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典例2 某特产商店售卖鲜花饼和紫米酒.每盒鲜花饼的售价比每瓶紫米酒便宜12元,该商店今天共卖出鲜花饼18盒、紫米酒6瓶,两种商品的总收入为576元.请问:每盒鲜花饼和每瓶紫米酒的售价各是多
答案
解：设每盒鲜花饼的售价为x元，则每瓶紫米酒的售价为(x+12)元。
根据题意列方程，得
$18x + 6(x+12) = 576$
去括号，得
$18x + 6x + 72 = 576$
移项、合并同类项，得
$24x = 504$
系数化为1，得
$x = 21$
每瓶紫米酒的售价为：$21+12=33$（元）
答：每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元。
根据题意列方程，得
$18x + 6(x+12) = 576$
去括号，得
$18x + 6x + 72 = 576$
移项、合并同类项，得
$24x = 504$
系数化为1，得
$x = 21$
每瓶紫米酒的售价为：$21+12=33$（元）
答：每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题时先梳理题目中的核心数量关系：①每盒鲜花饼的售价比每瓶紫米酒便宜12元；②18盒鲜花饼的销售额与6瓶紫米酒的销售额之和等于总收入576元。我们可以先设每盒鲜花饼的售价为未知数，根据二者售价的关系用含未知数的式子表示出紫米酒的售价，再结合总收入的等量关系列出方程，最后按照解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设每盒鲜花饼的售价为x元，则每瓶紫米酒的售价为(x+12)元。
根据题意列方程，得
$18x + 6(x+12) = 576$
去括号，得
$18x + 6x + 72 = 576$
移项、合并同类项，得
$24x = 504$
系数化为1，得
$x = 21$
每瓶紫米酒的售价为：$21+12=33$（元）
答：每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元。
【答案】
每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用；2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的销售类应用题，解题核心是找准未知量之间的数量关系以及总销售额的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、答”基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题时先梳理题目中的核心数量关系：①每盒鲜花饼的售价比每瓶紫米酒便宜12元；②18盒鲜花饼的销售额与6瓶紫米酒的销售额之和等于总收入576元。我们可以先设每盒鲜花饼的售价为未知数，根据二者售价的关系用含未知数的式子表示出紫米酒的售价，再结合总收入的等量关系列出方程，最后按照解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设每盒鲜花饼的售价为x元，则每瓶紫米酒的售价为(x+12)元。
根据题意列方程，得
$18x + 6(x+12) = 576$
去括号，得
$18x + 6x + 72 = 576$
移项、合并同类项，得
$24x = 504$
系数化为1，得
$x = 21$
每瓶紫米酒的售价为：$21+12=33$（元）
答：每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元。
【答案】
每盒鲜花饼的售价是21元，每瓶紫米酒的售价是33元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用；2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础的销售类应用题，解题核心是找准未知量之间的数量关系以及总销售额的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的“设、列、解、答”基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
典例解析
典例1
解 (1)不是方程,理由:不含未知数.
(2)是方程.
(3)不是方程,理由:不是等式.
(4)不是方程,理由:不是等式.
(5)是方程.
(6)不是方程,理由:不含未知数.
少元?设每瓶紫米酒的售价为x元,则可
列得方程为
典例1
解 (1)不是方程,理由:不含未知数.
(2)是方程.
(3)不是方程,理由:不是等式.
(4)不是方程,理由:不是等式.
(5)是方程.
(6)不是方程,理由:不含未知数.
