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(1)(南通通州区)我们在学习小数的运算时,常常看到一些在竖式中添0的现象(如图)。
竖式①中,在被减数的末尾添0,依据是(
竖式①中,在被减数的末尾添0,依据是(小数的性质
);竖式②中,在被除数的末尾添0,依据是(商不变的规律
)。答案
(1) 小数的性质 商不变的规律
解析
【分析】
首先分析竖式①，这是小数减法运算，被减数3.4的小数位数少于减数2.65，需要在末尾补0对齐数位，要思考补0后不改变原数大小的依据，对应小数的相关性质；再分析竖式②，这是除数为小数的除法运算，需要先把除数转化为整数，要保证商不变，被除数和除数需同时扩大相同的倍数，此时被除数末尾补0的依据对应除法的相关规律。
【解析】
对于竖式①：小数加减法计算时要对齐相同数位，被减数3.4是一位小数，要和两位小数的减数对齐数位，根据小数的性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，因此可以在3.4的末尾添0变为3.40，不会改变原数的大小，不影响计算结果。
对于竖式②：计算除数是小数的除法时，要先将除数转化为整数，除数0.75扩大100倍变为75，根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，因此被除数15也要同时扩大100倍，在末尾添0变为1500，保证商的大小不变。
【答案】
小数的性质；商不变的规律
【知识点】
小数的性质、商不变的规律
【点评】
本题考查小数运算相关的基础性质，需要掌握小数加减法、除数是小数的除法的算理，准确区分两个性质的应用场景，属于小数运算的基础考查内容。
【难度系数】
0.8
首先分析竖式①，这是小数减法运算，被减数3.4的小数位数少于减数2.65，需要在末尾补0对齐数位，要思考补0后不改变原数大小的依据，对应小数的相关性质；再分析竖式②，这是除数为小数的除法运算，需要先把除数转化为整数，要保证商不变，被除数和除数需同时扩大相同的倍数，此时被除数末尾补0的依据对应除法的相关规律。
【解析】
对于竖式①：小数加减法计算时要对齐相同数位，被减数3.4是一位小数，要和两位小数的减数对齐数位，根据小数的性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，因此可以在3.4的末尾添0变为3.40，不会改变原数的大小，不影响计算结果。
对于竖式②：计算除数是小数的除法时，要先将除数转化为整数，除数0.75扩大100倍变为75，根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，因此被除数15也要同时扩大100倍，在末尾添0变为1500，保证商的大小不变。
【答案】
小数的性质；商不变的规律
【知识点】
小数的性质、商不变的规律
【点评】
本题考查小数运算相关的基础性质，需要掌握小数加减法、除数是小数的除法的算理，准确区分两个性质的应用场景，属于小数运算的基础考查内容。
【难度系数】
0.8
(2)(盐城滨海)果园里共收获橘子7.45吨，每个筐能装0.15吨，最多能装满(
49
)个这样的筐。如果用一辆载重1.8吨的小汽车来运，那么最少需要(5
)次才能运完。答案
(2) 49 5
解析
【分析】
这道题是小数除法在实际生活场景中的应用，分两步思考：1. 求最多能装满多少个筐，本质是求7.45吨里包含多少个0.15吨，用除法计算，因为要求“装满”，剩余的橘子如果不够装满1筐就不能计入，所以计算后要用去尾法保留整数。2. 求最少需要运多少次，本质是求7.45吨里包含多少个1.8吨，同样用除法计算，因为要把所有橘子全部运完，哪怕最后剩余的橘子不足1.8吨，也需要再多运1次，所以计算后要用进一法保留整数。
【解析】
1. 计算最多能装满的筐数：
$7.45÷0.15\approx49.67$
因为要装满整筐，需舍去小数部分，因此最多能装满49个筐。
验证：$49×0.15=7.35$吨，剩余$7.45-7.35=0.1$吨，不足0.15吨，无法装满1筐，符合要求。
