典例3 已知$a$，$b$为定值，关于$x$的方程$\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$满足，无论$k$为何值，它的解总是1，则$a+b=$。

0 解析 当 $x = 1$ 时,由方程 $\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$,得 $\frac{k + a}{3} = 1 - \frac{2 + bk}{6}$,即 $2(k + a) = 6 - (2 + bk)$,整理,得 $(2 + b)k + 2a - 4 = 0$. 因为无论 $k$ 为何值,关于 $x$ 的方程 $\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$ 的解总是 1,所以 $2 + b = 0$,$2a - 4 = 0$,解得 $b = -2$,$a = 2$,则 $a + b = 0$.

【分析】
题目说明无论k取何值，方程的解总是1，意味着x=1是方程的固定解，与k的取值无关。解题时可按以下思路进行：第一步，将x=1代入原方程，得到包含参数k和定值a、b的等式；第二步，把所得等式整理为关于k的一次式，由于等式对任意k都成立，因此k的系数必须为0，同时常数项也为0；第三步，根据上述条件分别求解a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
∵ 无论k为何值，方程的解总是1，
∴ 将x=1代入原方程$\frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6}$，得：
$\frac{k + a}{3} = 1 - \frac{2 + bk}{6}$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(k + a) = 6 - (2 + bk)$
去括号，得：
$2k + 2a = 4 - bk$
移项、合并同类项，得：
$(2 + b)k + 2a - 4 = 0$
∵ 上式对任意k都成立，
∴ $\begin{cases}2 + b = 0 \\ 2a - 4 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -2 \\ a = 2\end{cases}$
∴ $a + b = 2 + (-2) = 0$
【答案】
0
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 含参方程恒成立条件
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程中常见的含参恒成立题型，解题关键是准确理解“解与参数无关”的含义，即代入固定解后，参数的对应系数为0、常数项也为0，掌握该规律即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6

典例4 某同学在解关于$x$的方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$时，由于马虎去分母后得到方程$2x-1=x+a-2$，求得方程的解为$x=2$。
(1)试求$a$的值。
(2)你认为$x=2$是方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解吗？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，请求出方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$的解。

(1)当$x=2$时，$2x-1=x+a-2$，
得$2×2-1=2+a-2$，解得$a=3$。
(2)不是，$x=-2$。理由如下：
由$a=3$，得方程为$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$，
去分母，得$2x-1=x+3-6$。
移项，得$2x-x=3-6+1$。
合并同类项，得$x=-2$。

【分析】
解决第(1)问时，要明确x=2是同学去分母错误后得到的方程的解，根据方程的解的定义，把x=2代入错误的方程，就能得到只含a的一元一次方程，求解即可得到a的值。解决第(2)问时，先把求出的a代入原正确方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、移项、合并同类项）计算出原方程的解，和x=2对比即可判断它是不是原方程的解。
【解析】
(1) 由题意可知，$x=2$是错误方程$2x-1=x+a-2$的解，将$x=2$代入该方程：
$\begin{aligned}2×2 -1&=2+a-2\\3&=a\end{aligned}$
解得$a=3$。
(2) $x=2$不是原方程的解，正确求解过程如下：
将$a=3$代入原方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{3}-2$，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+3}{3}-2$
方程两边同时乘3去分母，得：
$2x-1=x+3-6$
移项，得：
$2x-x=3-6+1$
合并同类项，得：
$x=-2$
【答案】
(1) $a=3$；(2) $x=2$不是原方程的解，原方程的解为$x=-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义；2. 解一元一次方程
【点评】
本题围绕一元一次方程的解和求解展开，解题的关键是清楚错误方程的解仅满足错误的方程，先求出参数a的值，再解正确的方程，做题时要注意去分母时常数项不要漏乘分母，避免出现题目中同学的失误。
【难度系数】
0.8

典例5 某学校开展冬季运动会，准备采购30副羽毛球拍和若干个羽毛球，每副羽毛球拍标价80元，每个羽毛球标价5元。某超市开展促销活动，提供了两种优惠方案（两种优惠方案不能叠加使用）：
方案一：每购买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的八折销售。
设该校购买了$x$个羽毛球($x≥150$)。
(1)当$x=300$时，按两种方案购买各需付款多少元？
(2)按两种方案购买各需付款多少元？（用含$x$的式子表示）
(3)当购买多少个羽毛球时，两种方案付款相同？

(1)按方案一购买,因为每购买一副羽毛球拍赠送5个羽毛球,所以购买30副羽毛球拍赠送150个羽毛球,
所以需付款 $80 × 30 + 5 × (300 - 150) = 2400 + 750 = 3150$(元);
按方案二购买,需付款 $(80 × 30 + 5 × 300) × 80\% = 3900 × 0.8 = 3120$(元).
(2)按方案一购买,需付款 $80 × 30 + 5(x - 150) = (5x + 1650)$(元);
按方案二购买,需付款 $80 × 30 × 80\% + 5x · 80\% = (4x + 1920)$(元).
(3)$5x + 1650 = 4x + 1920$,
解得 $x = 270$.
答:当购买270个羽毛球时,两种方案付款相同.

【分析】
本题属于生活中的优惠方案选择类应用题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先分别明确两种优惠方案的计算规则：方案一先算赠送的羽毛球总数，总付款=30副球拍的总价 + 超出赠送数量部分的羽毛球总价；方案二总付款=（球拍总价 + 所有羽毛球总价）×80%，代入x=300计算即可。
2. 解决第(2)问时，把具体的x=300替换为变量x，按照上述规则分别列式，再化简为最简代数式即可。
3. 解决第(3)问时，令两个方案的付款代数式相等，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到付款相同时的羽毛球数量。
【解析】
(1) 计算方案一付款：
每买1副球拍送5个羽毛球，买30副球拍赠送的羽毛球数量为$30×5=150$个，当x=300时，需要付费的羽毛球数量为$300-150=150$个
总付款$=30×80 + 150×5 = 2400 + 750 = 3150$元
计算方案二付款：
先算球拍和羽毛球的总标价：$30×80 + 300×5 = 2400 + 1500 = 3900$元
打八折后的付款为：$3900×80\% = 3120$元
(2) 用含x的式子表示付款：
方案一：赠送150个羽毛球，需付费的羽毛球数量为$(x-150)$个
总付款$=30×80 + 5(x-150) = 2400 + 5x - 750 = (5x + 1650)$元（$x≥150$）
方案二：全部商品打八折
总付款$=(30×80 + 5x)×80\% = (2400 + 5x)×0.8 = (4x + 1920)$元（$x≥150$）
(3) 令两种方案付款相同，列方程：
$5x + 1650 = 4x + 1920$
移项得：$5x - 4x = 1920 - 1650$
解得：$x = 270$
即当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
【答案】
(1) 方案一需付款3150元，方案二需付款3120元；
(2) 方案一需付款$(5x + 1650)$元，方案二需付款$(4x + 1920)$元；
(3) 当购买270个羽毛球时，两种方案付款相同。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，贴近实际，需要考生准确理解不同优惠方案的规则，将实际问题转化为数学代数式和方程求解，是应用题中常见的考察类型，能够很好地考察学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.7