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19. 解下列不等式,并将其解集在数轴上表示出来.
(1)$8x - 1 ≥ 6x + 3$；
(2)$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$。
(1)$8x - 1 ≥ 6x + 3$；
(2)$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$。
答案
19.解:(1)移项,得$8x - 6x≥3 + 1$.合并同类项,得$2x≥4$.系数化为1,得$x≥2$.其解集在数轴上表示如图:
(2)去分母、去括号,得$12x - 6＜10x + 1$.移项,得$12x - 10x＜1 + 6$.合并同类项,得$2x＜7$.系数化为1,得$x＜\frac{7}{2}$.其解集在数轴上表示如图:
解析
【分析】
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母（含分母时）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，若系数化为1时系数为负数，不等号方向要改变，本题两个不等式的系数均为正数，不等号方向无需改变。数轴表示解集时，“≥”“≤”用实心圆点标记，“＞”“＜”用空心圆圈标记，大于向右画射线，小于向左画射线。
【解析】
(1) 解不等式$8x - 1 ≥ 6x + 3$：
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$8x - 6x≥3 + 1$；
合并同类项，计算得$2x≥4$；
系数化为1，两边同时除以2，得$x≥2$。
数轴表示时在2的位置画实心圆点，向右延伸射线即可。
(2) 解不等式$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$：
去分母，两边同时乘以最小公倍数6，注意不含分母的项也要乘6，去括号后得$12x - 6＜10x + 1$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$12x - 10x＜1 + 6$；
合并同类项，计算得$2x＜7$；
系数化为1，两边同时除以2，得$x＜\frac{7}{2}$。
数轴表示时在$\frac{7}{2}$的位置画空心圆圈，向左延伸射线即可。
【答案】
(1) $x≥2$，其解集在数轴上表示如图：
(2) $x＜\frac{7}{2}$，其解集在数轴上表示如图：
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式的基础考查题型，解题时要注意去分母环节不要漏乘不含分母的常数项，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，依次为去分母（含分母时）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，若系数化为1时系数为负数，不等号方向要改变，本题两个不等式的系数均为正数，不等号方向无需改变。数轴表示解集时，“≥”“≤”用实心圆点标记，“＞”“＜”用空心圆圈标记，大于向右画射线，小于向左画射线。
【解析】
(1) 解不等式$8x - 1 ≥ 6x + 3$：
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$8x - 6x≥3 + 1$；
合并同类项，计算得$2x≥4$；
系数化为1，两边同时除以2，得$x≥2$。
数轴表示时在2的位置画实心圆点，向右延伸射线即可。
(2) 解不等式$2x - 1 ＜ \frac{10x + 1}{6}$：
去分母，两边同时乘以最小公倍数6，注意不含分母的项也要乘6，去括号后得$12x - 6＜10x + 1$；
移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$12x - 10x＜1 + 6$；
合并同类项，计算得$2x＜7$；
系数化为1，两边同时除以2，得$x＜\frac{7}{2}$。
数轴表示时在$\frac{7}{2}$的位置画空心圆圈，向左延伸射线即可。
【答案】
(1) $x≥2$，其解集在数轴上表示如图：
(2) $x＜\frac{7}{2}$，其解集在数轴上表示如图：
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式的基础考查题型，解题时要注意去分母环节不要漏乘不含分母的常数项，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的使用场景。
【难度系数】
0.85
20. 解不等式$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$，并写出它的负整数解.
答案
20.解:去分母,得$2(2x - 1) - 3(5x + 1)≤6$.去括号,得$4x - 2 - 15x - 3≤6$.移项、合并同类项,得$-11x≤11$.系数化为1,得$x≥-1$.它的负整数解为$-1$.
