3. 如图10，$\odot O$的直径$AB=2$，$AM$和$BN$是它的两条切线，$DE$切$\odot O$于$E$，交$AM$于$D$，交$BN$于$C$。设$AD=x$，$BC=y$。
(1)求证:$AM// BN$；
(2)求$y$关于$x$的关系式。

3. (1)
∵AB是直径,AM,BN是切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM//BN.
(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB//DF.由(1)AM//BN,
∴四边形ABFD为矩形,
∴DF=AB=2,BF=AD=x.
∵DE,DA,CE,CB都是切线,
∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y. 在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,
∴(x+y)²=2²+(y-x)²,化简,得y=$\frac{1}{x}$(x＞0).

【分析】
(1)要证明AM//BN，可根据平行线判定定理，证明两条直线垂直于同一直线即可。已知AM、BN是圆的切线，AB是直径，根据切线性质：切线垂直于过切点的半径，可得AM⊥AB、BN⊥AB，即可推出平行关系。
(2)要求y与x的关系式，需找到二者的等量关系。首先过D作DF⊥BC构造矩形和直角三角形，先利用矩形性质得到DF、BF的长度；再根据切线长定理得到DC、CF的长度表达式；最后在直角三角形中用勾股定理列方程，化简即可得到y关于x的关系式。
【解析】
(1)证明：
∵AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∵垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
∴$AM// BN$。
(2)解：过点D作$DF⊥ BC$于点F，
∵$AM⊥ AB$，$BN⊥ AB$，$DF⊥ BC$，且由(1)得$AM// BN$，
∴四边形ABFD为矩形，
∴$DF=AB=2$，$BF=AD=x$。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
可得$DE=DA=x$，$CE=CB=y$，
∴$DC=DE+CE=x+y$，$CF=BC-BF=y-x$。
在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得$DC^2=DF^2+CF^2$，
代入得：$(x+y)^2=2^2+(y-x)^2$，
展开化简：$x^2+2xy+y^2=4+y^2-2xy+x^2$，
消去同类项得$4xy=4$，即$y=\frac{1}{x}(x＞0)$。
【答案】
3. (1)
∵AB是直径,AM,BN是切线,
∴AM⊥AB,BN⊥AB,
∴AM//BN.
(2)过点D作DF⊥BC于F,则AB//DF.由(1)AM//BN,
∴四边形ABFD为矩形,
∴DF=AB=2,BF=AD=x.
∵DE,DA,CE,CB都是切线,
∴根据切线长定理,得DE=DA=x,CE=CB=y. 在Rt△DFC中,DF=2,DC=DE+CE=x+y,CF=BC-BF=y-x,
∴(x+y)²=2²+(y-x)²,化简,得y=$\frac{1}{x}$(x＞0).

【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础综合题，第一问侧重考察切线性质和平行线判定，难度较低；第二问的解题关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，结合切线长定理找到边长关系，再利用勾股定理建立方程求解，解题思路典型，对掌握切线相关应用有很好的训练作用。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆,此圆圆心应是三角形()

A.三边高线的交点
B.三个内角的角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点

1. B

【分析】
要解决这道题，首先明确三角形内面积最大的圆是和三边都相切的内切圆，若圆再大就会超出三角形边界。接下来思考内切圆圆心的性质：圆心到三边的距离都等于内切圆半径，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可推出内切圆圆心是三个内角角平分线的交点，最后逐一区分各选项对应的交点性质即可得出答案。
【解析】
解：三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆与三角形的三边都相切，因此圆心到三角形三条边的距离相等。
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。因此到三角形三边距离都相等的点，是三个内角的角平分线的交点。
对各选项分析如下：
A. 三边高线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
B. 三个内角的角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，符合要求；
C. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆圆心，到三个顶点的距离相等，不符合要求；
D. 三边中线的交点是三角形的重心，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆；角平分线的性质；三角形四心区分
【点评】
本题考查三角形内切圆的相关概念，解题关键是区分三角形不同特殊交点的性质，牢记各交点的定义和对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图1,点I是$△ ABC$的内心,若$∠ I=116°$,则$∠ A$等于()

