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（1）江苏南京制造的某台工业机器人，其传感器传输的信号是二进制的。若一个信号为$(1001)_2$，则它对应的十进制数是（
9
）。答案
(1) 9
解析
【分析】
要把二进制数转换成十进制数，首先要记住转换规则：二进制数的每一位数字，从右往左依次对应2的0次方、2的1次方、2的2次方……，我们只需要把每一位的数字和它对应的2的次方相乘，再把所有乘积加起来，就能得到对应的十进制数。解题时先拆分二进制数的每一位，再分别计算乘积累加即可。
【解析】
二进制数$(1001)_2$共有4位，从左到右各位数字对应的2的次方依次为$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，计算过程如下：
$\begin{aligned}(1001)_2&=1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1\\&=8+0+0+1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
二进制转十进制、乘方运算
【点评】
本题考查二进制与十进制的转换方法，核心是掌握不同进制的位权规则，计算难度较低，牢记转换规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
要把二进制数转换成十进制数，首先要记住转换规则：二进制数的每一位数字，从右往左依次对应2的0次方、2的1次方、2的2次方……，我们只需要把每一位的数字和它对应的2的次方相乘，再把所有乘积加起来，就能得到对应的十进制数。解题时先拆分二进制数的每一位，再分别计算乘积累加即可。
【解析】
二进制数$(1001)_2$共有4位，从左到右各位数字对应的2的次方依次为$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，计算过程如下：
$\begin{aligned}(1001)_2&=1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1\\&=8+0+0+1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
二进制转十进制、乘方运算
【点评】
本题考查二进制与十进制的转换方法，核心是掌握不同进制的位权规则，计算难度较低，牢记转换规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
（2）新情境人文历史 远古时期，人们采用结绳记数。如图，一位猎人在等距离地排列的绳子上从右往左依次打结，满七进一，用来记录猎物的只数，这位猎人捕获了（
27
）只猎物。答案
(2) 27
解析
【分析】
首先看到“满七进一”的规则，我们可以联系熟悉的十进制“满十进一”的计数逻辑：十进制从右往左数位的计数单位依次是1（10⁰）、10（10¹）、100（10²）……，以此类推，七进制从右往左数位的计数单位依次是1（7⁰）、7（7¹）、49（7²）……。接下来只需要数出每根绳子上的结数，将每个数位的结数乘对应计数单位，再求和就能得到总猎物数。
【解析】
1. 明确计数规则：本题是“满七进一”的七进制计数，从右往左三根绳子对应的计数单位分别是$7^0=1$、$7^1=7$、$7^2=49$。
2. 数各绳结数：最右侧（计数单位1）的绳有6个结，中间（计数单位7）的绳有3个结，最左侧（计数单位49）的绳有0个结。
3. 计算总猎物数：
$0×49 + 3×7 + 6×1 = 0 + 21 + 6 = 27$
【答案】
27
【知识点】
七进制计数、位值原理、进制转换
【点评】
本题结合远古结绳记数的传统文化情境，考查特殊进制的计数规则，需要将十进制的位值原理迁移到七进制中，能有效锻炼知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先看到“满七进一”的规则，我们可以联系熟悉的十进制“满十进一”的计数逻辑：十进制从右往左数位的计数单位依次是1（10⁰）、10（10¹）、100（10²）……，以此类推，七进制从右往左数位的计数单位依次是1（7⁰）、7（7¹）、49（7²）……。接下来只需要数出每根绳子上的结数，将每个数位的结数乘对应计数单位，再求和就能得到总猎物数。