少元?设每瓶紫米酒的售价为x元,则可
列得方程为
18(x-12)+6x=576
.答案
典例2 答案 $18(x-12)+6x=576$
解析 设每瓶紫米酒的售价为x元，则每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元，根据卖出鲜花饼和紫米酒的总收入为576元，可列方程为$18(x-12)+6x=576$。
解析 设每瓶紫米酒的售价为x元，则每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元，根据卖出鲜花饼和紫米酒的总收入为576元，可列方程为$18(x-12)+6x=576$。
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先需要明确题中的核心等量关系：卖出鲜花饼的总收入+卖出紫米酒的总收入=总销售额576元。第一步先根据两种商品的单价关系表示出鲜花饼的单价，第二步分别计算两种商品的总销售额，第三步将两者相加等于总金额，即可得到对应的方程。
【解析】
设每瓶紫米酒的售价为x元，由题意可知每盒鲜花饼的售价比紫米酒低12元，因此每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元。
卖出18盒鲜花饼的总收入为$18(x-12)$元，卖出6瓶紫米酒的总收入为$6x$元，结合两种商品的总销售额为576元，可列方程：
$18(x-12)+6x=576$
【答案】
$18(x-12)+6x=576$
【知识点】
用字母表示数，列一元一次方程，实际问题等量关系
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同量之间的数量关系，抓住总金额的等量关系即可快速列出方程，是后续学习列方程解应用题的重要基础。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程，首先需要明确题中的核心等量关系：卖出鲜花饼的总收入+卖出紫米酒的总收入=总销售额576元。第一步先根据两种商品的单价关系表示出鲜花饼的单价，第二步分别计算两种商品的总销售额，第三步将两者相加等于总金额，即可得到对应的方程。
【解析】
设每瓶紫米酒的售价为x元，由题意可知每盒鲜花饼的售价比紫米酒低12元，因此每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元。
卖出18盒鲜花饼的总收入为$18(x-12)$元，卖出6瓶紫米酒的总收入为$6x$元，结合两种商品的总销售额为576元，可列方程：
$18(x-12)+6x=576$
【答案】
$18(x-12)+6x=576$
【知识点】
用字母表示数，列一元一次方程，实际问题等量关系
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同量之间的数量关系，抓住总金额的等量关系即可快速列出方程，是后续学习列方程解应用题的重要基础。
【难度系数】
0.8
举一反三 某班有男生25人，比女生的2倍少17人，这个班有女生多少人？设女生人数为x，则可列得方程为
典例2
答案 $18(x-12)+6x=576$
解析 设每瓶紫米酒的售价为x元，则每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元，根据卖出鲜花饼和紫米酒的总收入为576元，可列方程为$18(x-12)+6x=576$。
2x-17=25
。典例2
答案 $18(x-12)+6x=576$
解析 设每瓶紫米酒的售价为x元，则每盒鲜花饼的售价为$(x-12)$元，根据卖出鲜花饼和紫米酒的总收入为576元，可列方程为$18(x-12)+6x=576$。
答案
2. 2x-17=25
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先明确已设未知数为女生人数x，接下来找题干中的等量关系。核心条件“男生25人，比女生的2倍少17人”是等量关系的来源，可翻译为：女生人数的2倍减去17，等于男生的人数，按照这个等量关系代入未知数和已知的男生人数，就能列出对应的方程。
【解析】
已知设女生人数为x，女生人数的2倍可表示为2x，“比女生的2倍少17人”即2x减去17，该结果等于男生人数25，因此可列方程：$\boldsymbol{2x - 17 = 25}$。
【答案】
$2x-17=25$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，解题核心是准确抓取题干中的数量关系，对“谁比谁的几倍多/少几”这类常见表述要能正确转化为数学式子，是后续求解应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的题目，首先明确已设未知数为女生人数x，接下来找题干中的等量关系。核心条件“男生25人，比女生的2倍少17人”是等量关系的来源，可翻译为：女生人数的2倍减去17，等于男生的人数，按照这个等量关系代入未知数和已知的男生人数，就能列出对应的方程。
【解析】
已知设女生人数为x，女生人数的2倍可表示为2x，“比女生的2倍少17人”即2x减去17，该结果等于男生人数25，因此可列方程：$\boldsymbol{2x - 17 = 25}$。
【答案】
$2x-17=25$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 等量关系识别
【点评】
本题是列方程的基础题型，解题核心是准确抓取题干中的数量关系，对“谁比谁的几倍多/少几”这类常见表述要能正确转化为数学式子，是后续求解应用题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1. 在下列各式中：① $3x - 4 = -1$；② $5y^2 + 2y = 3$；③ $7x - 1$；④ $x - 2 ≠ 0$；⑤ $x ＜ x + 1$；⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$。其中是方程的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