解析
【分析】
解该一元一次不等式可类比一元一次方程的求解步骤：第一步先去分母，找到分母3和2的最小公倍数6，不等式两边每一项都乘6，注意不要漏乘右侧的常数项1；第二步去括号，若括号前是负号，括号内各项要变号；第三步移项合并同类项；第四步系数化为1，注意此时x的系数为负数，不等号方向要改变。求出解集后，在解集范围内找出所有负整数即可得到对应的负整数解。
【解析】
解：去分母，得$2(2x - 1) - 3(5x + 1)≤6$
去括号，得$4x - 2 - 15x - 3≤6$
移项、合并同类项，得$-11x≤11$
系数化为1（不等号方向改变），得$x≥-1$
在$x≥-1$的范围内，负整数只有$-1$，因此该不等式的负整数解为$-1$。
【答案】
不等式的解集为$x≥-1$，负整数解为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质；不等式的整数解
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，二是系数化为1时若系数为负，要改变不等号的方向，确定整数解时需看清要求的解的范围，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.75
解该一元一次不等式可类比一元一次方程的求解步骤：第一步先去分母，找到分母3和2的最小公倍数6，不等式两边每一项都乘6，注意不要漏乘右侧的常数项1；第二步去括号，若括号前是负号，括号内各项要变号；第三步移项合并同类项；第四步系数化为1，注意此时x的系数为负数，不等号方向要改变。求出解集后，在解集范围内找出所有负整数即可得到对应的负整数解。
【解析】
解：去分母，得$2(2x - 1) - 3(5x + 1)≤6$
去括号，得$4x - 2 - 15x - 3≤6$
移项、合并同类项，得$-11x≤11$
系数化为1（不等号方向改变），得$x≥-1$
在$x≥-1$的范围内，负整数只有$-1$，因此该不等式的负整数解为$-1$。
【答案】
不等式的解集为$x≥-1$，负整数解为$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质；不等式的整数解
【点评】
本题是一元一次不等式的基础考查题，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的常数项，二是系数化为1时若系数为负，要改变不等号的方向，确定整数解时需看清要求的解的范围，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.75
21. 对于实数$x$，我们规定$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如，$[1.2]=1$.
(1)填空:$[0.5]=$
(2)若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$,求$x$的取值范围.
(1)填空:$[0.5]=$
0
,$[-2.5]=$-3
;(2)若$[\dfrac{x+4}{10}]=5$,求$x$的取值范围.
答案
21.解:(1)0 -3
(2)$\because [\dfrac{x+4}{10}]=5$,
$\therefore 5≤\dfrac{x+4}{10}＜6$,解得$46≤x＜56$.
$\therefore x$的取值范围为$46≤x＜56$.
(2)$\because [\dfrac{x+4}{10}]=5$,
$\therefore 5≤\dfrac{x+4}{10}＜6$,解得$46≤x＜56$.
$\therefore x$的取值范围为$46≤x＜56$.
解析
【分析】
本题考查新定义下的取整运算及一元一次不等式组的求解。(1) 首先明确$[x]$的含义是不大于$x$的最大整数，直接根据定义判断对应整数即可；(2) 结合取整运算的含义，若$[a]=n$（$n$为整数），则$n≤ a＜n+1$，将$a$替换为$\dfrac{x+4}{10}$、$n$替换为5，即可得到关于$x$的不等式组，解不等式组就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数：
不大于0.5的最大整数是0，故$[0.5]=0$；
不大于-2.5的最大整数是-3，故$[-2.5]=-3$。
(2) $\because [\dfrac{x+4}{10}]=5$，根据取整的定义可得：
$5≤ \dfrac{x+4}{10}＜6$
不等式三边同时乘10得：$50≤ x+4＜60$
不等式三边同时减4得：$46≤ x＜56$
$\therefore x$的取值范围为$46≤ x＜56$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{46≤ x＜56}$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解取整符号的含义，将陌生的新定义问题转化为熟悉的不等式问题求解，考查学生的知识迁移能力和不等式计算能力。
【难度系数】
0.8
本题考查新定义下的取整运算及一元一次不等式组的求解。(1) 首先明确$[x]$的含义是不大于$x$的最大整数，直接根据定义判断对应整数即可；(2) 结合取整运算的含义，若$[a]=n$（$n$为整数），则$n≤ a＜n+1$，将$a$替换为$\dfrac{x+4}{10}$、$n$替换为5，即可得到关于$x$的不等式组，解不等式组就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 根据$[x]$表示不大于$x$的最大整数：
不大于0.5的最大整数是0，故$[0.5]=0$；
不大于-2.5的最大整数是-3，故$[-2.5]=-3$。
(2) $\because [\dfrac{x+4}{10}]=5$，根据取整的定义可得：
$5≤ \dfrac{x+4}{10}＜6$
不等式三边同时乘10得：$50≤ x+4＜60$
不等式三边同时减4得：$46≤ x＜56$
$\therefore x$的取值范围为$46≤ x＜56$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{-3}$
(2) $\boldsymbol{46≤ x＜56}$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解取整符号的含义，将陌生的新定义问题转化为熟悉的不等式问题求解，考查学生的知识迁移能力和不等式计算能力。
【难度系数】
0.8