2. 计算最少需要运的次数：
$7.45÷1.8\approx4.14$
因为要全部运完，4次无法运完所有橘子，所以需要加1次，即$4+1=5$次。
验证：$4×1.8=7.2$吨，剩余$7.45-7.2=0.25$吨，还需要运1次，共5次，符合要求。
【答案】
49 5
【知识点】
小数除法、去尾法、进一法
【点评】
这道题结合实际场景考查小数除法的应用，解题关键是根据实际需求选择正确的近似值取值方法，不能直接套用四舍五入法，避免出现不符合实际情况的结果。
【难度系数】
0.7
这道题是小数除法在实际生活场景中的应用，分两步思考：1. 求最多能装满多少个筐，本质是求7.45吨里包含多少个0.15吨，用除法计算，因为要求“装满”，剩余的橘子如果不够装满1筐就不能计入，所以计算后要用去尾法保留整数。2. 求最少需要运多少次，本质是求7.45吨里包含多少个1.8吨，同样用除法计算，因为要把所有橘子全部运完，哪怕最后剩余的橘子不足1.8吨，也需要再多运1次，所以计算后要用进一法保留整数。
【解析】
1. 计算最多能装满的筐数：
$7.45÷0.15\approx49.67$
因为要装满整筐，需舍去小数部分，因此最多能装满49个筐。
验证：$49×0.15=7.35$吨，剩余$7.45-7.35=0.1$吨，不足0.15吨，无法装满1筐，符合要求。
2. 计算最少需要运的次数：
$7.45÷1.8\approx4.14$
因为要全部运完，4次无法运完所有橘子，所以需要加1次，即$4+1=5$次。
验证：$4×1.8=7.2$吨，剩余$7.45-7.2=0.25$吨，还需要运1次，共5次，符合要求。
【答案】
49 5
【知识点】
小数除法、去尾法、进一法
【点评】
这道题结合实际场景考查小数除法的应用，解题关键是根据实际需求选择正确的近似值取值方法，不能直接套用四舍五入法，避免出现不符合实际情况的结果。
【难度系数】
0.7
(1)(连云港赣榆区)下图可以表示的算式为(
A.$2.5 × 3.3$
B.$3.2 × 3.5$
C.$2.3 × 2.5$
D.$2.3 × 3.5$
D
)。A.$2.5 × 3.3$
B.$3.2 × 3.5$
C.$2.3 × 2.5$
D.$2.3 × 3.5$
答案
(1) D
解析
【分析】
要确定该图表示的算式，我们可以借助长方形面积的计算思路分析：大长方形的面积等于4个小长方形的面积之和，也等于大长方形的“长×宽”。首先观察4个小长方形的边长，找到大长方形长和宽的组成部分：所有小长方形的一组边分别是2和0.3，可合并为大长方形的宽；另一组边分别是3和0.5，可合并为大长方形的长，再根据长方形面积公式即可推出对应的乘法算式。
【解析】
观察图形可知，4个小长方形的面积分别为$0.3×3$、$0.3×0.5$、$2×3$、$2×0.5$，大长方形的面积等于这4个小长方形的面积和：
$\begin{aligned}\mathrm{大长方形面积}&=0.3×3 + 0.3×0.5 + 2×3 + 2×0.5\\&=0.3×(3+0.5) + 2×(3+0.5)\\&=(2+0.3)×(3+0.5)\\&=2.3×3.5\end{aligned}$
因此该图表示的算式是$2.3×3.5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算、乘法分配律、小数乘法意义
【点评】
本题通过数形结合的方式考查小数乘法的算理，将乘法分配律和长方形面积结合，解题的核心是准确找到大长方形长、宽的组成部分，理解小数乘法可以拆分为几个小部分乘积的和。
【难度系数】
0.7
要确定该图表示的算式，我们可以借助长方形面积的计算思路分析：大长方形的面积等于4个小长方形的面积之和，也等于大长方形的“长×宽”。首先观察4个小长方形的边长，找到大长方形长和宽的组成部分：所有小长方形的一组边分别是2和0.3，可合并为大长方形的宽；另一组边分别是3和0.5，可合并为大长方形的长，再根据长方形面积公式即可推出对应的乘法算式。
【解析】
观察图形可知，4个小长方形的面积分别为$0.3×3$、$0.3×0.5$、$2×3$、$2×0.5$，大长方形的面积等于这4个小长方形的面积和：
