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9.多边形的边数增加一条后，内角和与外角和的变化是 （
A.内角和不变，外角和增加 $180°$
B.内角和增加 $180°$，外角和不变
C.内角和不变，外角和不变
D.内角和增加 $180°$，外角和增加 $180°$
B
）A.内角和不变，外角和增加 $180°$
B.内角和增加 $180°$，外角和不变
C.内角和不变，外角和不变
D.内角和增加 $180°$，外角和增加 $180°$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时可分别判断内角和与外角和的变化情况：①分析内角和变化：多边形内角和与边数相关，我们可以先设原多边形边数为n，结合内角和公式分别表示出边数增加1前后的内角和，作差即可得到内角和的变化量；②分析外角和变化：任意多边形的外角和都是固定值，与边数无关，可直接判断外角和的变化情况，结合两个结论就能选出正确选项。
【解析】
设原多边形的边数为n：
1. 计算内角和的变化：
原多边形内角和为$(n-2) × 180°$，
边数增加1后，新多边形边数为$n+1$，内角和为$(n+1-2) × 180°=(n-1) × 180°$，
内角和变化量为：$(n-1) × 180° - (n-2) × 180° = 180°$，即内角和增加$180°$。
2. 判断外角和的变化：
任意多边形的外角和恒为$360°$，和边数无关，因此外角和不变。
综上，内角和增加$180°$，外角和不变，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记多边形内角和的计算规律以及外角和恒为360°的性质，熟练掌握基础知识点就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时可分别判断内角和与外角和的变化情况：①分析内角和变化：多边形内角和与边数相关，我们可以先设原多边形边数为n，结合内角和公式分别表示出边数增加1前后的内角和，作差即可得到内角和的变化量；②分析外角和变化：任意多边形的外角和都是固定值，与边数无关，可直接判断外角和的变化情况，结合两个结论就能选出正确选项。
【解析】
设原多边形的边数为n：
1. 计算内角和的变化：
原多边形内角和为$(n-2) × 180°$，
边数增加1后，新多边形边数为$n+1$，内角和为$(n+1-2) × 180°=(n-1) × 180°$，
内角和变化量为：$(n-1) × 180° - (n-2) × 180° = 180°$，即内角和增加$180°$。
2. 判断外角和的变化：
任意多边形的外角和恒为$360°$，和边数无关，因此外角和不变。
综上，内角和增加$180°$，外角和不变，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是牢记多边形内角和的计算规律以及外角和恒为360°的性质，熟练掌握基础知识点就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
10.如图5是一块电脑屏幕上出现的矩形拼图,由6个不同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为1,正方形①的边长为4,则这个矩形拼图的面积为
143
.答案
10.143
解析
【分析】
解题时先结合已知的最小正方形边长和正方形①的边长，利用图形拼接时相邻正方形的边长差规律，依次推导其他正方形的边长，再根据矩形对边相等的性质验证推导的边长是否正确，最后用矩形面积公式（长×宽）计算总面积即可。思考步骤：①先看并排的①和②，二者边长相等，可得②的边长；②③的边长比②多最小正方形的边长1，算出③的边长；③④比③多1，算出④的边长；④⑤的边长可以通过“比④多1”或者“比①+②的和少1”两种方式计算，验证一致性；⑤分别计算矩形的长和宽，相乘得面积。
【解析】
解：已知中间最小正方形边长为1，正方形①的边长为4：
1. 观察图形可得正方形②与正方形①边长相等，即正方形②边长=4；
2. 正方形③的边长 = 正方形②边长 + 最小正方形边长 = 4+1=5；
3. 正方形④的边长 = 正方形③边长 + 最小正方形边长 =5+1=6；
4. 正方形⑤的边长 = 正方形④边长 + 最小正方形边长 =6+1=7，验证：正方形⑤边长也等于①边长+②边长 - 最小正方形边长=4+4-1=7，推导正确；
5. 矩形的长 = ①边长 + ②边长 + ③边长 =4+4+5=13（或长=④边长+⑤边长=6+7=13，二者一致）；
6. 矩形的宽 = ③边长 + ④边长 =5+6=11（或宽=⑤边长+①边长=7+4=11，二者一致）；
7. 矩形的面积 = 长×宽 =13×11=143。
【答案】
143
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，图形拼接规律
【点评】
