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2. 在平面直角坐标系中，函数$y=-x+1$与$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象大致是(
D
)。答案
2. D
解析
【分析】
本题属于一次函数与二次函数图象的组合判断题，解题时可分别推导两个函数的图象特征，再逐一排除错误选项：①先分析一次函数$y=-x+1$的斜率、与坐标轴的交点，排除不符合一次函数特征的选项；②再分析二次函数的开口方向、顶点坐标、与y轴交点，验证剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的图象特征：
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），本题中$k=-1＜0$，$b=1＞0$，因此函数图象从左上向右下倾斜，经过第一、二、四象限，与$y$轴交于正半轴$(0,1)$；令$y=0$，解得$x=1$，即与$x$轴交点为$(1,0)$。
观察选项：A、B中一次函数与$y$轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
2. 分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象特征：
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），本题中$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；顶点坐标为$(h,k)=(1,0)$，即抛物线与$x$轴的交点为顶点$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；令$x=0$，代入得$y=-\dfrac{3}{2}＜0$，即抛物线与$y$轴交于负半轴。
观察剩余选项：C中抛物线顶点在$x$轴负半轴，不符合顶点为$(1,0)$的特征，排除C；D中两个函数图象均符合上述推导特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题考查两类基本函数的图象识别，解题核心是掌握函数解析式系数与图象形状、特殊点位置的对应关系，通过特征点排除法可以快速定位正确选项，避免不必要的复杂推导。
【难度系数】
0.7
本题属于一次函数与二次函数图象的组合判断题，解题时可分别推导两个函数的图象特征，再逐一排除错误选项：①先分析一次函数$y=-x+1$的斜率、与坐标轴的交点，排除不符合一次函数特征的选项；②再分析二次函数的开口方向、顶点坐标、与y轴交点，验证剩余选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 分析一次函数$y=-x+1$的图象特征：
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），本题中$k=-1＜0$，$b=1＞0$，因此函数图象从左上向右下倾斜，经过第一、二、四象限，与$y$轴交于正半轴$(0,1)$；令$y=0$，解得$x=1$，即与$x$轴交点为$(1,0)$。
观察选项：A、B中一次函数与$y$轴交于负半轴，不符合特征，排除A、B。
2. 分析二次函数$y=-\dfrac{3}{2}(x-1)^2$的图象特征：
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），本题中$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；顶点坐标为$(h,k)=(1,0)$，即抛物线与$x$轴的交点为顶点$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$；令$x=0$，代入得$y=-\dfrac{3}{2}＜0$，即抛物线与$y$轴交于负半轴。
观察剩余选项：C中抛物线顶点在$x$轴负半轴，不符合顶点为$(1,0)$的特征，排除C；D中两个函数图象均符合上述推导特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数图象判断
【点评】
本题考查两类基本函数的图象识别，解题核心是掌握函数解析式系数与图象形状、特殊点位置的对应关系，通过特征点排除法可以快速定位正确选项，避免不必要的复杂推导。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,4)$,$B(3,0)$,将抛物线$y=\frac{1}{4}(x+1)^2$向右平移,平移后的抛物线的顶点为$B$。
(1)求平移后抛物线的表达式$y_1$及直线$AB$对应的函数表达式$y_2$；
(2)当$y_2 ＜ y_1$时,求$x$的取值范围。
(1)求平移后抛物线的表达式$y_1$及直线$AB$对应的函数表达式$y_2$；
(2)当$y_2 ＜ y_1$时,求$x$的取值范围。
答案
(1)
∵ 抛物线$y = \frac{1}{4}(x + 1)^2$平移后的抛物线的顶点为$B(3,0)$,
∴ 平移后的抛物线的表达式为$y_1 = \frac{1}{4}(x - 3)^2$。设直线AB对应的函数表达式为$y_2 = kx + b(k≠0)$,将点A,B的坐标分别代入$y_2 = kx + b$,得$\begin{cases}b = 4,\\3k + b = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = 4,\\k = -\frac{4}{3},\end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y_2 = -\frac{4}{3}x + 4$
(2) 联立$\begin{cases}y_1 = \frac{1}{4}(x - 3)^2,\\y_2 = -\frac{4}{3}x + 4,\end{cases}$ 解得$x_1 = 3$ 或$x_2 = -\frac{7}{3}$。观察图象,得当$y_2 ＜ y_1$时,$x ＜ -\frac{7}{3}$或$x ＞ 3$
∵ 抛物线$y = \frac{1}{4}(x + 1)^2$平移后的抛物线的顶点为$B(3,0)$,