【解析】
1. 明确计数规则：本题是“满七进一”的七进制计数，从右往左三根绳子对应的计数单位分别是$7^0=1$、$7^1=7$、$7^2=49$。
2. 数各绳结数：最右侧（计数单位1）的绳有6个结，中间（计数单位7）的绳有3个结，最左侧（计数单位49）的绳有0个结。
3. 计算总猎物数：
$0×49 + 3×7 + 6×1 = 0 + 21 + 6 = 27$
【答案】
27
【知识点】
七进制计数、位值原理、进制转换
【点评】
本题结合远古结绳记数的传统文化情境，考查特殊进制的计数规则，需要将十进制的位值原理迁移到七进制中，能有效锻炼知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 新趋势 数形结合 我们用一根手指表示二进制数的一个数位，那么用手就可以表示出一个二进制数。手指缩回去表示数字0，手指伸出来表示数字1。如图①，手势表示的二进制数是10000，这个数转化为十进制数是$16 × 1 = 16$。如图②，手势表示的二进制数是1100，这个数转化为十进制数是$8 × 1 + 4 × 1 = 12$。
下面的手势表示的二进制数转化为十进制数后分别是多少？
下面的手势表示的二进制数转化为十进制数后分别是多少？
答案
31 8 17
解析
【分析】
解题前先从题目给出的示例总结规律：首先每根手指对应一个固定的数值，手指伸出来代表要加它对应的数，缩回去就不加；从示例可知五根手指对应的数值从左到右依次是16、8、4、2、1。接下来我们只需要分别观察三个手势里哪些手指伸出来，把对应数值相加就能得到十进制数啦。
【解析】
1. 第一个手势：五根手指全部伸出来，把对应数值全部相加：$16+8+4+2+1=31$；
2. 第二个手势：只有对应数值为8的手指伸出来，其他都缩回，所以结果就是8；
3. 第三个手势：只有对应16和对应1的两根手指伸出来，相加得：$16+1=17$。
【答案】
31 8 17
【知识点】
1. 二进制转十进制
2. 位值原理
【点评】
这道题结合趣味手势场景考查进制转换知识，将抽象的数位概念具象化，只要掌握题目给出的计算规则，就能通过简单加法算出结果，能很好锻炼数形结合和规则应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题前先从题目给出的示例总结规律：首先每根手指对应一个固定的数值，手指伸出来代表要加它对应的数，缩回去就不加；从示例可知五根手指对应的数值从左到右依次是16、8、4、2、1。接下来我们只需要分别观察三个手势里哪些手指伸出来，把对应数值相加就能得到十进制数啦。
【解析】
1. 第一个手势：五根手指全部伸出来，把对应数值全部相加：$16+8+4+2+1=31$；
2. 第二个手势：只有对应数值为8的手指伸出来，其他都缩回，所以结果就是8；
3. 第三个手势：只有对应16和对应1的两根手指伸出来，相加得：$16+1=17$。
【答案】
31 8 17
【知识点】
1. 二进制转十进制
2. 位值原理
【点评】
这道题结合趣味手势场景考查进制转换知识，将抽象的数位概念具象化，只要掌握题目给出的计算规则，就能通过简单加法算出结果，能很好锻炼数形结合和规则应用的能力。
【难度系数】
0.7
3. 将下面的十进制数转化为二进制数。
(1) 7
(2) 15
(1) 7
(2) 15
答案
(1) (111)₂ (2) (1111)₂
解析
【分析】
本题考查十进制数转二进制数的基础运算，解题可采用“除2取余，逆序排列”的方法：将待转换的十进制数反复除以2，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数从最后一个到第一个反向排列，得到的结果就是对应的二进制数。
【解析】
(1) 转换十进制数7：
① 7÷2，商为3，余数是1；
② 3÷2，商为1，余数是1；
③ 1÷2，商为0，余数是1；
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列得111，即7对应的二进制数为(111)₂。
(2) 转换十进制数15：
① 15÷2，商为7，余数是1；
② 7÷2，商为3，余数是1；
③ 3÷2，商为1，余数是1；
④ 1÷2，商为0，余数是1；
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列得1111，即15对应的二进制数为(1111)₂。
