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8. 在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个数。若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则x，y，z的大小关系是
$x＜z＜y$
（用“＜”连接）。答案
8. $x＜z＜y$
解析
【分析】
要比较x、y、z的大小，我们可以先将五个互不相等的打分按从小到大排序，再分别把x、y、z用这五个数表示为代数式，通过作差法判断代数式的大小关系即可。具体思路为：①设五个分数从小到大依次为$a＜b＜c＜d＜e$；②根据平均数定义分别写出x、y、z的表达式；③两两作差，结合五个数的大小关系判断差的正负，最终得到三个数的大小关系。
【解析】
设五位评委给圆圆的打分从小到大依次为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$（五个数互不相等）。
根据平均数的定义可得：
去掉一个最高分后的平均分$x = \frac{a + b + c + d}{4}$，
去掉一个最低分后的平均分$y = \frac{b + c + d + e}{4}$，
同时去掉最高分和最低分后的平均分$z = \frac{b + c + d}{3}$。
第一步，比较$x$和$z$的大小：
$\begin{aligned}x - z &= \frac{a + b + c + d}{4} - \frac{b + c + d}{3}\\&= \frac{3(a + b + c + d) - 4(b + c + d)}{12}\\&= \frac{3a - b - c - d}{12}\end{aligned}$
因为$a ＜ b ＜ c ＜ d$，所以$b + c + d ＞ 3a$，即分子$3a - b - c - d ＜ 0$，因此$x - z ＜ 0$，可得$x ＜ z$。
第二步，比较$z$和$y$的大小：
$\begin{aligned}y - z &= \frac{b + c + d + e}{4} - \frac{b + c + d}{3}\\&= \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12}\\&= \frac{3e - b - c - d}{12}\end{aligned}$
因为$e ＞ d ＞ c ＞ b$，所以$3e ＞ b + c + d$，即分子$3e - b - c - d ＞ 0$，因此$y - z ＞ 0$，可得$z ＜ y$。
综上，三者大小关系为$x ＜ z ＜ y$。
【答案】
$x＜z＜y$
【知识点】
平均数的计算；作差法比较大小
【点评】
本题考查平均数的实际应用，解题核心是将抽象的平均分转化为具体代数式，结合已知的数的大小关系通过作差法推导结果，属于基础题型，熟练掌握平均数计算公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要比较x、y、z的大小，我们可以先将五个互不相等的打分按从小到大排序，再分别把x、y、z用这五个数表示为代数式，通过作差法判断代数式的大小关系即可。具体思路为：①设五个分数从小到大依次为$a＜b＜c＜d＜e$；②根据平均数定义分别写出x、y、z的表达式；③两两作差，结合五个数的大小关系判断差的正负，最终得到三个数的大小关系。
【解析】
设五位评委给圆圆的打分从小到大依次为$a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e$（五个数互不相等）。
根据平均数的定义可得：
去掉一个最高分后的平均分$x = \frac{a + b + c + d}{4}$，
去掉一个最低分后的平均分$y = \frac{b + c + d + e}{4}$，
同时去掉最高分和最低分后的平均分$z = \frac{b + c + d}{3}$。
第一步，比较$x$和$z$的大小：
$\begin{aligned}x - z &= \frac{a + b + c + d}{4} - \frac{b + c + d}{3}\\&= \frac{3(a + b + c + d) - 4(b + c + d)}{12}\\&= \frac{3a - b - c - d}{12}\end{aligned}$
因为$a ＜ b ＜ c ＜ d$，所以$b + c + d ＞ 3a$，即分子$3a - b - c - d ＜ 0$，因此$x - z ＜ 0$，可得$x ＜ z$。
第二步，比较$z$和$y$的大小：
$\begin{aligned}y - z &= \frac{b + c + d + e}{4} - \frac{b + c + d}{3}\\&= \frac{3(b + c + d + e) - 4(b + c + d)}{12}\\&= \frac{3e - b - c - d}{12}\end{aligned}$
因为$e ＞ d ＞ c ＞ b$，所以$3e ＞ b + c + d$，即分子$3e - b - c - d ＞ 0$，因此$y - z ＞ 0$，可得$z ＜ y$。
综上，三者大小关系为$x ＜ z ＜ y$。
【答案】
$x＜z＜y$
【知识点】
平均数的计算；作差法比较大小
【点评】
本题考查平均数的实际应用，解题核心是将抽象的平均分转化为具体代数式，结合已知的数的大小关系通过作差法推导结果，属于基础题型，熟练掌握平均数计算公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
9. 某中学八(1)班期中考试数学成绩平均分为84.75，该班小明的数学成绩为92分，把92与84.75的差叫作小明数学成绩的离均差，即小明数学成绩的离均差为+7.25.
(1) 该班小丽的数学成绩为82分，求小丽数学成绩的离均差.
