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1.(2025·沙市)如图1，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是BC的中点，则$\frac{AC}{AB}=$
$\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{1}{2}$
2.(2026·庐阳)如图2，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC至D使$DC=BC$，延长DA交$\odot O$于点E，连接CE，$AB=13$，$BC-AC=7$，则$CE=$
12
。答案
解:设BC=x,AC=x−7,$x^2+(x−7)^2=13^2$,
x=12,∠E=∠B=∠D,
∴CE=CB=12.
x=12,∠E=∠B=∠D,
∴CE=CB=12.
3.如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ ABC=2∠ ABD$，CD交AB于点E.
(1)求证:$BC=BE$；
(2)若$DE=5,\odot O$的半径为6.5，直接写出$BD=$
(1)求证:$BC=BE$；
(2)若$DE=5,\odot O$的半径为6.5，直接写出$BD=$
12
.答案
(1)证明:连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
设∠ABD=α,
∴∠ABC=2α，
∴∠BAD=90°−α=∠C，
在△BCE中,∠BEC=180°−2α−(90°−α)=90°−α，
∴BC=BE.
(2)12
4.(2026·广州)如图,菱形ABCD,AE⊥BC于点E,以AE为直径的⊙O交AB,AC于点M,N.求证:NM=NA.
答案
证明:连接NE，
∵ ∠AMN = ∠AEN = ∠ACE，
又
∵菱形ABCD，
∴ ∠ACB = ∠ACD = ∠BAC，
∴∠AMN=∠BAN,
∴NM=NA.
5.已知正方形ABCD内接于$\odot O$，边CD以点C为中心顺时针旋转到CE，连接BE分别交$\odot O$，边CD于点F，G.
(1)求证:$DF=EF$；
(2)求证:$AF// DE$.
(1)求证:$DF=EF$；
(2)求证:$AF// DE$.
答案
证明:(1)
∵CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE=∠CDF，
而CE=CD,
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD；
(2)连接AC，
则∠AFD=∠ACD=45°，
又
∵∠BFD=90°,
∴∠FDE=45°,
∴AF//DE.
∵CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE=∠CDF，
而CE=CD,
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD；
(2)连接AC，
则∠AFD=∠ACD=45°，
又
∵∠BFD=90°,
∴∠FDE=45°,
∴AF//DE.