$\begin{aligned}\mathrm{大长方形面积}&=0.3×3 + 0.3×0.5 + 2×3 + 2×0.5\\&=0.3×(3+0.5) + 2×(3+0.5)\\&=(2+0.3)×(3+0.5)\\&=2.3×3.5\end{aligned}$
因此该图表示的算式是$2.3×3.5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算、乘法分配律、小数乘法意义
【点评】
本题通过数形结合的方式考查小数乘法的算理，将乘法分配律和长方形面积结合，解题的核心是准确找到大长方形长、宽的组成部分，理解小数乘法可以拆分为几个小部分乘积的和。
【难度系数】
0.7
(2)(南通如皋)东东在解决问题“一条丝带长2.48米，每0.12米剪一段，可以剪多少段？剩下多少米？”时列出下面的竖式，其中箭头所指的“24”和余数“8”表示的意义分别是(
A.24米和8分米
B.24分米和8厘米
C.24分米和8分米
D.24厘米和8厘米
B
)。A.24米和8分米
B.24分米和8厘米
C.24分米和8分米
D.24厘米和8厘米
答案
(2) B
解析
【分析】
这是一道结合实际情境的小数除法算理考查题，解题思路如下：第一步，明确竖式是计算2.48÷0.12的过程，计算除数是小数的除法时，除数和被除数同时扩大100倍转化为整数除法计算，此时竖式中的数值对应扩大100倍后的计数单位，不能直接按原单位“米”判断意义。第二步，分析“24”的意义：它是商的前两位乘除数得到的已用丝带长度，先算出20段丝带的实际长度，再换算单位即可。第三步，分析余数“8”的意义：用总长度减去已用长度得到实际剩余长度，再换算单位，最后对应选项选择即可。
【解析】
1. 分析箭头所指“24”的意义：
商是20，代表可以剪20段，每段长0.12米，20段的总长度为：$20×0.12=2.4$米。
因为1米=10分米，所以$2.4$米=24分米，即“24”表示24分米。
2. 分析余数“8”的意义：
丝带总长度是2.48米，减去用掉的2.4米，剩余长度为：$2.48-2.4=0.08$米。
因为1米=100厘米，所以$0.08$米=8厘米，即余数“8”表示8厘米。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
小数除法计算、长度单位换算、除法竖式意义
【点评】
本题结合生活实际考查小数除法的算理，易错点是容易直接将竖式中扩大后的余数当作原单位的数值，忽略小数除法计算时余数的变化规律，需要结合实际计算结果换算单位判断，能有效检验对小数除法算理的理解。
【难度系数】
0.65
这是一道结合实际情境的小数除法算理考查题，解题思路如下：第一步，明确竖式是计算2.48÷0.12的过程，计算除数是小数的除法时，除数和被除数同时扩大100倍转化为整数除法计算，此时竖式中的数值对应扩大100倍后的计数单位，不能直接按原单位“米”判断意义。第二步，分析“24”的意义：它是商的前两位乘除数得到的已用丝带长度，先算出20段丝带的实际长度，再换算单位即可。第三步，分析余数“8”的意义：用总长度减去已用长度得到实际剩余长度，再换算单位，最后对应选项选择即可。
【解析】
1. 分析箭头所指“24”的意义：
商是20，代表可以剪20段，每段长0.12米，20段的总长度为：$20×0.12=2.4$米。
因为1米=10分米，所以$2.4$米=24分米，即“24”表示24分米。
2. 分析余数“8”的意义：
丝带总长度是2.48米，减去用掉的2.4米，剩余长度为：$2.48-2.4=0.08$米。
因为1米=100厘米，所以$0.08$米=8厘米，即余数“8”表示8厘米。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
小数除法计算、长度单位换算、除法竖式意义
【点评】
本题结合生活实际考查小数除法的算理，易错点是容易直接将竖式中扩大后的余数当作原单位的数值，忽略小数除法计算时余数的变化规律，需要结合实际计算结果换算单位判断，能有效检验对小数除法算理的理解。