【答案】
(1) (111)₂ (2) (1111)₂
【知识点】
十进制转二进制、除2取余法
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心考查除2取余法的操作规则，熟练掌握该方法即可快速解题，也是后续学习更复杂进制换算的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查十进制数转二进制数的基础运算，解题可采用“除2取余，逆序排列”的方法：将待转换的十进制数反复除以2，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数从最后一个到第一个反向排列，得到的结果就是对应的二进制数。
【解析】
(1) 转换十进制数7：
① 7÷2，商为3，余数是1；
② 3÷2，商为1，余数是1；
③ 1÷2，商为0，余数是1；
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列得111，即7对应的二进制数为(111)₂。
(2) 转换十进制数15：
① 15÷2，商为7，余数是1；
② 7÷2，商为3，余数是1；
③ 3÷2，商为1，余数是1；
④ 1÷2，商为0，余数是1；
商为0停止计算，将余数从后往前倒序排列得1111，即15对应的二进制数为(1111)₂。
【答案】
(1) (111)₂ (2) (1111)₂
【知识点】
十进制转二进制、除2取余法
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心考查除2取余法的操作规则，熟练掌握该方法即可快速解题，也是后续学习更复杂进制换算的基础。
【难度系数】
0.8
4. 有一个二进制数，从右往左第3位是1，其余各位是0，这个数对应的十进制数是多少？如果将这个数加1，那么得到的新二进制数是什么？
答案
从右往左第3位是1,其余各位是0,该二进制数是(100)₂ (100)₂=4×1=4 (100)₂+1=(101)₂ 答:这个数对应的十进制数是4;得到的新二进制数是(101)₂。
解析
【分析】
首先我们要明确二进制的数位规则：二进制从右往左的数位，对应代表的大小依次是1、2、4、8……，每往左一位，数值是前一位的2倍。解题思路分三步：第一步根据题目描述写出对应二进制数：从右往左第3位是1、其余为0，也就是右数前两位是0，第三位是1，得到二进制数100；第二步将二进制数转换为十进制，用每个数位的数字乘该数位对应的数值，求和即可；第三步计算二进制加1，遵循“逢二进一”的规则，从最末位开始加1，没有满二就不需要进位，直接得到结果。
【解析】
1. 写出对应二进制数：根据“从右往左第3位是1，其余各位是0”的描述，可得这个二进制数为$\boxed{(100)_2}$。
2. 转换为十进制：二进制从右数第1位对应数值1、第2位对应数值2、第3位对应数值4，该数仅第3位是1，其余位都是0，因此对应的十进制数为 $1×4 + 0×2 +0×1=4$。
3. 计算二进制加1：二进制加法遵循“逢二进一”的规则，给$(100)_2$加1时，最末位的0加1得1，不满2不需要进位，因此得到的新二进制数为$(100)_2+1=(101)_2$。
【答案】
这个数对应的十进制数是4；得到的新二进制数是$\boxed{(101)_2}$。
【知识点】
二进制数位含义，二进制转十进制，二进制加法
【点评】
本题是二进制的基础题型，主要考察对二进制数位规则和基础运算的掌握，熟练记住数位对应的权重和“逢二进一”的加法规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确二进制的数位规则：二进制从右往左的数位，对应代表的大小依次是1、2、4、8……，每往左一位，数值是前一位的2倍。解题思路分三步：第一步根据题目描述写出对应二进制数：从右往左第3位是1、其余为0，也就是右数前两位是0，第三位是1，得到二进制数100；第二步将二进制数转换为十进制，用每个数位的数字乘该数位对应的数值，求和即可；第三步计算二进制加1，遵循“逢二进一”的规则，从最末位开始加1，没有满二就不需要进位，直接得到结果。
【解析】
1. 写出对应二进制数：根据“从右往左第3位是1，其余各位是0”的描述，可得这个二进制数为$\boxed{(100)_2}$。