(2) 已知该班第一组8名同学数学成绩的离均差分别为：
+10.25，-8.75，+31.25，+15.25，-3.75，-12.75，-10.75，-32.75.
① 求这组同学数学成绩的最高分和最低分；
② 求这组同学数学成绩的平均分；
③ 若该组数学成绩最低的同学达到及格的72分，则该组数学成绩的平均分是否达到或超过班平均分？超过或低于多少分？
(1) 该班小丽的数学成绩为82分，求小丽数学成绩的离均差.
(2) 已知该班第一组8名同学数学成绩的离均差分别为：
+10.25，-8.75，+31.25，+15.25，-3.75，-12.75，-10.75，-32.75.
① 求这组同学数学成绩的最高分和最低分；
② 求这组同学数学成绩的平均分；
③ 若该组数学成绩最低的同学达到及格的72分，则该组数学成绩的平均分是否达到或超过班平均分？超过或低于多少分？
答案
9.（1）$82-84.75=-2.75$，答：小丽数学成绩的离均差为-2.75；（2）① 最高分为$84.75+31.25=116$(分)，最低分为$84.75-32.75=52$(分)，答：最高分为116分，最低分为52分；② $10.25-8.75+31.25+15.25-3.75-12.75-10.75-32.75=-12$，$-12÷8+84.75=83.25$(分)，答：这组同学的平均分是83.25分；③ 该组最低分是52分，若达到72分，则增加20分，$20÷8=2.5$(分)，$83.25+2.5=85.75$(分)，$85.75-84.75=1$(分)，答：该组数学成绩的平均分超过班平均分，超过1分.
解析
【分析】
本题首先明确离均差的定义：离均差=个人成绩 - 班级平均分，本次班级平均分为固定值84.75。
(1) 求小丽的离均差直接代入定义计算即可；
(2) ① 离均差越大对应个人成绩越高，离均差越小对应个人成绩越低，找到8个离均差中的最大值和最小值，分别加上班级平均分即可得到最高分和最低分；
② 先计算8个离均差的总和，求出离均差的平均值后加上班级平均分，就是该组同学的平均分；
③ 先算出最低分从现有值涨到72分需要增加的分数，该分数平均分摊到8名同学上就是组平均分上涨的数值，算出上涨后的组平均分，再和班平均分比较即可。
【解析】
(1) 根据离均差的定义列式：
$82 - 84.75 = -2.75$
(2) ① 观察8个离均差，最大离均差为$+31.25$，最小离均差为$-32.75$：
最高分为：$84.75 + 31.25 = 116$（分）
最低分为：$84.75 + (-32.75) = 52$（分）
② 先计算8个离均差的和：
$10.25 - 8.75 + 31.25 + 15.25 - 3.75 - 12.75 - 10.75 - 32.75 = -12$
该组离均差的平均值为：$-12 ÷ 8 = -1.5$
该组平均分为：$84.75 + (-1.5) = 83.25$（分）
③ 最低分从52分涨到72分，总分增加：$72 - 52 = 20$（分）
组平均分上涨：$20 ÷ 8 = 2.5$（分）
上涨后的组平均分为：$83.25 + 2.5 = 85.75$（分）
与班平均分的差值为：$85.75 - 84.75 = 1$（分）
【答案】
(1) 小丽数学成绩的离均差为-2.75；
(2) ① 最高分为116分，最低分为52分；② 这组同学数学成绩的平均分是83.25分；③ 该组数学成绩的平均分超过班平均分，超过1分。
【知识点】
离均差的概念，平均数计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义“离均差”考查平均数的相关应用，解题核心是准确理解离均差与原始成绩、班级平均分的数量关系，计算过程中需注意正负数的运算规则，属于基础应用型题目，能够有效考查对新概念的理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题首先明确离均差的定义：离均差=个人成绩 - 班级平均分，本次班级平均分为固定值84.75。
(1) 求小丽的离均差直接代入定义计算即可；
(2) ① 离均差越大对应个人成绩越高，离均差越小对应个人成绩越低，找到8个离均差中的最大值和最小值，分别加上班级平均分即可得到最高分和最低分；
② 先计算8个离均差的总和，求出离均差的平均值后加上班级平均分，就是该组同学的平均分；
③ 先算出最低分从现有值涨到72分需要增加的分数，该分数平均分摊到8名同学上就是组平均分上涨的数值，算出上涨后的组平均分，再和班平均分比较即可。
【解析】
(1) 根据离均差的定义列式：
$82 - 84.75 = -2.75$
(2) ① 观察8个离均差，最大离均差为$+31.25$，最小离均差为$-32.75$：
最高分为：$84.75 + 31.25 = 116$（分）
最低分为：$84.75 + (-32.75) = 52$（分）
② 先计算8个离均差的和：
$10.25 - 8.75 + 31.25 + 15.25 - 3.75 - 12.75 - 10.75 - 32.75 = -12$
该组离均差的平均值为：$-12 ÷ 8 = -1.5$
该组平均分为：$84.75 + (-1.5) = 83.25$（分）
③ 最低分从52分涨到72分，总分增加：$72 - 52 = 20$（分）
组平均分上涨：$20 ÷ 8 = 2.5$（分）
上涨后的组平均分为：$83.25 + 2.5 = 85.75$（分）
与班平均分的差值为：$85.75 - 84.75 = 1$（分）
【答案】
(1) 小丽数学成绩的离均差为-2.75；
(2) ① 最高分为116分，最低分为52分；② 这组同学数学成绩的平均分是83.25分；③ 该组数学成绩的平均分超过班平均分，超过1分。
【知识点】
离均差的概念，平均数计算，有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义“离均差”考查平均数的相关应用，解题核心是准确理解离均差与原始成绩、班级平均分的数量关系，计算过程中需注意正负数的运算规则，属于基础应用型题目，能够有效考查对新概念的理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
10. 定义:对于两个正数$a$和$b$,$a,b$的算术平均数$A=\frac{a+b}{2}$,$a,b$的调和平均数$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$.
