠A=60°,
∴ △ACD和△DEF是等边三角形,
∴ AD = DF = $\frac{55}{2}$ cm,
∴ AF = 55 cm. 作C'M⊥AB于点M,E'N⊥AB于点N,
∴ ∠C'MD'=∠E'ND' = 90°, $MD'=\frac{1}{2}AD'$, $ND'=\frac{1}{2}D'F'$,
∴ ∠MC'D'+∠MD'C' = 90°.
∵ ∠C'D'E' = 90°,
∴ ∠MD'C'+∠ND'E' = 90°,
∴ ∠MC'D' = ∠ND'E'. 又
∵ C'D' = D'E',
∴ △C'MD' ≅ △D'NE'(AAS),
∴ C'M = D'N.
∵ AD' : D'F' = 6 : 8,
∴ MD' : ND' = 6 : 8,
∴ MD' : C'M = 6 : 8,设MD'为6x cm,则C'M为8x cm. 在Rt△C'D'M中,$C'M^2+MD'^2=C'D'^2$,
∴ C'M = 22 cm, $D'M=\frac{33}{2}$ cm,
∴ D'N=22 cm,
∴ AD' = 33 cm, D'F' = 44 cm,
∴ AF'比AF长33+44−55=22(cm).
10. (2025春·思明区期中)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图. 根据安全标准需满足$AB⊥BD$，现测得$AB=CD=6\ \mathrm{dm}$，$BC=3\ \mathrm{dm}$，$AD=9\ \mathrm{dm}$，其中$BC$与$CD$之间由一个固定为$90°$的零件连接(即$∠ BCD=90°$)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
10. 该车符合安全标准,理由:在Rt△ABD中,由勾股定理得:$BD^2=AD^2−AB^2=9^2−6^2=45$,
∵ BC=3 dm,CD=6 dm,
∴ $BC^2+CD^2=3^2+6^2=45$,
∴ $BC^2+CD^2=BD^2$,
∴ △BCD 是直角三角形,且∠BCD = 90°,
∴ BC⊥CD,
∴ 该车符合安全标准.
∵ BC=3 dm,CD=6 dm,
∴ $BC^2+CD^2=3^2+6^2=45$,
∴ $BC^2+CD^2=BD^2$,
∴ △BCD 是直角三角形,且∠BCD = 90°,
∴ BC⊥CD,
∴ 该车符合安全标准.
11. (2024秋·镇江期中)小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25…,他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成.
(1) 小明根据他的发现写出了这样一组数:9,40,41,这是一组勾股数吗,请给出证明.
(2) 为了进一步探究这组勾股数的构成规律,小明设这样的勾股数为$m,n,n+1$($m$为大于1的奇数,且$m＜n$),他猜想是否可以用$m$表示出$n$.若可以,请帮小明完成他的猜想,若不可以,请说明理由.
(3) 当奇数$m=17$时,请直接写出这组勾股数.
(1) 小明根据他的发现写出了这样一组数:9,40,41,这是一组勾股数吗,请给出证明.
(2) 为了进一步探究这组勾股数的构成规律,小明设这样的勾股数为$m,n,n+1$($m$为大于1的奇数,且$m＜n$),他猜想是否可以用$m$表示出$n$.若可以,请帮小明完成他的猜想,若不可以,请说明理由.
(3) 当奇数$m=17$时,请直接写出这组勾股数.
答案
11. (1) 9,40,41是一组勾股数,理由如下:
∵ $9^2+40^2=81+1600=1681$,$41^2=1681$,
∴ $9^2+40^2=41^2$,
∴ 9,40,41是一组勾股数；
(2) 可以用m表示出n,理由如下:
∵ $m^2+n^2=(n+1)^2$,
∴ $m^2=(n+1)^2−n^2=2n+1$,
∴ $n=\frac{m^2−1}{2}$；
(3) 当奇数m=17时,$n=\frac{m^2−1}{2}=\frac{17^2−1}{2}=144$,
∴ 这组勾股数是17,144,145.
∵ $9^2+40^2=81+1600=1681$,$41^2=1681$,
∴ $9^2+40^2=41^2$,
∴ 9,40,41是一组勾股数；
(2) 可以用m表示出n,理由如下:
∵ $m^2+n^2=(n+1)^2$,
∴ $m^2=(n+1)^2−n^2=2n+1$,
∴ $n=\frac{m^2−1}{2}$；
(3) 当奇数m=17时,$n=\frac{m^2−1}{2}=\frac{17^2−1}{2}=144$,
∴ 这组勾股数是17,144,145.
