4. 在线段 $ AB $ 的延长线上截取线段 $ BC = \frac{1}{2}AB $，在线段 $ AC $ 上截取线段 $ CD = \frac{1}{2}AC $，下列结论：
①点 $ D $ 是 $ AC $ 的中点；
②点 $ B $ 是 $ DC $ 的中点；
③ $ BC = \frac{1}{3}AC $；
④ $ DB = \frac{1}{4}AC $。
其中正确结论的个数是().

A.1
B.2
C.3
D.4

4. B 解析 由题意,画图如下：
因为 $ CD=\frac{1}{2}AC $，所以点 D 是 AC 的中点，故①正确；
因为 $ BC=\frac{1}{2}AB $，所以 $ AC=AB+BC=3BC $。
所以 $ CD=\frac{3}{2}BC,BC=\frac{1}{3}AC $。
所以点 B 不是 DC 的中点，故②错误，③正确；
所以 $ BD=CD-BC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}AC $，故④错误。
故正确的有2个。

【分析】
这是线段运算类的综合题，解题时首先明确各点的位置关系：点B在A、C之间，点D在A、B之间。我们可以通过“统一基准量”的思路解题：先以BC为基准，用BC表示出AB、AC、CD、DB的长度，再逐一验证4个结论是否正确，也可以设具体数值（如设AB=2，则BC=1）代入计算，降低判断难度。
【解析】
由题意，画图如下：
因为 $ CD=\frac{1}{2}AC $，根据线段中点的定义，可知点D是AC的中点，故①正确；
因为 $ BC=\frac{1}{2}AB $，所以 $ AB=2BC $，因此 $ AC=AB+BC=2BC+BC=3BC $，可得 $ BC=\frac{1}{3}AC $，故③正确；
由D是AC中点，得 $ CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3BC=\frac{3}{2}BC $，而 $ BC≠ \frac{1}{2}CD $，因此点B不是DC的中点，故②错误；
计算DB的长度：$ DB=CD-BC=\frac{3}{2}BC-BC=\frac{1}{2}BC $，结合$ AC=3BC $，得 $ DB=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}AC=\frac{1}{6}AC≠\frac{1}{4}AC $，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算，线段比例计算
【点评】
本题是线段运算的常见题型，核心是学会用同一基准量表示所有相关线段的长度，避免仅凭直观观察判断线段关系，熟练掌握该方法可大幅提升这类题的正确率。
【难度系数】
0.7

5.如图,线段$AB=4\ \mathrm{cm}$,点$C$在直线$AB$上,且$BC=2AB$,点$D$在线段$AC$上,且$CD=\frac{1}{4}AC$.求线段$BD$的长.

小明思考了一下做出如下解答:
解:如图,因为$AB=4\ \mathrm{cm},BC=2AB$,
$A$ $B$ $D$ $C$
所以$BC=8\ \mathrm{cm}$.
所以$AC=AB+BC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
因为$CD=\frac{1}{4}AC$,
所以$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
所以$BD=BC-\_\_\_\_\_\_=5\ \mathrm{cm}$.
(1)请把小明的解答过程补充完整;
(2)小红:小明思考不严密,还缺一种情况.你同意小红的观点吗?如果同意,请在备用图上画出图形,并写出小红的另一种情况的解答过程.

5. (1) 12 3 CD
(2)同意小红的观点。
当点 C 在点 B 左侧时，如图，
因为 $ AB=4\ \mathrm{cm},BC=2AB $，所以 $ BC=8\ \mathrm{cm} $。
所以 $ AC=BC-AB=4(\mathrm{cm}) $。
因为 $ CD=\frac{1}{4}AC $，所以 $ CD=1\ \mathrm{cm} $。
所以 $ BD=BC-CD=7(\mathrm{cm}) $。

【分析】
(1) 小明的解法默认点C在点B的右侧，先根据AB的长度和BC与AB的数量关系求出BC的长度，再用线段和的关系计算AC的长度，接着根据CD与AC的比例关系求出CD的长度，最后通过BD=BC-CD的线段差关系得到BD的长度，直接补充空缺内容即可。
(2) 由于点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置：除了小明考虑的点C在B右侧，还有点C在B左侧的情况，因此小明漏解，需对第二种情况单独分析，画出对应图形后再按线段和差关系计算BD的长度。
【解析】
(1) 已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2AB$，因此$BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$，当点C在B右侧时，$AC=AB+BC=4+8=12\ \mathrm{cm}$；
由$CD=\frac{1}{4}AC$，得$CD=\frac{1}{4}×12=3\ \mathrm{cm}$；
根据线段位置关系可得$BD=BC-CD=8-3=5\ \mathrm{cm}$，因此三个空缺依次为12、3、CD。
(2) 同意小红的观点，点C在直线AB上的第二种情况为点C在点B左侧，对应图形如下：
计算过程：
$\because AB=4\ \mathrm{cm},BC=2AB$，$\therefore BC=2×4=8\ \mathrm{cm}$；
此时点C在B左侧，因此$AC=BC-AB=8-4=4\ \mathrm{cm}$；
$\because CD=\frac{1}{4}AC$，$\therefore CD=\frac{1}{4}×4=1\ \mathrm{cm}$；
$\therefore BD=BC-CD=8-1=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；$\boxed{3}$；$\boxed{CD}$
(2) 同意小红的观点。
当点C在点B左侧时，如图，
因为 $ AB=4\ \mathrm{cm},BC=2AB $，所以 $ BC=8\ \mathrm{cm} $。
所以 $ AC=BC-AB=4(\mathrm{cm}) $。
因为 $ CD=\frac{1}{4}AC $，所以 $ CD=1\ \mathrm{cm} $。
所以 $ BD=BC-CD=7(\mathrm{cm}) $。
【知识点】
线段的和差运算；分类讨论思想；直线的性质
【点评】
本题的易错点是忽略“点在直线上”时位置的多样性，仅考虑点在单方向延长线上的一种情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，熟练运用线段的和差关系进行长度计算。
【难度系数】
0.7

1. 角的概念
有公共端点的两条组成的图形叫作角，这个公共端点是角的
，这两条是角的两条边.角通常这样表示：

角也可以看作由一条射线绕着它的端点而形成的图形.

1. 射线 顶点 射线 旋转

【分析】
本题考查角的基本概念，解题时先回忆角的两类定义：静态定义和动态定义。首先对应静态定义的内容，依次确定前三个空的答案：明确组成角的两条线的类型、公共端点的名称、角的边的类型；再对应动态定义的内容，确定最后一个空的答案即可。
【解析】
根据角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；
根据角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
因此四个空依次填入对应内容即可。
【答案】
射线 顶点 射线 旋转
【知识点】
角的静态定义、角的动态定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础定义的掌握情况，熟记角的两类定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9