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典例3 如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ CAB$,$BD ⊥ AD$,$DE // AC$.求证$AE=BE$.
答案
典例3 证明
∵DE// AC,
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=ED.
∵BD⊥AD,
∴∠ADE+∠EDB=90°,∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB,
∴∠EDB=∠ABD,
∴DE=BE,
∴AE=BE.
∵DE// AC,
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD,
∴∠EAD=∠ADE,
∴AE=ED.
∵BD⊥AD,
∴∠ADE+∠EDB=90°,∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB,
∴∠EDB=∠ABD,
∴DE=BE,
∴AE=BE.
解析
【分析】
要证明AE=BE，可通过寻找中间等量DE，分别证明AE=DE、BE=DE即可推导结论。首先结合已知的DE//AC和AD平分∠CAB，利用平行线的性质和角平分线的定义可推导角相等，得到等腰△AED，即AE=DE；再结合BD⊥AD的条件，利用等角的余角相等推导∠EDB=∠ABD，得到等腰△BED，即BE=DE，最后通过等量代换即可得到AE=BE。
【解析】
证明：
∵DE// AC，
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED.
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE=BE.
【答案】
AE=BE得证
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形基础证明的典型题型，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质与判定，解题关键是找到中间量DE，通过两次判定等腰三角形完成等量代换，解题时需熟练运用等角的余角相等这一性质。
【难度系数】
0.8
要证明AE=BE，可通过寻找中间等量DE，分别证明AE=DE、BE=DE即可推导结论。首先结合已知的DE//AC和AD平分∠CAB，利用平行线的性质和角平分线的定义可推导角相等，得到等腰△AED，即AE=DE；再结合BD⊥AD的条件，利用等角的余角相等推导∠EDB=∠ABD，得到等腰△BED，即BE=DE，最后通过等量代换即可得到AE=BE。
【解析】
证明：
∵DE// AC，
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=ED.
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°.
又∠ADE=∠DAB，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE=BE.
【答案】
AE=BE得证
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形基础证明的典型题型，综合考查了角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质与判定，解题关键是找到中间量DE，通过两次判定等腰三角形完成等量代换，解题时需熟练运用等角的余角相等这一性质。
【难度系数】
0.8
典例4 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$D$，$F$分别为$AB$，$AC$的中点，且$DE ⊥ AB$，$FG ⊥ AC$，点$E$，$G$在$BC$上，$BC=18\ \mathrm{cm}$，求线段$EG$的长。
答案
典例4 解 如图,连接AE,AG.
∵D为AB中点,ED⊥AB,
∴EB=EA,
∴△ABE为等腰三角形.同理△AGC为等腰三角形.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAE=30°,
∴∠AEG=60°.同理∠AGE=60°,
∴△AEG为等边三角形,
∴AE=EG=AG.
∵AE=BE,AG=GC,
∴BE=EG=GC.
∵BE+EG+GC=BC=18 cm,
∴EG=6 cm.
解析
【分析】
首先观察已知条件：DE垂直AB且D是AB中点，说明DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此优先考虑作辅助线连接AE、AG，可得EB=EA，同理可得GC=GA；再结合△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角为120°，可先求出底角∠B、∠C的度数，再推导△AEG的内角度数，判断△AEG的形状，最后转化线段关系结合BC的长度即可求出EG的长。
【解析】
解：如图，连接AE，AG。
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB=EA，即△ABE为等腰三角形。
同理△AGC为等腰三角形，AG=GC。
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=60°。
同理可得∠AGE=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG。
∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC。
∵BE+EG+GC=BC=18 cm，
∴3EG=18 cm，解得EG=6 cm。
【答案】
EG的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质构造辅助线，通过角度推导得到等边三角形，将BC三等分后求解线段长度，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件：DE垂直AB且D是AB中点，说明DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此优先考虑作辅助线连接AE、AG，可得EB=EA，同理可得GC=GA；再结合△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角为120°，可先求出底角∠B、∠C的度数，再推导△AEG的内角度数，判断△AEG的形状，最后转化线段关系结合BC的长度即可求出EG的长。
【解析】
解：如图，连接AE，AG。
∵D为AB中点，ED⊥AB，
∴EB=EA，即△ABE为等腰三角形。
同理△AGC为等腰三角形，AG=GC。
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=60°。
同理可得∠AGE=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG=AG。
∵AE=BE，AG=GC，
∴BE=EG=GC。
∵BE+EG+GC=BC=18 cm，
∴3EG=18 cm，解得EG=6 cm。
【答案】
EG的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质构造辅助线，通过角度推导得到等边三角形，将BC三等分后求解线段长度，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
典例5 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=30°,DE$垂直平分$AC$,点$O$在$DE$上,$∠ OAB=∠ OBA$.
(1)求证:$△ OAB$是等边三角形.
(2)若$OD=2,OE=4$,求$BE$的长.
典例解析
典例1
答案A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案D
解析 如图,连接$AD,DE,DF$.
$\because$点$E$和点$F$分别是点$D$关于$AB$和$AC$的对称点,$\therefore ∠ EAB=∠ BAD,∠ FAC=∠ CAD$.
$\because ∠ B=62°,∠ C=51°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=180°-62°-51°=67°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB+∠ BAD+∠ DAC+∠ CAF=2∠ BAC=134°$.
故选D.
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB,\therefore ∠ CAD=∠ EAD,\therefore ∠ EAD=∠ ADE,\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD,\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°,∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD,\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
典例4
解 如图,连接$AE,AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB,\therefore EB=EA,\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°,AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°,\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE,AG=GC,\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC,\therefore OA=OC,∠ OAC=∠ OCA.\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB,\therefore OC=OB,\therefore ∠ OBC=∠ OCB.\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°,\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2,OE=4,\therefore DE=OD+OE=6$.