解题的核心是明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子为方程需要同时满足两个条件：一是必须是等式（包含等号“=”），二是必须含有未知数。接下来我们逐个分析给出的6个式子，统计同时满足两个条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
我们依据方程的两个判定条件逐一判断：
① $3x - 4 = -1$：是等式，且含有未知数x，符合方程定义，是方程；
② $5y^2 + 2y = 3$：是等式，且含有未知数y，符合方程定义，是方程；
③ $7x - 1$：没有等号，不属于等式，不是方程；
④ $x - 2 ≠ 0$：用不等号连接，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑤ $x ＜ x + 1$：用不等号连接，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$：是等式，但π是常数，式子中没有未知数，不符合方程定义，不是方程。
综上，是方程的只有①和②，共2个。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义、等式的判断、不等式的概念
【点评】
本题核心考查对方程定义的掌握，易错点是容易遗漏方程的两个判定条件，比如误将不含未知数的等式、含有未知数的不等式判定为方程，解题时需逐一核对两个判定条件，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子为方程需要同时满足两个条件：一是必须是等式（包含等号“=”），二是必须含有未知数。接下来我们逐个分析给出的6个式子，统计同时满足两个条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
我们依据方程的两个判定条件逐一判断：
① $3x - 4 = -1$：是等式，且含有未知数x，符合方程定义，是方程；
② $5y^2 + 2y = 3$：是等式，且含有未知数y，符合方程定义，是方程；
③ $7x - 1$：没有等号，不属于等式，不是方程；
④ $x - 2 ≠ 0$：用不等号连接，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑤ $x ＜ x + 1$：用不等号连接，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$：是等式，但π是常数，式子中没有未知数，不符合方程定义，不是方程。
综上，是方程的只有①和②，共2个。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义、等式的判断、不等式的概念
【点评】
本题核心考查对方程定义的掌握，易错点是容易遗漏方程的两个判定条件，比如误将不含未知数的等式、含有未知数的不等式判定为方程，解题时需逐一核对两个判定条件，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. 已知长方形的长与宽分别为 16 cm，x cm，周长为 40 cm，根据条件，列出方程为
2(16+x)=40
。答案
2. 2(16+x)=40
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的周长计算公式，明确周长、长、宽三者的数量关系：长方形周长=2×(长+宽)。接下来梳理题目给出的已知量：长为16cm，宽为x cm，周长为40cm，最后将已知量代入周长公式即可列出对应的方程。
【解析】
第一步：写出长方形周长公式：$\boldsymbol{周长=2×(长+宽)}$
第二步：代入已知条件：长=16cm，宽=x cm，周长=40cm，代入公式可得：
$2×(16+x)=40$，即$2(16+x)=40$
【答案】
$2(16+x)=40$
【知识点】
长方形周长公式、列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见几何图形周长公式的掌握，以及根据等量关系列方程的能力，只要熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的周长计算公式，明确周长、长、宽三者的数量关系：长方形周长=2×(长+宽)。接下来梳理题目给出的已知量：长为16cm，宽为x cm，周长为40cm，最后将已知量代入周长公式即可列出对应的方程。
【解析】
第一步：写出长方形周长公式：$\boldsymbol{周长=2×(长+宽)}$
第二步：代入已知条件：长=16cm，宽=x cm，周长=40cm，代入公式可得：
$2×(16+x)=40$，即$2(16+x)=40$
【答案】
$2(16+x)=40$
【知识点】
长方形周长公式、列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见几何图形周长公式的掌握，以及根据等量关系列方程的能力，只要熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 根据下列条件，列出方程.
(1)$x$的2倍与$-5$的差为9；
(2)5与$x$的差的绝对值等于$4^2$；
(3)$y$与13的差的一半等于$x$的$\frac{3}{5}$.
(1)$x$的2倍与$-5$的差为9；
(2)5与$x$的差的绝对值等于$4^2$；
(3)$y$与13的差的一半等于$x$的$\frac{3}{5}$.
答案
3. 解 (1)$2x - (-5) = 9$. (2)$|5 - x| = 4^2$.
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$.
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$.