本题侧重考查几何图形拼接中的边长关系推导，解题核心是抓住相邻正方形的边长差，结合矩形对边相等的性质验证结果，只要理清各部分边长的数量关系，就能顺利算出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的最小正方形边长和正方形①的边长，利用图形拼接时相邻正方形的边长差规律，依次推导其他正方形的边长，再根据矩形对边相等的性质验证推导的边长是否正确，最后用矩形面积公式（长×宽）计算总面积即可。思考步骤：①先看并排的①和②，二者边长相等，可得②的边长；②③的边长比②多最小正方形的边长1，算出③的边长；③④比③多1，算出④的边长；④⑤的边长可以通过“比④多1”或者“比①+②的和少1”两种方式计算，验证一致性；⑤分别计算矩形的长和宽，相乘得面积。
【解析】
解：已知中间最小正方形边长为1，正方形①的边长为4：
1. 观察图形可得正方形②与正方形①边长相等，即正方形②边长=4；
2. 正方形③的边长 = 正方形②边长 + 最小正方形边长 = 4+1=5；
3. 正方形④的边长 = 正方形③边长 + 最小正方形边长 =5+1=6；
4. 正方形⑤的边长 = 正方形④边长 + 最小正方形边长 =6+1=7，验证：正方形⑤边长也等于①边长+②边长 - 最小正方形边长=4+4-1=7，推导正确；
5. 矩形的长 = ①边长 + ②边长 + ③边长 =4+4+5=13（或长=④边长+⑤边长=6+7=13，二者一致）；
6. 矩形的宽 = ③边长 + ④边长 =5+6=11（或宽=⑤边长+①边长=7+4=11，二者一致）；
7. 矩形的面积 = 长×宽 =13×11=143。
【答案】
143
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，图形拼接规律
【点评】
本题侧重考查几何图形拼接中的边长关系推导，解题核心是抓住相邻正方形的边长差，结合矩形对边相等的性质验证结果，只要理清各部分边长的数量关系，就能顺利算出答案。
【难度系数】
0.7
11.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
(1)这个多边形是几边形？
(2)这个多边形共有多少条对角线？
(1)这个多边形是几边形？
(2)这个多边形共有多少条对角线？
答案
11.(1)十边形
(2)35条
(2)35条
解析
【分析】
解题思路分为两步：①解决第一问时，首先明确任意多边形的外角和恒为360°，结合“内角和是外角和4倍”的条件先算出内角和的数值，再套用多边形内角和公式$(n-2)×180°$列方程，求解即可得到边数n；②解决第二问时，将第一问求出的边数n代入n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，计算即可得到对角线总条数。
【解析】
(1) 解：
∵任意多边形的外角和均为$360°$，该多边形内角和是外角和的4倍
∴该多边形的内角和为$4×360°=1440°$
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1440°$
解得$n-2=8$，即$n=10$。
(2) 解：
∵n边形的对角线条数计算公式为$\frac{n(n-3)}{2}$
将$n=10$代入公式得：
$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{70}{2}=35$。
【答案】
(1)十边形
(2)35条
【知识点】
多边形外角和性质、多边形内角和公式、多边形对角线计算
【点评】
本题属于多边形章节的基础常考题，核心是考察对多边形相关固定性质和计算公式的掌握，计算难度低，熟记公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：①解决第一问时，首先明确任意多边形的外角和恒为360°，结合“内角和是外角和4倍”的条件先算出内角和的数值，再套用多边形内角和公式$(n-2)×180°$列方程，求解即可得到边数n；②解决第二问时，将第一问求出的边数n代入n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，计算即可得到对角线总条数。
【解析】
(1) 解：
∵任意多边形的外角和均为$360°$，该多边形内角和是外角和的4倍
∴该多边形的内角和为$4×360°=1440°$
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=1440°$
解得$n-2=8$，即$n=10$。
(2) 解：
∵n边形的对角线条数计算公式为$\frac{n(n-3)}{2}$
将$n=10$代入公式得：
$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{70}{2}=35$。
【答案】
(1)十边形
(2)35条
【知识点】
多边形外角和性质、多边形内角和公式、多边形对角线计算
【点评】
本题属于多边形章节的基础常考题，核心是考察对多边形相关固定性质和计算公式的掌握，计算难度低，熟记公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12.如图6,以$△ ABC$的边$AB$,$AC$为边分别向外作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$,连接$EG$,试判断$△ ABC$与$△ AEG$面积之间的关系,并说明理由.