【难度系数】
0.65
(3)（南通通州区）下面的式子中，有的数字被☆挡住了，(
A.$6☆÷0.5=1☆☆$
B.$6☆÷1.5=4☆$
C.$6☆÷0.75=4☆.5$
D.$6☆×0.4=2☆$
C
)的得数一定算错了。A.$6☆÷0.5=1☆☆$
B.$6☆÷1.5=4☆$
C.$6☆÷0.75=4☆.5$
D.$6☆×0.4=2☆$
答案
(3) C
解析
【分析】
首先明确☆代表0~9的数字，所以“6☆”是60~69之间的整数。我们可以结合小数乘除法的变化规律，判断每个选项的结果是否符合合理范围：一个非零数除以小于1的正数，商大于原数；除以大于1的正数，商小于原数；乘小于1的正数，积小于原数。再结合简单的范围计算验证，就能快速找到一定算错的选项。
【解析】
先确定“6☆”的取值范围是60~69，逐个分析选项：
1. 选项A：除以0.5等价于乘2，计算得60×2=120，69×2=138，结果都是一百多（1☆☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
2. 选项B：除数1.5＞1，商小于被除数6☆，计算得60÷1.5=40，69÷1.5=46，结果都是四十多（4☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
3. 选项C：除数0.75＜1，商应该大于被除数6☆（即大于60），但给出的结果是4☆.5，最大仅为49.5，远小于60，不符合商的变化规律，一定算错。
4. 选项D：乘0.4，计算得60×0.4=24，69×0.4=27.6，结果都是二十多（2☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
【答案】
C
【知识点】
小数乘除法、商的变化规律
【点评】
本题不需要精确计算每个式子的结果，灵活运用小数乘除法的变化规律判断结果的合理范围，就能快速得出结论，能够很好地考查对计算规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确☆代表0~9的数字，所以“6☆”是60~69之间的整数。我们可以结合小数乘除法的变化规律，判断每个选项的结果是否符合合理范围：一个非零数除以小于1的正数，商大于原数；除以大于1的正数，商小于原数；乘小于1的正数，积小于原数。再结合简单的范围计算验证，就能快速找到一定算错的选项。
【解析】
先确定“6☆”的取值范围是60~69，逐个分析选项：
1. 选项A：除以0.5等价于乘2，计算得60×2=120，69×2=138，结果都是一百多（1☆☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
2. 选项B：除数1.5＞1，商小于被除数6☆，计算得60÷1.5=40，69÷1.5=46，结果都是四十多（4☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
3. 选项C：除数0.75＜1，商应该大于被除数6☆（即大于60），但给出的结果是4☆.5，最大仅为49.5，远小于60，不符合商的变化规律，一定算错。
4. 选项D：乘0.4，计算得60×0.4=24，69×0.4=27.6，结果都是二十多（2☆），和给出的结果形式一致，计算可能正确。
【答案】
C
【知识点】
小数乘除法、商的变化规律
【点评】
本题不需要精确计算每个式子的结果，灵活运用小数乘除法的变化规律判断结果的合理范围，就能快速得出结论，能够很好地考查对计算规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3.（徐州睢宁）下面是学校食堂采购面粉和大米的发票，部分内容已经看不清了。
（1）购买面粉一共用了多少元？
（2）购买了多少千克大米？
（1）购买面粉一共用了多少元？
（2）购买了多少千克大米？
答案
（1）$4.8×10.5=50.4$(元)
答:购买面粉一共用了50.4元。
（2）$91.8-50.4=41.4$(元)
$41.4÷4.5=9.2$(千克)