解析
【分析】
列方程的核心是将文字描述的运算关系、等量关系转化为数学符号表达式，解题时按以下思路逐句分析：①先抓关键词：“倍”对应乘法、“差”对应减法、“绝对值”对应绝对值符号、“几分之几”对应乘法、“等于”对应等号；②理清运算顺序，明确参与运算的量的先后顺序；③最后用等号连接左右两边相等的表达式即可。
【解析】
(1) 第一步：表示“x的2倍”，写作$2x$；第二步：表示“2x与-5的差”，即被减数是2x，减数是-5，写作$2x - (-5)$；第三步：由“差为9”可知两者相等，列方程得：$2x - (-5) = 9$。
(2) 第一步：表示“5与x的差”，即被减数是5，减数是x，写作$5 - x$；第二步：对差取绝对值，写作$|5 - x|$；第三步：由“等于$4^2$”，列方程得：$|5 - x| = 4^2$。
(3) 第一步：表示“y与13的差”，即被减数是y，减数是13，写作$y - 13$；第二步：表示“差的一半”，即给差乘$\frac{1}{2}$，写作$\frac{1}{2}(y-13)$；第三步：表示“x的$\frac{3}{5}$”，写作$\frac{3}{5}x$；第四步：由两者相等，列方程得：$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$。
【答案】
(1)$2x - (-5) = 9$；(2)$|5 - x| = 4^2$；(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$
【知识点】
1. 根据题意列方程 2. 代数式的表示 3. 绝对值的意义
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查文字语言与数学符号的转换能力，解题时要注意运算的先后顺序和“差”的前后顺序，避免出现运算顺序错误、被减数和减数颠倒的问题，熟练掌握这类题型是后续学习列方程解应用题的基础。
【难度系数】
0.8
列方程的核心是将文字描述的运算关系、等量关系转化为数学符号表达式，解题时按以下思路逐句分析：①先抓关键词：“倍”对应乘法、“差”对应减法、“绝对值”对应绝对值符号、“几分之几”对应乘法、“等于”对应等号；②理清运算顺序，明确参与运算的量的先后顺序；③最后用等号连接左右两边相等的表达式即可。
【解析】
(1) 第一步：表示“x的2倍”，写作$2x$；第二步：表示“2x与-5的差”，即被减数是2x，减数是-5，写作$2x - (-5)$；第三步：由“差为9”可知两者相等，列方程得：$2x - (-5) = 9$。
(2) 第一步：表示“5与x的差”，即被减数是5，减数是x，写作$5 - x$；第二步：对差取绝对值，写作$|5 - x|$；第三步：由“等于$4^2$”，列方程得：$|5 - x| = 4^2$。
(3) 第一步：表示“y与13的差”，即被减数是y，减数是13，写作$y - 13$；第二步：表示“差的一半”，即给差乘$\frac{1}{2}$，写作$\frac{1}{2}(y-13)$；第三步：表示“x的$\frac{3}{5}$”，写作$\frac{3}{5}x$；第四步：由两者相等，列方程得：$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$。
【答案】
(1)$2x - (-5) = 9$；(2)$|5 - x| = 4^2$；(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$
【知识点】
1. 根据题意列方程 2. 代数式的表示 3. 绝对值的意义
【点评】
本题是列方程的基础题型，重点考查文字语言与数学符号的转换能力，解题时要注意运算的先后顺序和“差”的前后顺序，避免出现运算顺序错误、被减数和减数颠倒的问题，熟练掌握这类题型是后续学习列方程解应用题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)若从一块正方形铁皮上,截去一个宽为2 cm,长与正方形铁皮边长相等的长方形铁皮,余下的面积是80 cm²,则原来正方形铁皮的边长是多少?
(2)某商店规定,购买单价超过15 000元的物品可以采用分期付款的方式支付,顾客可以先付3 000元,以后每月(下个月起)购买日需付1 500元,直至付清全部货款.王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电脑,他需要用多少个月才能付清全部货款?
(1)若从一块正方形铁皮上,截去一个宽为2 cm,长与正方形铁皮边长相等的长方形铁皮,余下的面积是80 cm²,则原来正方形铁皮的边长是多少?