答案
12.$△ ABC$与$△ AEG$的面积相等,理由略.
解析
【分析】
要判断两个三角形的面积关系，可借助三角形面积公式（底×高÷2）分析：首先由正方形的性质可得AB=AE、AC=AG，且可推出∠BAC与∠EAG互补。接下来通过作两条对应底边上的高，证明两条高相等，即可结合相等的底推导出面积相等的结论。具体思考路径：1. 作AB边上的高和AE边上的高；2. 证明高所在的两个直角三角形全等，得到高相等；3. 代入面积公式验证面积相等。
【解析】
△ABC与△AEG的面积相等，理由如下：
过点C作$CM⊥AB$于点M，过点G作$GN⊥EA$，交EA的延长线于点N，则$∠ AMC=∠ ANG=90°$。
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴$AB=AE$，$AC=AG$，$∠ EAB=∠ GAC=90°$，
∴$∠ EAG + ∠ BAC = 360° - ∠ EAB - ∠ GAC = 180°$。
又
∵$∠ EAG + ∠ GAN = 180°$（平角的定义），
∴$∠ BAC = ∠ GAN$。
在$△ ACM$和$△ AGN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ ANG \\∠ MAC=∠ NAG \\AC=AG\end{cases}$
∴$△ ACM ≌ △ AGN$（AAS），
∴$CM=GN$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AB · CM$，$S_{△ AEG}=\frac{1}{2} · AE · GN$，且$AB=AE$，$CM=GN$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$。
【答案】
$△ ABC$与$△ AEG$的面积相等
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积比较类题型，解题的核心是通过作高构造全等三角形，将面积比较转化为底和高的等量关系分析，需要熟练掌握正方形性质和全等三角形的证明方法，学会利用辅助线搭建已知条件和待证结论的关联。
【难度系数】
0.6
要判断两个三角形的面积关系，可借助三角形面积公式（底×高÷2）分析：首先由正方形的性质可得AB=AE、AC=AG，且可推出∠BAC与∠EAG互补。接下来通过作两条对应底边上的高，证明两条高相等，即可结合相等的底推导出面积相等的结论。具体思考路径：1. 作AB边上的高和AE边上的高；2. 证明高所在的两个直角三角形全等，得到高相等；3. 代入面积公式验证面积相等。
【解析】
△ABC与△AEG的面积相等，理由如下：
过点C作$CM⊥AB$于点M，过点G作$GN⊥EA$，交EA的延长线于点N，则$∠ AMC=∠ ANG=90°$。
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴$AB=AE$，$AC=AG$，$∠ EAB=∠ GAC=90°$，
∴$∠ EAG + ∠ BAC = 360° - ∠ EAB - ∠ GAC = 180°$。
又
∵$∠ EAG + ∠ GAN = 180°$（平角的定义），
∴$∠ BAC = ∠ GAN$。
在$△ ACM$和$△ AGN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ ANG \\∠ MAC=∠ NAG \\AC=AG\end{cases}$
∴$△ ACM ≌ △ AGN$（AAS），
∴$CM=GN$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AB · CM$，$S_{△ AEG}=\frac{1}{2} · AE · GN$，且$AB=AE$，$CM=GN$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}$。
【答案】
$△ ABC$与$△ AEG$的面积相等
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积比较类题型，解题的核心是通过作高构造全等三角形，将面积比较转化为底和高的等量关系分析，需要熟练掌握正方形性质和全等三角形的证明方法，学会利用辅助线搭建已知条件和待证结论的关联。
【难度系数】
0.6
13.如图7,已知$△ ABC$和$△ DEF$是两个边长都为10 cm的等边三角形,且点B,D,C,E都在同一直线上,连接AD,CF.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形;
(2)若$BD=6\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$沿BE的方向以每秒2 cm的速度运动,运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ADFC是菱形?
②四边形ADFC有可能是矩形吗?若可能,画出草图并求出t的值;若不可能,请说明理由.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形;
(2)若$BD=6\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$沿BE的方向以每秒2 cm的速度运动,运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ADFC是菱形?
②四边形ADFC有可能是矩形吗?若可能,画出草图并求出t的值;若不可能,请说明理由.
答案
13.(1)提示:证$AC=DF,AC// DF$.