2. 转换为十进制：二进制从右数第1位对应数值1、第2位对应数值2、第3位对应数值4，该数仅第3位是1，其余位都是0，因此对应的十进制数为 $1×4 + 0×2 +0×1=4$。
3. 计算二进制加1：二进制加法遵循“逢二进一”的规则，给$(100)_2$加1时，最末位的0加1得1，不满2不需要进位，因此得到的新二进制数为$(100)_2+1=(101)_2$。
【答案】
这个数对应的十进制数是4；得到的新二进制数是$\boxed{(101)_2}$。
【知识点】
二进制数位含义，二进制转十进制，二进制加法
【点评】
本题是二进制的基础题型，主要考察对二进制数位规则和基础运算的掌握，熟练记住数位对应的权重和“逢二进一”的加法规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 新素养运算能力 用竖式计算。
$(101)_2 + (10)_2 =$
$(1101)_2 + (11)_2 =$
$(101)_2 + (10)_2 =$
$(1101)_2 + (11)_2 =$
答案
(111)₂ (10000)₂ 竖式略
解析
【分析】
我们可以类比十进制加法的计算方法来计算二进制加法：首先要把两个数的相同数位靠右对齐，从最低位（最右侧）开始逐位相加，和十进制“满十进一”的规则不同，二进制加法的规则是“满二进一”，也就是某一位相加的和等于2时，就要向它的前一位进1，本位留下0即可，计算时注意不要忘记加上低位进上来的1。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(101)_2 + (10)_2}$：
先对齐数位：
```
1 0 1
+ 1 0
--------
```
从右往左逐位相加：
最右侧第1位：$1+0=1$，本位写1；
第2位：$0+1=1$，本位写1；
第3位：$1+0=1$，本位写1；
得到结果$(111)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(1101)_2 + (11)_2}$：
先对齐数位：
```
1 1 0 1
+ 1 1
----------
```
从右往左逐位相加：
最右侧第1位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，向第2位进1；
第2位：$0+1+1=2$，满2进1，本位写0，向第3位进1；
第3位：$1+0+1=2$，满2进1，本位写0，向第4位进1；
第4位：$1+0+1=2$，满2进1，本位写0，向第5位进1；
第5位直接写进位的1；
得到结果$(10000)_2$。
【答案】
$(111)_2$；$(10000)_2$
【知识点】
1. 二进制的认识
2. 二进制加法运算
【点评】
本题考查二进制加法的计算，核心是掌握二进制“满二进一”的进位规则，计算时只要对齐数位，逐位相加，注意不要漏加低位的进位，就能正确算出结果。
【难度系数】
0.7
我们可以类比十进制加法的计算方法来计算二进制加法：首先要把两个数的相同数位靠右对齐，从最低位（最右侧）开始逐位相加，和十进制“满十进一”的规则不同，二进制加法的规则是“满二进一”，也就是某一位相加的和等于2时，就要向它的前一位进1，本位留下0即可，计算时注意不要忘记加上低位进上来的1。
【解析】
1. 计算$\boldsymbol{(101)_2 + (10)_2}$：
先对齐数位：
```
1 0 1
+ 1 0
--------
```
从右往左逐位相加：
最右侧第1位：$1+0=1$，本位写1；
第2位：$0+1=1$，本位写1；
第3位：$1+0=1$，本位写1；
得到结果$(111)_2$。
2. 计算$\boldsymbol{(1101)_2 + (11)_2}$：
先对齐数位：
```
1 1 0 1
+ 1 1
----------
```
从右往左逐位相加：
最右侧第1位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，向第2位进1；
第2位：$0+1+1=2$，满2进1，本位写0，向第3位进1；
第3位：$1+0+1=2$，满2进1，本位写0，向第4位进1；
第4位：$1+0+1=2$，满2进1，本位写0，向第5位进1；
第5位直接写进位的1；
得到结果$(10000)_2$。
【答案】