∴ 平移后的抛物线的表达式为$y_1 = \frac{1}{4}(x - 3)^2$。设直线AB对应的函数表达式为$y_2 = kx + b(k≠0)$,将点A,B的坐标分别代入$y_2 = kx + b$,得$\begin{cases}b = 4,\\3k + b = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = 4,\\k = -\frac{4}{3},\end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y_2 = -\frac{4}{3}x + 4$
(2) 联立$\begin{cases}y_1 = \frac{1}{4}(x - 3)^2,\\y_2 = -\frac{4}{3}x + 4,\end{cases}$ 解得$x_1 = 3$ 或$x_2 = -\frac{7}{3}$。观察图象,得当$y_2 ＜ y_1$时,$x ＜ -\frac{7}{3}$或$x ＞ 3$
解析
【分析】
(1) 求解平移后的抛物线解析式：二次函数平移时二次项系数不变，已知平移后抛物线顶点为B(3,0)，直接代入顶点式即可得到$y_1$；求解直线AB解析式：已知A、B两点坐标，采用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，求解系数$k$和$b$即可。
(2) 求$y_2＜y_1$的$x$范围：本质是找直线在抛物线下方对应的x的取值，先联立两个函数解析式求出交点横坐标，再结合抛物线开口向上的图象特征，即可判断出符合条件的x的范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线平移不改变二次项系数，且平移后顶点为$B(3,0)$，
∴ 平移后的抛物线表达式为$y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2$。
设直线AB对应的函数表达式为$y_2=kx+b(k≠0)$，
将$A(0,4)$、$B(3,0)$分别代入得：
$\begin{cases}b=4\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=4\end{cases}$
∴ 直线AB的函数表达式为$y_2=-\frac{4}{3}x+4$。
(2) 联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2\\y_2=-\frac{4}{3}x+4\end{cases}$
消去y整理得：$\frac{1}{4}(x-3)^2=-\frac{4}{3}x+4$，
去分母、展开、移项合并得$3x^2-2x-21=0$，
因式分解得$(3x+7)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{7}{3}$。
观察图象可知，抛物线开口向上，当x在两个交点外侧时，直线位于抛物线下方，即$y_2＜y_1$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2$，$y_2=-\frac{4}{3}x+4$；
(2) $x＜-\frac{7}{3}$或$x＞3$
【知识点】
二次函数图象平移，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系
【点评】
本题是函数基础综合题，既考察了函数平移、解析式求解的运算能力，也考察了数形结合判断不等式解集的思维能力，解题时要注意平移规律的正确应用，联立方程求解时避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解平移后的抛物线解析式：二次函数平移时二次项系数不变，已知平移后抛物线顶点为B(3,0)，直接代入顶点式即可得到$y_1$；求解直线AB解析式：已知A、B两点坐标，采用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，求解系数$k$和$b$即可。
(2) 求$y_2＜y_1$的$x$范围：本质是找直线在抛物线下方对应的x的取值，先联立两个函数解析式求出交点横坐标，再结合抛物线开口向上的图象特征，即可判断出符合条件的x的范围。
【解析】
(1)
∵ 抛物线平移不改变二次项系数，且平移后顶点为$B(3,0)$，
∴ 平移后的抛物线表达式为$y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2$。
设直线AB对应的函数表达式为$y_2=kx+b(k≠0)$，
将$A(0,4)$、$B(3,0)$分别代入得：
$\begin{cases}b=4\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=4\end{cases}$
∴ 直线AB的函数表达式为$y_2=-\frac{4}{3}x+4$。
(2) 联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2\\y_2=-\frac{4}{3}x+4\end{cases}$
消去y整理得：$\frac{1}{4}(x-3)^2=-\frac{4}{3}x+4$，
去分母、展开、移项合并得$3x^2-2x-21=0$，
因式分解得$(3x+7)(x-3)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-\frac{7}{3}$。
观察图象可知，抛物线开口向上，当x在两个交点外侧时，直线位于抛物线下方，即$y_2＜y_1$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{4}(x-3)^2$，$y_2=-\frac{4}{3}x+4$；
(2) $x＜-\frac{7}{3}$或$x＞3$
【知识点】
二次函数图象平移，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系
【点评】
本题是函数基础综合题，既考察了函数平移、解析式求解的运算能力，也考察了数形结合判断不等式解集的思维能力，解题时要注意平移规律的正确应用，联立方程求解时避免计算失误。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$，当$3≤ x≤5$时，与其对应的函数值$y$的最小值为3，求常数$h$的值。
答案
4.