(2)①当$t=3$时,四边形$ADFC$是菱形.
②当$t=8$时,四边形$ADFC$是矩形.图略.
(2)①当$t=3$时,四边形$ADFC$是菱形.
②当$t=8$时,四边形$ADFC$是矩形.图略.
解析
【分析】
(1) 证明四边形是平行四边形，优先考虑一组对边平行且相等的判定定理。由两个等边三角形的边长相等可得AC=DF，再由等边三角形的内角相等得到同位角相等，推出AC//DF，即可证得结论。
(2) ① 平行四边形判定为菱形只需邻边相等，即AD=AC。结合等边三角形边长相等，可知当点B运动到与点D重合时，AD=AB=AC，此时运动的路程等于初始BD的长度，结合速度即可求出t。
② 平行四边形判定为矩形只需有一个内角为直角，即∠CAD=90°。结合直角三角形30°角的性质，可推出此时CD的长度为20cm，再结合初始CD的长度和运动速度，即可求出对应的t值，可知存在矩形的情况。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，
∴AC=10cm，DF=10cm，∠ACB=∠DEF=60°，
∴AC=DF，且AC//DF（同位角相等，两直线平行），
∴四边形ADFC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) ① 解：
平行四边形ADFC为菱形时，需邻边相等，即AD=AC=10cm。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=10cm，当点B与点D重合时，AD=AB=10cm，满足邻边相等的条件。
此时△ABC运动的路程为初始BD的长度6cm，已知运动速度为2cm/s，
∴$t=\frac{6}{2}=3$（秒）。
② 解：四边形ADFC可能是矩形。
平行四边形ADFC为矩形时，需有一个内角为直角，即∠CAD=90°。
∵∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ADC=180°-90°-60°=30°。
在Rt△ACD中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴CD=2AC=2×10=20cm。
初始时CD=BC-BD=10-6=4cm，△ABC沿BE向右运动t秒后，CD的长度为$(4+2t)$cm，
令$4+2t=20$，解得$t=8$（秒），草图略。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ①$\boldsymbol{t=3}$；②可能，$\boldsymbol{t=8}$。
【知识点】
平行四边形判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形与动点结合的综合题，需要熟练掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理，结合动点的运动规律分析边长的变化关系，是几何部分的经典考查题型。
【难度系数】
0.65
(1) 证明四边形是平行四边形，优先考虑一组对边平行且相等的判定定理。由两个等边三角形的边长相等可得AC=DF，再由等边三角形的内角相等得到同位角相等，推出AC//DF，即可证得结论。
(2) ① 平行四边形判定为菱形只需邻边相等，即AD=AC。结合等边三角形边长相等，可知当点B运动到与点D重合时，AD=AB=AC，此时运动的路程等于初始BD的长度，结合速度即可求出t。
② 平行四边形判定为矩形只需有一个内角为直角，即∠CAD=90°。结合直角三角形30°角的性质，可推出此时CD的长度为20cm，再结合初始CD的长度和运动速度，即可求出对应的t值，可知存在矩形的情况。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，
∴AC=10cm，DF=10cm，∠ACB=∠DEF=60°，
∴AC=DF，且AC//DF（同位角相等，两直线平行），
∴四边形ADFC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) ① 解：
平行四边形ADFC为菱形时，需邻边相等，即AD=AC=10cm。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=10cm，当点B与点D重合时，AD=AB=10cm，满足邻边相等的条件。
此时△ABC运动的路程为初始BD的长度6cm，已知运动速度为2cm/s，
∴$t=\frac{6}{2}=3$（秒）。
② 解：四边形ADFC可能是矩形。
平行四边形ADFC为矩形时，需有一个内角为直角，即∠CAD=90°。
∵∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ADC=180°-90°-60°=30°。
在Rt△ACD中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴CD=2AC=2×10=20cm。
初始时CD=BC-BD=10-6=4cm，△ABC沿BE向右运动t秒后，CD的长度为$(4+2t)$cm，
令$4+2t=20$，解得$t=8$（秒），草图略。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ①$\boldsymbol{t=3}$；②可能，$\boldsymbol{t=8}$。
【知识点】
平行四边形判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形与动点结合的综合题，需要熟练掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理，结合动点的运动规律分析边长的变化关系，是几何部分的经典考查题型。
【难度系数】
0.65
