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2.【应用意识】某厂家生产一种圆筒形卫生纸(如图)。(6分)
(1)卫生纸的横截面是个圆环,内直径是4 cm,外直径是12 cm,它的横截面的面积是多少平方厘米?(3分)
(2)每卷卫生纸高15 cm,卫生纸总长度是30 m,生产商为了降低成本,把每卷卫生纸的高做成14 cm,总长度不变,每卷卫生纸节省了多少平方厘米的纸?(3分)
(1)卫生纸的横截面是个圆环,内直径是4 cm,外直径是12 cm,它的横截面的面积是多少平方厘米?(3分)
(2)每卷卫生纸高15 cm,卫生纸总长度是30 m,生产商为了降低成本,把每卷卫生纸的高做成14 cm,总长度不变,每卷卫生纸节省了多少平方厘米的纸?(3分)
答案
2. (1)$3.14×(12÷2)^2-3.14×(4÷2)^2=100.48(\mathrm{cm}^2)$
(2)$30\mathrm{m}=3000\mathrm{cm}$
$(15-14)×3000=3000(\mathrm{cm}^2)$
(2)$30\mathrm{m}=3000\mathrm{cm}$
$(15-14)×3000=3000(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
(1) 求卫生纸横截面的圆环面积，解题思路是用外圆面积减去内圆面积。首先根据“半径=直径÷2”分别算出外圆和内圆的半径，再代入圆的面积公式$S=π r^2$分别计算两个圆的面积，最后作差就能得到圆环的面积。
(2) 卫生纸展开后是长方形，长方形的长对应卫生纸的总长度，宽对应卫生纸卷的高。总长度不变时，节省的纸的面积等于高度减少的长度乘卫生纸的总长度，计算前要先把米换算成厘米，统一单位再计算。
【解析】
(1) 先求外圆、内圆的半径：
外圆半径：$12÷2=6(\mathrm{cm})$
内圆半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$
根据圆环面积公式计算：
$3.14×6^2-3.14×2^2$
$=3.14×36-3.14×4$
$=113.04-12.56$
$=100.48(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先统一长度单位：$30\mathrm{m}=3000\mathrm{cm}$
卫生纸卷高度减少了：$15-14=1(\mathrm{cm})$
节省的面积为长3000cm、宽1cm的长方形面积：
$3000×1=3000(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$100.48\mathrm{cm}^2$
(2)$3000\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 长方形面积计算
3. 长度单位换算
【点评】
本题结合生活实际考察几何面积公式的应用，需要学生将生活中的物品抽象为数学模型，解题时要注意单位统一，侧重考察知识的灵活运用能力和问题转化能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求卫生纸横截面的圆环面积，解题思路是用外圆面积减去内圆面积。首先根据“半径=直径÷2”分别算出外圆和内圆的半径，再代入圆的面积公式$S=π r^2$分别计算两个圆的面积，最后作差就能得到圆环的面积。
(2) 卫生纸展开后是长方形，长方形的长对应卫生纸的总长度，宽对应卫生纸卷的高。总长度不变时，节省的纸的面积等于高度减少的长度乘卫生纸的总长度，计算前要先把米换算成厘米，统一单位再计算。
【解析】
(1) 先求外圆、内圆的半径：
外圆半径：$12÷2=6(\mathrm{cm})$
内圆半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$
根据圆环面积公式计算：
$3.14×6^2-3.14×2^2$
$=3.14×36-3.14×4$
$=113.04-12.56$
$=100.48(\mathrm{cm}^2)$
(2) 先统一长度单位：$30\mathrm{m}=3000\mathrm{cm}$
卫生纸卷高度减少了：$15-14=1(\mathrm{cm})$
节省的面积为长3000cm、宽1cm的长方形面积：
$3000×1=3000(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1)$100.48\mathrm{cm}^2$
(2)$3000\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆环面积计算
2. 长方形面积计算
3. 长度单位换算
【点评】
本题结合生活实际考察几何面积公式的应用，需要学生将生活中的物品抽象为数学模型，解题时要注意单位统一，侧重考察知识的灵活运用能力和问题转化能力。
【难度系数】
0.7
3.一批布，都做上衣，正好做200件；都做裤子，正好做300条。用这批布最多能做多少套这样的衣服？（4分）
答案
$1÷(\frac{1}{200}+\frac{1}{300})$
$=1÷\frac{5}{600}$
$=120$(套)
$=1÷\frac{5}{600}$
$=120$(套)
解析
【分析】