A.$50°$
B.$52°$
C.$54°$
D.$56°$

2. B

【分析】
解题思路如下：第一步，先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此IB、IC分别平分∠ABC和∠ACB；第二步，在△IBC中利用三角形内角和定理，算出∠IBC与∠ICB的度数和；第三步，结合角平分线的性质，推导得到△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；第四步，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△IBC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ IBC+∠ ICB=180°-∠ I=180°-116°=64°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=2(∠ IBC+∠ ICB)=2×64°=128°$
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-128°=52°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查对三角形内心性质的理解，解题的关键是熟练掌握内心是三角形内角平分线的交点，结合内角和定理逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8

3. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是()

A.$1:\sqrt{2}$
B.$2:1$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$1:2$

3. D

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的特殊性质：等边三角形的内心、外心、重心、垂心重合，即内切圆和外接圆的圆心是同一点。接下来可通过构造特殊直角三角形推导比值：圆心、等边三角形的一个顶点、该顶点相邻边的中点构成含30°角的直角三角形，内切圆半径是30°角对应的直角边，外接圆半径是斜边，利用直角三角形30°角的性质即可求出两者的比值。
【解析】
解：
∵等边三角形的内心（内切圆圆心）和外心（外接圆圆心）重合，
设该等边三角形的外接圆半径为$R$，内切圆半径为$r$。
过圆心作任意一边的垂线，连接圆心与该边的一个端点，得到直角三角形：
该直角三角形的一个锐角为$30°$（等边三角形内角为$60°$，外心与顶点的连线平分内角），$30°$角对的直角边为内切圆半径$r$，斜边为外接圆半径$R$。
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得：$r=\frac{1}{2}R$
∴内切圆半径:外接圆半径$=r:R=1:2$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是掌握等边三角形四心重合的特点，结合内切圆、外接圆的定义，将所求半径转化到特殊直角三角形中计算，是三角形与圆结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=25°，则∠BEC的大小为()

A.100°
B.110°
C.115°
D.120°

4. C

【分析】
首先利用同弧所对的圆周角相等，由已知∠CBD的度数求出∠CAD的度数，再结合点E是△ABC的内心，可知AD是∠BAC的角平分线，从而求出∠BAC的度数；再根据三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，接着利用内心的性质得到BE、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，进而求出∠EBC与∠ECB的和，最后在△BEC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BEC的大小。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CBD和∠CAD都是弧CD所对的圆周角，因此$∠ CAD = ∠ CBD = 25°$。
2. 因为点E是$△ ABC$的内心，所以AE是$∠ BAC$的角平分线，因此$∠ BAC = 2∠ CAD = 2×25° = 50°$。
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 50° = 130°$。
4. 又因为E是内心，所以BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，因此$∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$，则$∠ EBC + ∠ ECB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
5. 在$△ BEC$中，$∠ BEC = 180° - (∠ EBC + ∠ ECB) = 180° - 65° = 115°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形内心性质与圆周角定理的结合应用，解题的核心是明确内心是三角形三条角平分线的交点，结合角度间的数量关系即可逐步推导出所求角的度数，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 下列命题是真命题的是()

A.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B.三角形的内心到三角形三条边的距离相等
C.过任意三点可以画一个圆
D.对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形

5. B

【分析】
本题考查真假命题的判断，解题时需逐一对应每个选项涉及的几何定理，结合定理内容判断选项描述是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不是菱形，该选项是假命题；
B选项：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形内心到三条边的距离相等，该选项是真命题；
C选项：只有过不在同一条直线上的三个点才可以确定一个圆，若三点共线则无法画出过这三点的圆，该选项是假命题；
D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，不是矩形，该选项是假命题。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质；特殊四边形的判定；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对常见几何性质、判定定理的掌握程度，学习时要注意区分相似的定理内容，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8