1. 下列方程:①$3x^2 +7=0$;②$x^3 +2x=1 -x^2 +x^3$;③$2x^2 -3y +1=0$;④$3x^2 -\frac{4}{x} +6=0$,其中是一元二次方程的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B

2. 解下列方程：
(1)$3x^2 -15 = 0$；
(2)$x^2 + x - \frac{3}{4} = 0$；
(3)$x^2 -2x +3 =0$；
(4)$16(x-3)^2 -25(x-2)^2 =0$。

(1)移项,得$3x^2 = 15$.
二次项系数化为1,得$x^2 =5$.
开平方,得$x = \pm\sqrt{5}$,即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$.
(2)移项,得$x^2 +x =\frac{3}{4}$.
配方,得$x^2 +x +(\frac{1}{2})^2 =\frac{3}{4} +(\frac{1}{2})^2$,即$(x+\frac{1}{2})^2 =1$.
$\therefore x+\frac{1}{2} =\pm 1,\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(3)由题意知$a=1,b=-2,c=3$,所以$\Delta =b^2 -4ac=(-2)^2 -4×1×3=-8＜0$,故方程无实数根.
(4)整理方程,得$[4(x-3)]^2 -[5(x-2)]^2 =0$.
因式分解,得$[4(x-3)+5(x-2)][4(x-3)-5(x-2)]=0$,即$(9x-22)(x+2)=0$,所以$9x-22=0$或$x+2=0$,所以$x_1=\frac{22}{9},x_2=-2$.

3. 已知关于$x$的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$.
(1)试证明:无论$p$取何值,此方程总有实数根；
(2)若原方程的两根$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 3p^2 +1$,求$p$的值.

(1)证明:原方程可变形为$x^2 -5x +6 -p^2 -p =0$.
$\because \Delta =(-5)^2 -4(6-p^2 -p)=25-24+4p^2 +4p=4p^2 +4p +1=(2p+1)^2\ge0$,
$\therefore$ 无论$p$取何值此方程总有实数根.
(2)解:$\because$ 原方程的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1 +x_2 =5,x_1x_2 =6-p^2 -p$.
又$\because x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 =3p^2 +1$,
$\therefore (x_1 +x_2)^2 -3x_1x_2 =3p^2 +1$,
$\therefore 5^2 -3(6-p^2 -p)=3p^2 +1$,
$\therefore 25-18+3p^2 +3p=3p^2 +1$,
$\therefore 3p=-6,\therefore p=-2$.

4. 如图,在长为50 m,宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m²,设道路的宽为x m,则可列方程为.

$(50-2x)(38-2x)=1\ 260$