【观察归纳】(用“＜”“=”或“＞”填空)
① 若$a=2,b=4$,则$A$
② 若$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{5}$,则$A$
③ 若$a=6,b=6$,则$A$
【猜想验证】
① 猜想:对于两个正数$a$和$b$,则$A$
② 请验证你的猜想.
【拓展应用】
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游,相距$s$ km,若一艘游轮顺流航行的速度为$m$ km/h,逆流航行速度为$n$ km/h($m＞n＞0$),比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小.
【观察归纳】(用“＜”“=”或“＞”填空)
① 若$a=2,b=4$,则$A$
＞
$H$;② 若$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{5}$,则$A$
＞
$H$;③ 若$a=6,b=6$,则$A$
=
$H$;【猜想验证】
① 猜想:对于两个正数$a$和$b$,则$A$
≥
$H$;(用“＜”“=”“＞”“≥”或“≤”填空)② 请验证你的猜想.
【拓展应用】
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游,相距$s$ km,若一艘游轮顺流航行的速度为$m$ km/h,逆流航行速度为$n$ km/h($m＞n＞0$),比较该游轮在静水中的速度和往返两港口的平均速度的大小.
答案
10. 观察归纳:① ＞ ② ＞ ③ =
猜想验证:① ≥ ② 证明:$A-H=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,$\because$ 两个正数$a$和$b$,$\therefore (a-b)^2\ge0$,$2(a+b)＞0$,$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$,$\therefore A\ge H$. 扩展应用:静水中的速度为:$\frac{m+n}{2}$(km/h);往返两港口的平均速度:$\frac{2s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(km/h);$\because m＞n＞0$,$\therefore$ 由猜想验证的结论可得:$\frac{m+n}{2}\ge\frac{2mn}{m+n}$,$\therefore$ 该游轮在静水中的速度大于等于往返两港口的平均速度.
猜想验证:① ≥ ② 证明:$A-H=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,$\because$ 两个正数$a$和$b$,$\therefore (a-b)^2\ge0$,$2(a+b)＞0$,$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$,$\therefore A\ge H$. 扩展应用:静水中的速度为:$\frac{m+n}{2}$(km/h);往返两港口的平均速度:$\frac{2s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(km/h);$\because m＞n＞0$,$\therefore$ 由猜想验证的结论可得:$\frac{m+n}{2}\ge\frac{2mn}{m+n}$,$\therefore$ 该游轮在静水中的速度大于等于往返两港口的平均速度.