$(111)_2$；$(10000)_2$
【知识点】
1. 二进制的认识
2. 二进制加法运算
【点评】
本题考查二进制加法的计算，核心是掌握二进制“满二进一”的进位规则，计算时只要对齐数位，逐位相加，注意不要漏加低位的进位，就能正确算出结果。
【难度系数】
0.7
6. 新素养推理意识 佳佳给凡凡表演魔术，她拿出如下5张卡片，让凡凡任意在1～31中选一个数，然后只需要告诉佳佳分别在第几张出现了，佳佳就能马上说出凡凡选的数是多少。如果凡凡选的数在第1,3,4,5张中出现了，那么这个数是多少？
第1张
29,3,9,13,
11,17,1,5,
7,19,15,27,
23,21,25。
第2张
22,23,26,27,
18,15,14,11,
2,3,6,7,10,
19,23。
第3张
30,29,28,23,
22,21,20,4,
5,6,7,12,
13,14,15。
第4张
8,9,10,11,
30,29,28,27,
12,13,14,15,
24,25,26。
第5张
18,19,20,16,
17,24,25,23,
21,22,26,27,
28,29,30。
第1张
29,3,9,13,
11,17,1,5,
7,19,15,27,
23,21,25。
第2张
22,23,26,27,
18,15,14,11,
2,3,6,7,10,
19,23。
第3张
30,29,28,23,
22,21,20,4,
5,6,7,12,
13,14,15。
第4张
8,9,10,11,
30,29,28,27,
12,13,14,15,
24,25,26。
第5张
18,19,20,16,
17,24,25,23,
21,22,26,27,
28,29,30。
答案
16×1+8×1+4×1+1×1=29
答:这个数是29。
解析 该魔术中每张卡片分别对应二进制数的一位,即第1张对应1,第2张对应2,第3张对应4,第4张对应8,第5张对应16,凡凡选的数在第1,3,4,5张中出现,就是把对应位相加,即1+4+8+16=29。
答:这个数是29。
解析 该魔术中每张卡片分别对应二进制数的一位,即第1张对应1,第2张对应2,第3张对应4,第4张对应8,第5张对应16,凡凡选的数在第1,3,4,5张中出现,就是把对应位相加,即1+4+8+16=29。
解析
【分析】
这个卡片魔术有固定的运算规则：5张卡片分别对应固定的数值，第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。解题时，只要找出所选数字出现的卡片，将这些卡片对应的数值相加，得到的和就是所选的数。本题已知数字在第1、3、4、5张出现，我们只需提取这四张卡片对应的数值相加即可得到结果。
【解析】
首先明确每张卡片对应的数值：第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。
因为所选数字出现在第1、3、4、5张中，所以将这四张对应的数值相加：
1 + 4 + 8 + 16 = 29
验证可得，29确实同时出现在第1、3、4、5张卡片中，符合题意。
【答案】
29
【知识点】
二进制应用，数字推理，整数加法
【点评】
本题结合趣味魔术场景设计题目，将数学知识和游戏结合，既可以锻炼推理能力，也能让大家感受到数学的趣味性，掌握规则后通过简单计算就能快速解题。
【难度系数】
0.7
这个卡片魔术有固定的运算规则：5张卡片分别对应固定的数值，第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。解题时，只要找出所选数字出现的卡片，将这些卡片对应的数值相加，得到的和就是所选的数。本题已知数字在第1、3、4、5张出现，我们只需提取这四张卡片对应的数值相加即可得到结果。
【解析】
首先明确每张卡片对应的数值：第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。
因为所选数字出现在第1、3、4、5张中，所以将这四张对应的数值相加：
1 + 4 + 8 + 16 = 29
验证可得，29确实同时出现在第1、3、4、5张卡片中，符合题意。
【答案】
29
【知识点】
二进制应用，数字推理，整数加法
【点评】
本题结合趣味魔术场景设计题目，将数学知识和游戏结合，既可以锻炼推理能力，也能让大家感受到数学的趣味性，掌握规则后通过简单计算就能快速解题。
【难度系数】
0.7