$\because ∠ ACB=30°,∠ CDE=90°,\therefore CE=2DE=12,∠ CED=60°,\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2,\therefore CF=10$.
$\because OC=OB,OF⊥ BC,\therefore BC=2CF=20,\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
(1)求证:$△ OAB$是等边三角形.
(2)若$OD=2,OE=4$,求$BE$的长.
典例解析
典例1
答案A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案D
解析 如图,连接$AD,DE,DF$.
$\because$点$E$和点$F$分别是点$D$关于$AB$和$AC$的对称点,$\therefore ∠ EAB=∠ BAD,∠ FAC=∠ CAD$.
$\because ∠ B=62°,∠ C=51°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=180°-62°-51°=67°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB+∠ BAD+∠ DAC+∠ CAF=2∠ BAC=134°$.
故选D.
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB,\therefore ∠ CAD=∠ EAD,\therefore ∠ EAD=∠ ADE,\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD,\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°,∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD,\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
典例4
解 如图,连接$AE,AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB,\therefore EB=EA,\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°,AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°,\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE,AG=GC,\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC,\therefore OA=OC,∠ OAC=∠ OCA.\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB,\therefore OC=OB,\therefore ∠ OBC=∠ OCB.\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°,\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2,OE=4,\therefore DE=OD+OE=6$.
$\because ∠ ACB=30°,∠ CDE=90°,\therefore CE=2DE=12,∠ CED=60°,\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2,\therefore CF=10$.
$\because OC=OB,OF⊥ BC,\therefore BC=2CF=20,\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
答案
典例5 (1)证明
∵DE垂直平分AC,
∴OA=OC,∠OAC=∠OCA.
∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB,
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°,
∴∠OAC+∠OBC=30°,
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°−2×30°)=60°$,
∴△OAB是等边三角形.
(2)解 过点O作OF⊥BC于点F(图略),
∵OD=2,OE=4,
∴DE=OD+OE=6.
∵∠ACB=30°,∠CDE=90°,
∴CE=2DE=12,∠CED=60°,
∴∠EOF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$,
∴CF=10.
∵OC=OB,OF⊥BC,
∴BC=2CF=20,
∴BE=BC−CE=20−12=8.
∵DE垂直平分AC,
∴OA=OC,∠OAC=∠OCA.
∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB,
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°,
∴∠OAC+∠OBC=30°,
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°−2×30°)=60°$,
∴△OAB是等边三角形.
(2)解 过点O作OF⊥BC于点F(图略),
∵OD=2,OE=4,
∴DE=OD+OE=6.
∵∠ACB=30°,∠CDE=90°,
∴CE=2DE=12,∠CED=60°,
∴∠EOF=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$,
∴CF=10.
∵OC=OB,OF⊥BC,
∴BC=2CF=20,
∴BE=BC−CE=20−12=8.
解析
【分析】
(1) 要证明△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，可得△OAB是等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可。首先利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC，结合已知OA=OB可推出OB=OC，进而得到∠OBC=∠OCB，再结合∠ACB=30°，利用三角形内角和定理即可算出∠OAB=∠OBA=60°，完成证明。
(2) 求BE的长可通过BE=BC-CE计算，先根据OD、OE的长度求出DE的长，在Rt△CDE中利用含30°角的直角三角形的性质求出CE的长度；再作OF⊥BC构造直角三角形，结合∠CED=60°求出EF的长，进而得到CF的长，最后利用等腰三角形三线合一的性质，由OC=OB得BC=2CF，代入计算即可得到BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB。
∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴∠OAC+∠OBC=30°，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°−2×30°)=60°$，
∴△OAB是等边三角形。
(2) 解：过点O作OF⊥BC于点F(图略)，
∵OD=2，OE=4，
∴DE=OD+OE=6。
∵∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴CF=CE-EF=10。
∵OC=OB，OF⊥BC，
∴BC=2CF=20，
∴BE=BC−CE=20−12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，证明成立；
(2) $BE=8$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考查了等腰、等边三角形的判定与性质，又涉及特殊直角三角形的边角关系，解题的关键是合理利用性质转化角和线段的关系，第二问中辅助线的构造是解题的突破口，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，可得△OAB是等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可。首先利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC，结合已知OA=OB可推出OB=OC，进而得到∠OBC=∠OCB，再结合∠ACB=30°，利用三角形内角和定理即可算出∠OAB=∠OBA=60°，完成证明。
(2) 求BE的长可通过BE=BC-CE计算，先根据OD、OE的长度求出DE的长，在Rt△CDE中利用含30°角的直角三角形的性质求出CE的长度；再作OF⊥BC构造直角三角形，结合∠CED=60°求出EF的长，进而得到CF的长，最后利用等腰三角形三线合一的性质，由OC=OB得BC=2CF，代入计算即可得到BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB。
∵∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴∠OAC+∠OBC=30°，
∴∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°−2×30°)=60°$，
∴△OAB是等边三角形。
(2) 解：过点O作OF⊥BC于点F(图略)，
∵OD=2，OE=4，
∴DE=OD+OE=6。
∵∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}OE=2$，
∴CF=CE-EF=10。
∵OC=OB，OF⊥BC，
∴BC=2CF=20，
∴BE=BC−CE=20−12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，证明成立；
(2) $BE=8$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，既考查了等腰、等边三角形的判定与性质，又涉及特殊直角三角形的边角关系，解题的关键是合理利用性质转化角和线段的关系，第二问中辅助线的构造是解题的突破口，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