(2)某商店规定,购买单价超过15 000元的物品可以采用分期付款的方式支付,顾客可以先付3 000元,以后每月(下个月起)购买日需付1 500元,直至付清全部货款.王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电脑,他需要用多少个月才能付清全部货款?
答案
4. 解 (1)设原来正方形铁皮的边长为$x$ cm,那么原来正方形的面积为$x^2$ cm²,截去的长方形铁皮的面积为$2x$ cm²,根据“余下的面积是 80 cm²”,列得方程$x^2 - 2x = 80$.
(2)设王叔叔需要用$x$ 个月才能付清全部货款,根据“先付 3 000 元,以后每月付 1 500 元,电脑价值为 19 500 元”,列得方程$3\ 000 + 1\ 500x = 19\ 500$.
(2)设王叔叔需要用$x$ 个月才能付清全部货款,根据“先付 3 000 元,以后每月付 1 500 元,电脑价值为 19 500 元”,列得方程$3\ 000 + 1\ 500x = 19\ 500$.
解析
【分析】
(1) 本题属于几何面积类列方程问题，解题核心是明确面积间的等量关系：正方形原面积减去截去的长方形面积等于余下的面积。首先设正方形边长为未知数，再用含未知数的式子分别表示正方形面积和截去的长方形面积，代入等量关系即可列出方程。
(2) 本题属于生活付费类列方程问题，核心等量关系为：首期付款金额加上后续每月付款总金额等于商品总价值。先设付清货款所需的月数为未知数，用含未知数的式子表示后续支付的总费用，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$x$ cm，原来正方形的面积为$x^2$ cm²，截去的宽为2 cm的长方形铁皮的面积为$2x$ cm²。
根据“余下的面积是80 cm²”的等量关系，列得方程：$x^2 - 2x = 80$。
(2) 设王叔叔需要用$x$个月才能付清全部货款，先付的3000元加上后续$x$个月每月支付的1500元的总和，等于电脑的总价值19500元。
根据付费总额的等量关系，列得方程：$3000 + 1500x = 19500$。
【答案】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$x$ cm，方程为$\boldsymbol{x^2 - 2x = 80}$；
(2) 设王叔叔需要用$x$个月付清全部货款，方程为$\boldsymbol{3000 + 1500x = 19500}$。
【知识点】
列方程解应用题，面积等量关系，付费问题建模
【点评】
本题是列方程解决实际问题的基础题型，分别结合几何场景和生活消费场景设置问题，核心考察学生提取等量关系、用代数式表示未知量的能力，找准总量与各分量的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 本题属于几何面积类列方程问题，解题核心是明确面积间的等量关系：正方形原面积减去截去的长方形面积等于余下的面积。首先设正方形边长为未知数，再用含未知数的式子分别表示正方形面积和截去的长方形面积，代入等量关系即可列出方程。
(2) 本题属于生活付费类列方程问题，核心等量关系为：首期付款金额加上后续每月付款总金额等于商品总价值。先设付清货款所需的月数为未知数，用含未知数的式子表示后续支付的总费用，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$x$ cm，原来正方形的面积为$x^2$ cm²，截去的宽为2 cm的长方形铁皮的面积为$2x$ cm²。
根据“余下的面积是80 cm²”的等量关系，列得方程：$x^2 - 2x = 80$。
(2) 设王叔叔需要用$x$个月才能付清全部货款，先付的3000元加上后续$x$个月每月支付的1500元的总和，等于电脑的总价值19500元。
根据付费总额的等量关系，列得方程：$3000 + 1500x = 19500$。
【答案】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$x$ cm，方程为$\boldsymbol{x^2 - 2x = 80}$；
(2) 设王叔叔需要用$x$个月付清全部货款，方程为$\boldsymbol{3000 + 1500x = 19500}$。
【知识点】
列方程解应用题，面积等量关系，付费问题建模
【点评】
本题是列方程解决实际问题的基础题型，分别结合几何场景和生活消费场景设置问题，核心考察学生提取等量关系、用代数式表示未知量的能力，找准总量与各分量的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
