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1. (★)下列各等式成立的是 （）
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 7\sqrt{5}$
D.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{6}$
A.$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
B.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = 7\sqrt{5}$
D.$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{6}$
答案
D
解析
根据二次根式乘法法则：$a\sqrt{m}· b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn} \ (m≥0,n≥0)$，逐个验证选项：
选项A：$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = (4×2)×(\sqrt{5}×\sqrt{5})=8×5=40≠8\sqrt{5}$，等式不成立；
选项B：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4)×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}≠20\sqrt{5}$，等式不成立；
选项C：$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (4×3)×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}≠7\sqrt{5}$，等式不成立；
选项D：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4)×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}$，等式成立。
选项A：$4\sqrt{5} × 2\sqrt{5} = (4×2)×(\sqrt{5}×\sqrt{5})=8×5=40≠8\sqrt{5}$，等式不成立；
选项B：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4)×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}≠20\sqrt{5}$，等式不成立；
选项C：$4\sqrt{3} × 3\sqrt{2} = (4×3)×\sqrt{3×2}=12\sqrt{6}≠7\sqrt{5}$，等式不成立；
选项D：$5\sqrt{3} × 4\sqrt{2} = (5×4)×\sqrt{3×2}=20\sqrt{6}$，等式成立。
2. (★)化简$\frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$的结果是（）
A.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{2}{\sqrt{3}}$
C.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$-\sqrt{2}$
A.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$-\frac{2}{\sqrt{3}}$
C.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
C
解析
先化简分母：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，代入原式得$\frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，计算得$-\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$。
3. (★★)已知$a=\sqrt{10}$，$b=\sqrt{2}$，用含$a,b$的代数式表示$\sqrt{40}$，这个代数式可以是（）
A.$a+2b$
B.$a^2b$
C.$4a$
D.$ab^2$
A.$a+2b$
B.$a^2b$
C.$4a$
D.$ab^2$
答案
D
解析
先化简$\sqrt{40}$：$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$。
分别计算各选项：
A. $a+2b=\sqrt{10}+2\sqrt{2}≠2\sqrt{10}$，不符合；
B. $a^2b=(\sqrt{10})^2×\sqrt{2}=10\sqrt{2}≠2\sqrt{10}$，不符合；
C. $4a=4\sqrt{10}≠2\sqrt{10}$，不符合；
D. $ab^2=\sqrt{10}×(\sqrt{2})^2=\sqrt{10}×2=2\sqrt{10}=\sqrt{40}$，符合要求。
分别计算各选项：
A. $a+2b=\sqrt{10}+2\sqrt{2}≠2\sqrt{10}$，不符合；
B. $a^2b=(\sqrt{10})^2×\sqrt{2}=10\sqrt{2}≠2\sqrt{10}$，不符合；
C. $4a=4\sqrt{10}≠2\sqrt{10}$，不符合；
D. $ab^2=\sqrt{10}×(\sqrt{2})^2=\sqrt{10}×2=2\sqrt{10}=\sqrt{40}$，符合要求。
4.(★)在$\sqrt{6}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，$\sqrt{4}$中，是最简二次根式的是。
答案
解：
最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。
1. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求；
2. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{4}=\sqrt{2^2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
综上，是最简二次根式的是$\sqrt{6}$。
最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。
1. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，且不存在能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求；
2. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{\frac{1}{2}}$：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{4}=\sqrt{2^2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式。
综上，是最简二次根式的是$\sqrt{6}$。
5. (★★)$2-\sqrt{3}$的倒数是，$\sqrt{5}+\sqrt{6}$的倒数是。
答案
$\boldsymbol{2+\sqrt{3}}$；$\boldsymbol{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$
解析
解：
计算$2-\sqrt{3}$的倒数：
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
计算$\sqrt{5}+\sqrt{6}$的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
最终
计算$2-\sqrt{3}$的倒数：
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
计算$\sqrt{5}+\sqrt{6}$的倒数：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{1×(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
最终
6. (★★)已知$a＜0,b＞0$,则化简$\sqrt{a^2b^2}$的结果是.
答案
解：
$\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{(ab)^2}=|ab|$
$\because a＜0,b＞0$
$\therefore ab＜0$
$\therefore |ab|=-ab$
最终结果：$\boldsymbol{-ab}$
$\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{(ab)^2}=|ab|$
$\because a＜0,b＞0$
$\therefore ab＜0$
$\therefore |ab|=-ab$
最终结果：$\boldsymbol{-ab}$
7. (★★)计算：
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{6}$；
(2)$3\sqrt{18} × \dfrac{\sqrt{3}}{6} ÷ 2\sqrt{6}$；
(3)$a^2 · \sqrt{ab} · b\sqrt{\dfrac{b}{a}} ÷ \sqrt{\dfrac{9b^2}{a}}$。
(1)$\sqrt{3} × \sqrt{6}$；
(2)$3\sqrt{18} × \dfrac{\sqrt{3}}{6} ÷ 2\sqrt{6}$；
(3)$a^2 · \sqrt{ab} · b\sqrt{\dfrac{b}{a}} ÷ \sqrt{\dfrac{9b^2}{a}}$。
答案
解：
(1) 原式$=\sqrt{3×6}$
$=\sqrt{18}$
$=3\sqrt{2}$
(2) 原式$=(3×\dfrac{1}{6}÷2)×(\sqrt{18}×\sqrt{3}÷\sqrt{6})$
$=\dfrac{1}{4}×\sqrt{18×3÷6}$
$=\dfrac{1}{4}×\sqrt{9}$
$=\dfrac{1}{4}×3$
$=\dfrac{3}{4}$
(3) 原式$=a^2· b· \sqrt{ab·\dfrac{b}{a}÷\dfrac{9b^2}{a}}$
$=a^2b· \sqrt{ab·\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{9b^2}}$
$=a^2b· \sqrt{\dfrac{a}{9}}$
$=a^2b· \dfrac{\sqrt{a}}{3}$
$=\dfrac{a^2b\sqrt{a}}{3}$
(1) 原式$=\sqrt{3×6}$
$=\sqrt{18}$
$=3\sqrt{2}$
(2) 原式$=(3×\dfrac{1}{6}÷2)×(\sqrt{18}×\sqrt{3}÷\sqrt{6})$
$=\dfrac{1}{4}×\sqrt{18×3÷6}$
$=\dfrac{1}{4}×\sqrt{9}$
$=\dfrac{1}{4}×3$
$=\dfrac{3}{4}$
(3) 原式$=a^2· b· \sqrt{ab·\dfrac{b}{a}÷\dfrac{9b^2}{a}}$
$=a^2b· \sqrt{ab·\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{9b^2}}$
$=a^2b· \sqrt{\dfrac{a}{9}}$
$=a^2b· \dfrac{\sqrt{a}}{3}$
$=\dfrac{a^2b\sqrt{a}}{3}$
8.（★★★）先化简，再求值：$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} ÷ ( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} )$，其中$a = \sqrt{2} + 1$，$b = \sqrt{2} - 1$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{b - a}{ab}\\&=\frac{a-b}{a+b} · \frac{ab}{-(a-b)}\\&=-\frac{ab}{a+b}\end{aligned}$
当$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$时：
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \frac{b - a}{ab}\\&=\frac{a-b}{a+b} · \frac{ab}{-(a-b)}\\&=-\frac{ab}{a+b}\end{aligned}$
当$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}-1$时：
$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$