解题时首先明确这批布的总数量未知，我们可以把这批布的总总量看作单位“1”，以此为基础计算单耗：做1件上衣需要总布料的$\frac{1}{200}$，做1条裤子需要总布料的$\frac{1}{300}$。1套衣服包含1件上衣和1条裤子，先算出做1套衣服的布料占总布料的占比，最后用总布料“1”除以1套衣服的布料占比，就能求出最多可做的套数。
【解析】
把这批布的总总量看作单位“1”。
$\begin{aligned} & 1÷(\frac{1}{200}+\frac{1}{300})\\ =& 1÷\frac{5}{600}\\ =& 120(套) \end{aligned}$
【答案】
120套
【知识点】
单位“1”的应用，分数四则运算，工程问题
【点评】
本题结合生活场景考查工程问题的实际应用，解题核心是通过设定单位“1”简化未知总量的计算，要求掌握分数通分、加减和除法的运算规则，能很好地考查知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确这批布的总数量未知，我们可以把这批布的总总量看作单位“1”，以此为基础计算单耗：做1件上衣需要总布料的$\frac{1}{200}$，做1条裤子需要总布料的$\frac{1}{300}$。1套衣服包含1件上衣和1条裤子，先算出做1套衣服的布料占总布料的占比，最后用总布料“1”除以1套衣服的布料占比，就能求出最多可做的套数。
【解析】
把这批布的总总量看作单位“1”。
$\begin{aligned} & 1÷(\frac{1}{200}+\frac{1}{300})\\ =& 1÷\frac{5}{600}\\ =& 120(套) \end{aligned}$
【答案】
120套
【知识点】
单位“1”的应用，分数四则运算，工程问题
【点评】
本题结合生活场景考查工程问题的实际应用，解题核心是通过设定单位“1”简化未知总量的计算，要求掌握分数通分、加减和除法的运算规则，能很好地考查知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 文具店9月份购进笔记本200本，，10月份购进笔记本多少本？（5分）
(1)根据线段图，将题目中的信息补充完整。（2分）
(2)列式解答。（3分）
(1)根据线段图，将题目中的信息补充完整。（2分）
(2)列式解答。（3分）
答案
4. (1)10月份比9月份多购进$\frac{2}{5}$
(2)$200×(1+\frac{2}{5})=280$(本)
(2)$200×(1+\frac{2}{5})=280$(本)
解析
【分析】
首先解决第(1)问：观察线段图，9月份购进笔记本的数量是单位“1”，10月份的线段比9月份长，多出的部分标注为占9月份的$\frac{2}{5}$，因此要补充的条件就是10月份和9月份购进量的数量关系。
再解决第(2)问：已知单位“1”（9月份购进200本），求比单位“1”多$\frac{2}{5}$的量，先求出10月份购进量对应的分率是$1+\frac{2}{5}$，再用单位“1”的量乘对应分率就能得到10月份的购进量。
【解析】
(1) 观察线段图可知，10月份购进笔记本的数量比9月份多$\frac{2}{5}$，所以补充条件为：10月份比9月份多购进$\frac{2}{5}$。
(2) 把9月份购进笔记本的数量看作单位“1”，10月份购进的数量是9月份的$1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$。
求10月份购进的数量，列乘法算式计算：
$200×(1+\frac{2}{5})$
$=200×\frac{7}{5}$
$=280$（本）
【答案】
(1)10月份比9月份多购进$\frac{2}{5}$
(2)280本
【知识点】
补全应用题条件，分数乘法应用，单位“1”识别
【点评】
本题结合线段图考查分数乘法的实际应用，解题的核心是准确找到单位“1”，明确所求量对应的分率，能有效提升学生的读图分析能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：观察线段图，9月份购进笔记本的数量是单位“1”，10月份的线段比9月份长，多出的部分标注为占9月份的$\frac{2}{5}$，因此要补充的条件就是10月份和9月份购进量的数量关系。
再解决第(2)问：已知单位“1”（9月份购进200本），求比单位“1”多$\frac{2}{5}$的量，先求出10月份购进量对应的分率是$1+\frac{2}{5}$，再用单位“1”的量乘对应分率就能得到10月份的购进量。
【解析】
(1) 观察线段图可知，10月份购进笔记本的数量比9月份多$\frac{2}{5}$，所以补充条件为：10月份比9月份多购进$\frac{2}{5}$。
(2) 把9月份购进笔记本的数量看作单位“1”，10月份购进的数量是9月份的$1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$。
求10月份购进的数量，列乘法算式计算：
$200×(1+\frac{2}{5})$
$=200×\frac{7}{5}$
$=280$（本）
【答案】
(1)10月份比9月份多购进$\frac{2}{5}$
(2)280本
【知识点】
补全应用题条件，分数乘法应用，单位“1”识别
【点评】
本题结合线段图考查分数乘法的实际应用，解题的核心是准确找到单位“1”，明确所求量对应的分率，能有效提升学生的读图分析能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
5.甲、乙、丙三个修路队合作修完了一条公路。甲队完成了全部任务的一半，乙队修了240 m，丙队修了全长的30%。这条公路全长多少米？（4分）
