4.如图,点A,O,B在同一条直线上,过点O作射线OC,OD,OE,OF,且∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,OA平分∠COE.

(1)判断∠COE和∠DOF之间满足的数量关系,并说明理由；
(2)判断OB是否平分∠DOF,并说明理由.

4. 解 (1)∠COE+∠DOF=180°,理由如下:
因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE和∠BOF互余,所以∠AOC+∠BOD=90°,∠AOE+∠BOF=90°,所以∠COE+∠DOF=∠AOC+∠AOE+∠BOD+∠BOF=180°.
(2)OB平分∠DOF,理由如下:
因为OA平分∠COE,所以∠AOC=∠AOE.
因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,所以∠BOD=90°−∠AOC,∠BOF=90°−∠AOE,即∠BOD=∠BOF.所以OB平分∠DOF.

【分析】
解决本题可从已知条件出发逐步推导：
(1) 要判断∠COE和∠DOF的数量关系，先结合互余的定义，将题目给出的两组互余角写成和为90°的等式，再观察∠COE、∠DOF分别包含的角，将两组互余的和相加即可推导得到两个角的数量关系。
(2) 要判断OB是否平分∠DOF，只需证明∠BOD=∠BOF即可。先利用角平分线的性质得到∠AOC=∠AOE，再结合“等角的余角相等”，即可推出∠BOD和∠BOF相等，从而得到结论。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠COE+∠DOF=180°}$，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD互余，∠AOE和∠BOF互余，根据互余的定义可得：
$∠ AOC+∠ BOD=90°$，$∠ AOE+∠ BOF=90°$，
将两个等式相加得：$∠ AOC+∠ BOD+∠ AOE+∠ BOF=90°+90°=180°$，
又$∠ COE=∠ AOC+∠ AOE$，$∠ DOF=∠ BOD+∠ BOF+∠ AOB$？不，按参考答案来：
哦正确解析按参考答案：
(1)∠COE+∠DOF=180°,理由如下:
因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE和∠BOF互余,所以$∠ AOC+∠ BOD=90°$,$∠ AOE+∠ BOF=90°$,所以$∠ COE+∠ DOF=∠ AOC+∠ AOE+∠ BOD+∠ BOF=180°$。
(2)OB平分∠DOF,理由如下:
因为OA平分∠COE,根据角平分线的定义可得$∠ AOC=∠ AOE$。
因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,所以$∠ BOD=90°-∠ AOC$,$∠ BOF=90°-∠ AOE$,
因为$∠ AOC=∠ AOE$，所以$∠ BOD=∠ BOF$，根据角平分线的定义可知OB平分∠DOF。
【答案】
(1) $∠ COE+∠ DOF=180°$；
(2) OB平分$∠ DOF$
【知识点】
余角的定义；角平分线的定义；等角的余角相等
【点评】
本题是基础的角运算类题目，解题关键是理清图中角的和差关系，熟练运用互余性质、角平分线的性质进行等量代换，能很好地考查学生对角的基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

5.（选做题）【探索与解决】
如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC.
（1）与∠AOD互余的角是；
（2）与∠AOD互补的角是；
（3）∠DOE是多少度？请简单写出理由.
【拓展与延伸】
如图2，点A，O，B不在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，请你直接写出∠DOE与∠AOB之间的数量关系.

5. 解[探索与解决]
(1)∠COE,∠BOE 因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠AOD=∠COD=1/2∠AOC,∠BOE=∠COE=1/2∠BOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC=90°.
即∠AOD+∠COE=90°,∠AOD+∠BOE=90°,所以与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE.
(2)∠BOD 因为∠AOD+∠BOD=180°,所以与∠AOD互补的角是∠BOD.
(3)∠DOE是90°,理由如下:
因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COD=1/2∠AOC,∠COE=1/2∠BOC.
因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC=90°.
[拓展与延伸]
∠DOE=1/2∠AOB.
提示:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠AOD=∠COD=1/2∠AOC,∠BOE=∠COE=1/2∠BOC.因为∠AOB=∠AOC+∠BOC,所以∠DOE=∠COD+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2∠AOB.

【分析】
解题时先结合已知条件：OD平分∠AOC、OE平分∠BOC，再对应相关定义推导：
1. 第（1）问：根据互余定义（和为90°的两个角互余），先结合平角性质和角平分线性质推导∠DOE=90°，得到∠AOD+∠COE=90°，再结合∠COE=∠BOE，即可找到所有和∠AOD互余的角；
2. 第（2）问：根据互补定义（和为180°的两个角互补），观察图形找到和∠AOD相加为平角的角即可；
3. 第（3）问：将∠DOE拆分为∠COD+∠COE，利用角平分线性质转化为$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)，结合平角180°即可算出度数；
4. 拓展延伸部分：同理将∠DOE转化为$\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC)，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，即可得到二者的数量关系。
【解析】
探索与解决
（1）
∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BOE=∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∵点A、O、B共线，
∴$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
∴$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ AOD+∠ COE=90°$，又
∵$∠ COE=∠ BOE$，
∴$∠ AOD+∠ BOE=90°$，即与∠AOD互余的角为∠COE、∠BOE；
（2）
∵$∠ AOD+∠ BOD=∠ AOB=180°$，
∴与∠AOD互补的角是∠BOD；
（3）∠DOE=90°，理由如下：
∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∵点A、O、B在同一直线上，
∴$∠ AOC+∠ BOC=180°$，
∴$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$；
拓展与延伸
∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
又
∵$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC$，
∴$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$。
【答案】
（1）$\boxed{∠COE、∠BOE}$
（2）$\boxed{∠BOD}$
（3）$\boxed{90°}$，理由见解析
拓展与延伸：$\boxed{∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB}$
【知识点】
余角与补角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题综合考查角平分线、余角补角的相关知识，解题核心是利用角平分线的性质实现角的等量转化，拓展部分从特殊到一般推导角的关系，掌握角的和差拆分方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7