学习任务一 绝对值的几何意义
从生活到学习
|情境创设|
已知两辆汽车从同一地点出发，其中一辆向东行驶10 km，到达A处，另一辆向西行驶10 km，到达B处。
问题1:它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相同吗？
问题2:如图，规定出发点为原点(点O)，用0表示点O，向东为正方向，用1个单位长度(线段OC的长)代表1 km长，则点A用数表示为，点B用数表示为。

|情境创设|
观察下面数轴上的点。

问题3:数轴上表示－3的点与原点的距离是多少？表示3的点与原点的距离是多少？表示－2和2的两点与原点的距离分别又是多少？
|知识梳理|
一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫作数a的绝对值，记作。

问题1: 它们的行驶路线不同，行驶路程相同。
问题2: +10 -10
问题3: 数轴上表示－3的点与原点的距离是3，表示3的点与原点的距离也是3，表示－2和2的点与原点的距离都是2。
知识梳理 距离 |a|

【分析】
解题时可按照问题顺序逐步推导：1. 问题1判断路线看行驶方向，判断路程看行驶的长度，东和西是相反方向，行驶长度都是10km，据此即可得出结论；2. 问题2根据正负数的意义，规定向东为正，那么向西就为负，结合行驶距离即可写出A、B对应的数；3. 问题3数轴上点到原点的距离等于该点对应数的非负值，不考虑正负符号，直接数单位长度即可得到结果；4. 知识梳理直接根据绝对值的几何定义填写即可。
【解析】
问题1：两辆汽车一辆向东行驶、一辆向西行驶，行驶方向相反，因此行驶路线不同；两车行驶的长度都是10km，因此行驶路程相同。
问题2：规定出发点为原点，向东为正方向，1个单位长度代表1km，向东行驶10km的点A对应数为+10，向西行驶10km的点B对应数为-10。
问题3：数轴上点到原点的距离为该点对应的数去掉符号后的大小，因此表示-3的点到原点距离是3，表示3的点到原点距离是3，表示-2的点到原点距离是2，表示2的点到原点距离是2。
知识梳理：根据绝对值的几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。
【答案】
问题1: 它们的行驶路线不同，行驶路程相同。
问题2: +10 -10
问题3: 数轴上表示－3的点与原点的距离是3，表示3的点与原点的距离也是3，表示－2和2的点与原点的距离都是2。
知识梳理 距离 |a|
【知识点】
正负数的意义、数轴的认识、绝对值的定义
【点评】
本题结合生活实际情境引入知识点，从具象的行驶问题过渡到抽象的数轴概念，帮助学生直观理解绝对值的几何意义，侧重对基础概念的考察，难度较低。
【难度系数】
0.9

1.一个正数的绝对值是它；一个负数的绝对值是它的；0 的绝对值是.
（1）如果a是正数，那么$|a|=$；
（2）如果a是0，那么$|a|=$；
（3）如果a是负数，那么$|a|=$.
2.互为相反数的两个数的绝对值.

1. 本身 相反数 0
（1）a
（2）0
（3）-a
2. 相等

【分析】
本题考查绝对值和相反数的基础概念，解题时先回忆绝对值的代数定义：绝对值是数轴上一个数对应的点到原点的距离，距离具有非负性，因此可以分正数、0、负数三类梳理绝对值的规律：①正数到原点的距离就是它本身的大小，所以正数的绝对值是它本身；②负数到原点的距离是去掉负号后的数值，也就是它的相反数；③0在原点上，到原点的距离为0，因此0的绝对值是0。再结合相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，到原点的距离相等，就能推出二者绝对值的关系。
【解析】
1. 根据绝对值的代数性质：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（1）若a是正数，符合正数绝对值的规律，因此$|a|=a$；
（2）若a是0，符合0的绝对值规律，因此$|a|=0$；
（3）若a是负数，符合负数绝对值的规律，绝对值是它的相反数，因此$|a|=-a$（此处a为负数，所以$-a$为正数，符合绝对值非负的特点）。
2. 互为相反数的两个数在数轴上到原点的距离相等，而绝对值就是该数到原点的距离，因此互为相反数的两个数的绝对值相等。
【答案】
1. 本身 相反数 0
（1）a
（2）0
（3）-a
2. 相等
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 相反数的特征
【点评】
本题是基础概念题，核心考察对绝对值基本定义的识记与理解，是后续学习有理数运算、绝对值化简的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【例1】求下列各数的绝对值：
(1)219； (2)+3.5； (3)$-\dfrac{3}{2}$； (4)0；
(5)$-4\dfrac{3}{4}$。
解：

(1) 219
(2) 3.5
(3) $\dfrac{3}{2}$
(4) 0
(5) $4\dfrac{3}{4}$

【分析】
解答本题首先要回忆绝对值的运算规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时先判断每一问给出的数是正数、负数还是0，再对应套用上述规则计算即可得到对应的绝对值。
【解析】
根据绝对值的性质求解：
(1) 219是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\left|219\right|=219$；
(2) $+3.5$是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\left|+3.5\right|=3.5$；
(3) $-\dfrac{3}{2}$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\left|-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{3}{2}$；
(4) 0的绝对值是0，因此$\left|0\right|=0$；
(5) $-4\dfrac{3}{4}$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\left|-4\dfrac{3}{4}\right|=4\dfrac{3}{4}$。
【答案】
(1) 219
(2) 3.5
(3) $\dfrac{3}{2}$
(4) 0
(5) $4\dfrac{3}{4}$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的概念
【点评】
本题是绝对值运算的基础题型，解题的关键是先明确所求数的正负属性，再对应套用绝对值的运算规则，做题时注意负数求绝对值时要正确写出它的相反数，避免符号错误。
【难度系数】
0.9