∵ $a = \frac{1}{3} ＞ 0$,
∴ 当$x ＞ h$时，y的值随着x值的增大而增大;当$x ＜ h$时，y的值随着x值的增大而减小。①若$h ＜ 3$,当$x = 3$时，y取得最小值3，
∴ $\frac{1}{3}(3 - h)^2 = 3$,解得$h = 0$或$h = 6$(舍去);②若$h ＞ 5$,当$x = 5$时,y取得最小值3,
∴ $\frac{1}{3}(5 - h)^2 = 3$,解得$h = 2$(舍去)或$h = 8$;③若$3 ≤ h ≤ 5$,当$x = h$时，y取得最小值0,而不是3,此种情况不符合题意,舍去。综上所述,h的值为0或8
∵ $a = \frac{1}{3} ＞ 0$,
∴ 当$x ＞ h$时，y的值随着x值的增大而增大;当$x ＜ h$时，y的值随着x值的增大而减小。①若$h ＜ 3$,当$x = 3$时，y取得最小值3，
∴ $\frac{1}{3}(3 - h)^2 = 3$,解得$h = 0$或$h = 6$(舍去);②若$h ＞ 5$,当$x = 5$时,y取得最小值3,
∴ $\frac{1}{3}(5 - h)^2 = 3$,解得$h = 2$(舍去)或$h = 8$;③若$3 ≤ h ≤ 5$,当$x = h$时，y取得最小值0,而不是3,此种情况不符合题意,舍去。综上所述,h的值为0或8
解析
【分析】
本题考查二次函数在指定区间的最值求解，解题思路如下：首先，已知二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处$y$取最小值0。题目中给定$3≤x≤5$时$y$的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需要分三类讨论对称轴与区间$[3,5]$的位置关系：①对称轴在区间左侧（$h＜3$）；②对称轴在区间右侧（$h＞5$）；③对称轴在区间内（$3≤h≤5$）。分别对应不同的最小值取点，列方程求解后验证解是否符合对应分类的前提，舍去不符合的解即可得到$h$的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$中$a = \frac{1}{3} ＞ 0$，
∴ 抛物线开口向上，当$x ＞ h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＜ h$时，$y$随$x$的增大而减小，顶点处$y$取最小值0。
①若$h ＜ 3$，此时区间$3≤x≤5$在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，因此当$x = 3$时，$y$取得最小值3，
代入得：$\frac{1}{3}(3 - h)^2 = 3$，
化简得$(3-h)^2=9$，解得$h = 0$或$h = 6$，
∵ $h＜3$，
∴ $h=6$舍去，保留$h=0$；
②若$h ＞ 5$，此时区间$3≤x≤5$在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，因此当$x = 5$时，$y$取得最小值3，
代入得：$\frac{1}{3}(5 - h)^2 = 3$，
化简得$(5-h)^2=9$，解得$h = 2$或$h = 8$，
∵ $h＞5$，
∴ $h=2$舍去，保留$h=8$；
③若$3 ≤ h ≤ 5$，此时对称轴在区间内，当$x = h$时，$y$取得最小值0，与题中最小值为3矛盾，此种情况不符合题意，舍去。
综上所述，$h$的值为0或8。
【答案】
$h$的值为0或8
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的最值计算
3.分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，求解后要注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在指定区间的最值求解，解题思路如下：首先，已知二次函数为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点处$y$取最小值0。题目中给定$3≤x≤5$时$y$的最小值为3，说明顶点不在该区间内，因此需要分三类讨论对称轴与区间$[3,5]$的位置关系：①对称轴在区间左侧（$h＜3$）；②对称轴在区间右侧（$h＞5$）；③对称轴在区间内（$3≤h≤5$）。分别对应不同的最小值取点，列方程求解后验证解是否符合对应分类的前提，舍去不符合的解即可得到$h$的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=\frac{1}{3}(x-h)^2$中$a = \frac{1}{3} ＞ 0$，
∴ 抛物线开口向上，当$x ＞ h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＜ h$时，$y$随$x$的增大而减小，顶点处$y$取最小值0。
①若$h ＜ 3$，此时区间$3≤x≤5$在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，因此当$x = 3$时，$y$取得最小值3，
代入得：$\frac{1}{3}(3 - h)^2 = 3$，
化简得$(3-h)^2=9$，解得$h = 0$或$h = 6$，
∵ $h＜3$，
∴ $h=6$舍去，保留$h=0$；
②若$h ＞ 5$，此时区间$3≤x≤5$在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，因此当$x = 5$时，$y$取得最小值3，
代入得：$\frac{1}{3}(5 - h)^2 = 3$，
化简得$(5-h)^2=9$，解得$h = 2$或$h = 8$，
∵ $h＞5$，
∴ $h=2$舍去，保留$h=8$；
③若$3 ≤ h ≤ 5$，此时对称轴在区间内，当$x = h$时，$y$取得最小值0，与题中最小值为3矛盾，此种情况不符合题意，舍去。
综上所述，$h$的值为0或8。
【答案】
$h$的值为0或8
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数的最值计算
3.分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，求解后要注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