答案
$240÷(1-50\%-30\%)=1200(\mathrm{m})$
解析
【分析】
解题时首先把这条公路的全长看作单位“1”。先整理已知条件：甲队完成全长的一半即50%，丙队修了全长的30%，那么乙队修的240米对应的就是全长中扣除甲、丙两队施工部分的剩余占比。先算出乙队施工长度占全长的分率，再根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”的关系，就能求出公路的总长度。
【解析】
解：将公路全长看作单位“1”。
甲队施工占全长的比例：一半 = 50%
乙队施工长度占全长的分率：$1 - 50\% - 30\% = 20\%$
公路全长为：$240÷20\% = 1200(\mathrm{m})$
【答案】
这条公路全长1200米。
【知识点】
1. 百分数的应用
2. 单位“1”的判定
3. 量率对应关系
【点评】
本题是百分数在实际工程场景的基础应用题型，解题核心是准确锁定单位“1”，梳理清楚已知数值对应的分率，熟练运用量率对应关系即可快速求解，有助于巩固百分数应用题的通用解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先把这条公路的全长看作单位“1”。先整理已知条件：甲队完成全长的一半即50%，丙队修了全长的30%，那么乙队修的240米对应的就是全长中扣除甲、丙两队施工部分的剩余占比。先算出乙队施工长度占全长的分率，再根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”的关系，就能求出公路的总长度。
【解析】
解：将公路全长看作单位“1”。
甲队施工占全长的比例：一半 = 50%
乙队施工长度占全长的分率：$1 - 50\% - 30\% = 20\%$
公路全长为：$240÷20\% = 1200(\mathrm{m})$
【答案】
这条公路全长1200米。
【知识点】
1. 百分数的应用
2. 单位“1”的判定
3. 量率对应关系
【点评】
本题是百分数在实际工程场景的基础应用题型，解题核心是准确锁定单位“1”，梳理清楚已知数值对应的分率，熟练运用量率对应关系即可快速求解，有助于巩固百分数应用题的通用解题思路。
【难度系数】
0.8
6.小李在商场看中了一双鞋子，售货员说：“这双鞋子是在进货价的基础上加50%的利润再标价的。这双鞋子我按标价的八八折卖给你，你只需要付396元，我只赚你54元。”请你算一算，售货员说的话是否正确。（4分）
答案
6. $396÷0.88=450$(元)
$450÷(1+50\%)=300$(元)
$396-300=96$(元)
$96≠54$
所以售货员说的话不正确。
$450÷(1+50\%)=300$(元)
$396-300=96$(元)
$96≠54$
所以售货员说的话不正确。
解析
【分析】
要判断售货员的说法是否正确，需要先算出这双鞋子的实际利润，再和售货员所说的54元对比。解题思路如下：首先，已知小李实际付款396元是标价打八八折后的价格，根据“现价=标价×折扣”，可以反向求出鞋子的标价；其次，标价是在进货价基础上加50%利润得到的，即标价是进货价的（1+50%），再反向求出进货价；最后用实际售价减去进货价得到实际利润，和54元比较即可判断说法是否正确。
【解析】
第一步：计算鞋子的标价
八八折即0.88，根据标价=现价÷折扣可得：
$396÷0.88=450$(元)
第二步：计算鞋子的进货价
标价是进货价加50%利润后的价格，即标价=进货价×(1+50%)，因此进货价=标价÷(1+50%)：
$450÷(1+50\%)=300$(元)
第三步：计算实际利润
利润=实际售价-进货价：
$396-300=96$(元)
第四步：对比判断
实际利润96元与售货员所说的54元不相等：
$96≠54$
因此售货员的说法不正确。
【答案】
售货员说的话不正确。
【知识点】
折扣问题、百分数应用、利润计算
【点评】
本题结合日常消费场景出题，需要理清售价、标价、进价、折扣、利润之间的数量关系，按照逻辑逐步推导即可得出结论，可考察学生运用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断售货员的说法是否正确，需要先算出这双鞋子的实际利润，再和售货员所说的54元对比。解题思路如下：首先，已知小李实际付款396元是标价打八八折后的价格，根据“现价=标价×折扣”，可以反向求出鞋子的标价；其次，标价是在进货价基础上加50%利润得到的，即标价是进货价的（1+50%），再反向求出进货价；最后用实际售价减去进货价得到实际利润，和54元比较即可判断说法是否正确。
【解析】
第一步：计算鞋子的标价
八八折即0.88，根据标价=现价÷折扣可得：
$396÷0.88=450$(元)
第二步：计算鞋子的进货价
标价是进货价加50%利润后的价格，即标价=进货价×(1+50%)，因此进货价=标价÷(1+50%)：
$450÷(1+50\%)=300$(元)
第三步：计算实际利润
利润=实际售价-进货价：
$396-300=96$(元)
第四步：对比判断
实际利润96元与售货员所说的54元不相等：
$96≠54$
因此售货员的说法不正确。
【答案】
售货员说的话不正确。
【知识点】
折扣问题、百分数应用、利润计算
【点评】
本题结合日常消费场景出题，需要理清售价、标价、进价、折扣、利润之间的数量关系，按照逻辑逐步推导即可得出结论，可考察学生运用数学知识解决实际生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