答:购买了9.2千克大米。
答:购买面粉一共用了50.4元。
（2）$91.8-50.4=41.4$(元)
$41.4÷4.5=9.2$(千克)
答:购买了9.2千克大米。
解析
【分析】
（1）计算购买面粉的总金额，用到“总价=单价×数量”的基本数量关系，已知面粉的单价和购买数量，直接代入公式计算即可。
（2）计算大米的购买数量时，首先用合计总金额减去面粉的总金额，得到大米的总金额，再根据“数量=总价÷单价”，用大米的总金额除以大米的单价，即可求出大米的购买数量。
【解析】
（1）根据总价=单价×数量：
$4.8×10.5=50.4$（元）
（2）先计算大米的总金额：
$91.8-50.4=41.4$（元）
再根据数量=总价÷单价计算大米数量：
$41.4÷4.5=9.2$（千克）
【答案】
（1）购买面粉一共用了50.4元。
（2）购买了9.2千克大米。
【知识点】
总价数量关系、小数乘法、小数除法
【点评】
本题结合生活中购物发票的实际场景，考查基础数量关系的应用，解题核心是熟练掌握单价、数量、总价三者的运算关系，计算时需注意小数乘除法的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
（1）计算购买面粉的总金额，用到“总价=单价×数量”的基本数量关系，已知面粉的单价和购买数量，直接代入公式计算即可。
（2）计算大米的购买数量时，首先用合计总金额减去面粉的总金额，得到大米的总金额，再根据“数量=总价÷单价”，用大米的总金额除以大米的单价，即可求出大米的购买数量。
【解析】
（1）根据总价=单价×数量：
$4.8×10.5=50.4$（元）
（2）先计算大米的总金额：
$91.8-50.4=41.4$（元）
再根据数量=总价÷单价计算大米数量：
$41.4÷4.5=9.2$（千克）
【答案】
（1）购买面粉一共用了50.4元。
（2）购买了9.2千克大米。
【知识点】
总价数量关系、小数乘法、小数除法
【点评】
本题结合生活中购物发票的实际场景，考查基础数量关系的应用，解题核心是熟练掌握单价、数量、总价三者的运算关系，计算时需注意小数乘除法的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
4.（南京栖霞区）理理的爷爷在超市买了一些苹果，还买了一袋饼干。他到家之后奶奶说：“苹果真新鲜！有多重？”爷爷说：“记不清了。”你能根据下面的信息帮爷爷算出这些苹果有多重吗？
答案
$40-0.4-7.4=32.2$(元) $32.2÷9.2=3.5$(千克)
答:这些苹果有3.5千克。
答:这些苹果有3.5千克。
解析
【分析】
要计算苹果的重量，根据“数量=总价÷单价”的关系，已知苹果单价为每千克9.2元，只需要先求出买苹果的总花费即可。首先筛选有用信息：信息3可算出买苹果和饼干的总花费，总钱数差0.4元是40元，因此总花费为40减0.4；总花费里包含一袋饼干的费用，减去饼干的单价就能得到苹果的总价；最后用苹果总价除以苹果单价就能得到苹果重量，注意信息4是多余干扰条件，解题无需使用。
【解析】
1. 先计算购买苹果和饼干的总花费：
$40 - 0.4 = 39.6$（元）
2. 再计算购买苹果的总花费：
$39.6 - 7.4 = 32.2$（元）
3. 最后计算苹果的重量：
$32.2 ÷ 9.2 = 3.5$（千克）
【答案】
这些苹果有3.5千克。
【知识点】
小数四则运算，单价总价数量关系
【点评】
本题结合生活购物场景出题，需要大家从多个信息中排除干扰条件，理清消费金额的构成，再利用常见数量关系求解，能有效锻炼提取有效信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算苹果的重量，根据“数量=总价÷单价”的关系，已知苹果单价为每千克9.2元，只需要先求出买苹果的总花费即可。首先筛选有用信息：信息3可算出买苹果和饼干的总花费，总钱数差0.4元是40元，因此总花费为40减0.4；总花费里包含一袋饼干的费用，减去饼干的单价就能得到苹果的总价；最后用苹果总价除以苹果单价就能得到苹果重量，注意信息4是多余干扰条件，解题无需使用。