解析
【分析】
首先解决观察归纳部分：根据题目给出的算术平均数A和调和平均数H的计算公式，将每组a、b的数值分别代入计算A和H的结果，再比较大小即可。
接着解决猜想验证部分：从前三组计算结果可发现，当a≠b时A＞H，当a=b时A=H，因此猜想A≥H；验证两个代数式的大小关系常用作差法，将A与H作差，通分化简后，结合a、b是正数的条件判断差的正负性，即可证明结论。
最后解决拓展应用部分：先根据顺流、逆流速度与静水速度的关系推导静水速度的表达式，再根据“平均速度=总路程÷总时间”计算往返的平均速度，发现二者正好对应A和H，直接利用猜想验证得到的结论比较大小即可。
【解析】
观察归纳
① 当a=2，b=4时：
$A=\frac{2+4}{2}=3$，$H=\frac{2×2×4}{2+4}=\frac{8}{3}$
$\because 3＞\frac{8}{3}$，$\therefore A＞H$
② 当$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{1}{5}$时：
$A=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}{2}=\frac{4}{15}$，$H=\frac{2×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}$
$\because \frac{4}{15}＞\frac{1}{4}$，$\therefore A＞H$
③ 当a=6，b=6时：
$A=\frac{6+6}{2}=6$，$H=\frac{2×6×6}{6+6}=6$
$\therefore A=H$
猜想验证
① 结合前面三组结果，猜想对于正数a、b，$A\ge H$
② 证明：
作差得$A-H=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分化简：
$A-H=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
$\because a、b$是正数，$\therefore 2(a+b)＞0$，又$\because (a-b)^2\ge0$
$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$，即$A-H\ge0$
$\therefore A\ge H$，当且仅当$a=b$时等号成立。
拓展应用
1. 静水速度：设静水速度为$v_静$，水流速度为$u$，则$m=v_静+u$，$n=v_静-u$，两式相加得$m+n=2v_静$，即$v_静=\frac{m+n}{2}\ \mathrm{km/h}$
2. 往返平均速度：往返总路程为$2s$ km，总时间为$(\frac{s}{m}+\frac{s}{n})$ h，因此平均速度$v_平=\frac{2s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{2mn}{m+n}\ \mathrm{km/h}$
3. 大小比较：根据猜想验证的结论，$\frac{m+n}{2}\ge\frac{2mn}{m+n}$，即静水速度大于等于往返平均速度。
【答案】
【观察归纳】① $\boxed{＞}$；② $\boxed{＞}$；③ $\boxed{=}$
【猜想验证】① $\boxed{\ge}$；② 证明见解析，$A\ge H$成立
【拓展应用】该游轮在静水中的速度大于等于往返两港口的平均速度
【知识点】
作差法比较大小；平均数的概念；行程问题公式
【点评】
本题以新定义为载体，从具体数值计算到一般规律推导，再到实际问题应用，层层递进，既考查了基础运算能力，也锻炼了逻辑推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
首先解决观察归纳部分：根据题目给出的算术平均数A和调和平均数H的计算公式，将每组a、b的数值分别代入计算A和H的结果，再比较大小即可。
接着解决猜想验证部分：从前三组计算结果可发现，当a≠b时A＞H，当a=b时A=H，因此猜想A≥H；验证两个代数式的大小关系常用作差法，将A与H作差，通分化简后，结合a、b是正数的条件判断差的正负性，即可证明结论。
最后解决拓展应用部分：先根据顺流、逆流速度与静水速度的关系推导静水速度的表达式，再根据“平均速度=总路程÷总时间”计算往返的平均速度，发现二者正好对应A和H，直接利用猜想验证得到的结论比较大小即可。
【解析】
观察归纳
① 当a=2，b=4时：
$A=\frac{2+4}{2}=3$，$H=\frac{2×2×4}{2+4}=\frac{8}{3}$
$\because 3＞\frac{8}{3}$，$\therefore A＞H$
② 当$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{1}{5}$时：
$A=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}{2}=\frac{4}{15}$，$H=\frac{2×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}$
$\because \frac{4}{15}＞\frac{1}{4}$，$\therefore A＞H$
③ 当a=6，b=6时：
$A=\frac{6+6}{2}=6$，$H=\frac{2×6×6}{6+6}=6$
$\therefore A=H$
猜想验证
① 结合前面三组结果，猜想对于正数a、b，$A\ge H$
② 证明：
作差得$A-H=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$
通分化简：
$A-H=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
$\because a、b$是正数，$\therefore 2(a+b)＞0$，又$\because (a-b)^2\ge0$
$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$，即$A-H\ge0$
$\therefore A\ge H$，当且仅当$a=b$时等号成立。
拓展应用
1. 静水速度：设静水速度为$v_静$，水流速度为$u$，则$m=v_静+u$，$n=v_静-u$，两式相加得$m+n=2v_静$，即$v_静=\frac{m+n}{2}\ \mathrm{km/h}$
2. 往返平均速度：往返总路程为$2s$ km，总时间为$(\frac{s}{m}+\frac{s}{n})$ h，因此平均速度$v_平=\frac{2s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{2mn}{m+n}\ \mathrm{km/h}$
3. 大小比较：根据猜想验证的结论，$\frac{m+n}{2}\ge\frac{2mn}{m+n}$，即静水速度大于等于往返平均速度。
【答案】
【观察归纳】① $\boxed{＞}$；② $\boxed{＞}$；③ $\boxed{=}$
【猜想验证】① $\boxed{\ge}$；② 证明见解析，$A\ge H$成立
【拓展应用】该游轮在静水中的速度大于等于往返两港口的平均速度
【知识点】
作差法比较大小；平均数的概念；行程问题公式
【点评】
本题以新定义为载体，从具体数值计算到一般规律推导，再到实际问题应用，层层递进，既考查了基础运算能力，也锻炼了逻辑推理和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