【解析】
1. 先计算购买苹果和饼干的总花费：
$40 - 0.4 = 39.6$（元）
2. 再计算购买苹果的总花费：
$39.6 - 7.4 = 32.2$（元）
3. 最后计算苹果的重量：
$32.2 ÷ 9.2 = 3.5$（千克）
【答案】
这些苹果有3.5千克。
【知识点】
小数四则运算，单价总价数量关系
【点评】
本题结合生活购物场景出题，需要大家从多个信息中排除干扰条件，理清消费金额的构成，再利用常见数量关系求解，能有效锻炼提取有效信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.（南通海安）甲、乙两数的和是8.5，如果把甲数的小数点向右移动一位，那么得到的新数正好是乙数的7倍。原来甲数是多少？乙数是多少？
答案
$1+0.7=1.7$ $8.5÷1.7=5$ $5×0.7=3.5$
答:原来甲数是3.5,乙数是5。
解析 根据“如果把甲数的小数点向右移动一位，那么得到的新数正好是乙数的7倍”可知，甲数在没有移动小数点前是乙数的$\frac{7}{10}$。把乙数看成1份，甲数就是这样的0.7份，那么甲、乙两数的和就是这样的1.7份，据此解答。
答:原来甲数是3.5,乙数是5。
解析 根据“如果把甲数的小数点向右移动一位，那么得到的新数正好是乙数的7倍”可知，甲数在没有移动小数点前是乙数的$\frac{7}{10}$。把乙数看成1份，甲数就是这样的0.7份，那么甲、乙两数的和就是这样的1.7份，据此解答。
解析
【分析】
解题时首先要理解两个关键条件：一是甲乙两数的和为8.5，二是甲数小数点向右移动一位后是乙数的7倍。首先回忆小数点移动的规律：小数点向右移动一位，原数扩大10倍，因此可推出10倍的甲数等于7倍的乙数，进而得到甲数是乙数的0.7倍。接下来就可以转化为和倍问题求解，把乙数看作1份，甲数就是0.7份，两数和对应的总份数是1.7份，用总和除以总份数就能得到1份的量即乙数，再根据倍数关系求甲数即可。
【解析】
1. 推导甲乙两数的倍数关系：
甲数的小数点向右移动一位，相当于甲数×10，由题意得：$10× 甲数=7× 乙数$
因此$甲数=7÷10× 乙数=0.7× 乙数$，即甲数是乙数的0.7倍。
2. 把乙数看作1份，甲数就是0.7份，两数和对应的总份数为：
$1+0.7=1.7$
3. 计算乙数（1份的量）：
$8.5÷1.7=5$
4. 计算甲数：
$5×0.7=3.5$
【答案】
原来甲数是3.5，乙数是5。
【知识点】
小数点移动的规律、和倍问题、小数四则运算
【点评】
本题综合了小数点变化规律和和倍问题的应用，解题核心是先通过小数点移动的条件推导出两个数的倍数关系，再结合两数的和利用和倍公式计算结果，解题时要注意不要混淆甲乙两数的倍数关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解两个关键条件：一是甲乙两数的和为8.5，二是甲数小数点向右移动一位后是乙数的7倍。首先回忆小数点移动的规律：小数点向右移动一位，原数扩大10倍，因此可推出10倍的甲数等于7倍的乙数，进而得到甲数是乙数的0.7倍。接下来就可以转化为和倍问题求解，把乙数看作1份，甲数就是0.7份，两数和对应的总份数是1.7份，用总和除以总份数就能得到1份的量即乙数，再根据倍数关系求甲数即可。
【解析】
1. 推导甲乙两数的倍数关系：
甲数的小数点向右移动一位，相当于甲数×10，由题意得：$10× 甲数=7× 乙数$
因此$甲数=7÷10× 乙数=0.7× 乙数$，即甲数是乙数的0.7倍。
2. 把乙数看作1份，甲数就是0.7份，两数和对应的总份数为：
$1+0.7=1.7$
3. 计算乙数（1份的量）：
$8.5÷1.7=5$
4. 计算甲数：
$5×0.7=3.5$
【答案】
原来甲数是3.5，乙数是5。
【知识点】
小数点移动的规律、和倍问题、小数四则运算
【点评】
本题综合了小数点变化规律和和倍问题的应用，解题核心是先通过小数点移动的条件推导出两个数的倍数关系，再结合两数的和利用和倍公式计算结果，解题时要注意不要混淆甲乙两数的倍数关系。
【难度系数】
0.7
