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8. (1) 如图①, 在四边形 ABCD 中, AB = AD, ∠BAD = 120°, ∠ABC = ∠ADC = 90°, 且 ∠EAF=60°, 求证 EF=BE+DF.
(2) 如图②, 若在四边形 ABCD 中, AB = AD, ∠B+∠D=180°, E,F 分别是 BC,CD 上的点, 且 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD, 上述结论是否仍然成立? 请说明理由.
(2) 如图②, 若在四边形 ABCD 中, AB = AD, ∠B+∠D=180°, E,F 分别是 BC,CD 上的点, 且 ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD, 上述结论是否仍然成立? 请说明理由.
答案
8. (1)如图①,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,则∠ADG=180°-∠ADC=90°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABC=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=60°.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
(2)结论 EF = BE + DF 仍然成立. 理由如下:
如图②,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴ ∠B=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
解析
【分析】
要证明线段EF等于BE与DF的和，可采用“截长补短”的辅助线思路：已知AB=AD，存在等线段条件，选择“补短”法，将BE转移到FD的延长线上，构造全等三角形实现线段转化。首先构造△ADG与△ABE全等，得到对应边、对应角相等，再结合已知角的数量关系证明△AEF与△AGF全等，即可将EF转化为GF，而GF恰好是DG（即BE）与DF的和，从而证得结论。第二问将直角条件改为∠B+∠D=180°，依然可以沿用相同的构造全等的思路推导。
【解析】
(1) 如图①，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，则∠ADG=180°-∠ADC=90°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠ABC=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS)。
∴ AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=60°。
∴ ∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS)。
∴ EF=GF。
∵ GF=DG+DF=BE+DF，
∴ EF=BE+DF。
(2) 结论EF = BE + DF仍然成立。理由如下：
如图②，延长FD到点G，使DG = BE，连接AG。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADG = 180°，
∴ ∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS)。
∴ AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD。
∴ ∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS)。
∴ EF=GF。
∵ GF=DG+DF=BE+DF，
∴ EF=BE+DF。
【答案】
(1)如图①,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,则∠ADG=180°-∠ADC=90°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABC=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=60°.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
(2)结论 EF = BE + DF 仍然成立. 理由如下:
如图②,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴ ∠B=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，截长补短法
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段和差关系的典型题型，核心思路是通过构造全等三角形将分散的线段转移到同一条线段上，从而简化证明。构造全等的辅助线方法是解题的关键，需熟练掌握这类等线段条件下的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
要证明线段EF等于BE与DF的和，可采用“截长补短”的辅助线思路：已知AB=AD，存在等线段条件，选择“补短”法，将BE转移到FD的延长线上，构造全等三角形实现线段转化。首先构造△ADG与△ABE全等，得到对应边、对应角相等，再结合已知角的数量关系证明△AEF与△AGF全等，即可将EF转化为GF，而GF恰好是DG（即BE）与DF的和，从而证得结论。第二问将直角条件改为∠B+∠D=180°，依然可以沿用相同的构造全等的思路推导。
【解析】
(1) 如图①，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，则∠ADG=180°-∠ADC=90°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠ABC=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS)。
∴ AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=60°。
∴ ∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS)。
∴ EF=GF。
∵ GF=DG+DF=BE+DF，
∴ EF=BE+DF。
(2) 结论EF = BE + DF仍然成立。理由如下：
如图②，延长FD到点G，使DG = BE，连接AG。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADG = 180°，
∴ ∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS)。
∴ AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD。
∴ ∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS)。
∴ EF=GF。
∵ GF=DG+DF=BE+DF，
∴ EF=BE+DF。
【答案】
(1)如图①,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,则∠ADG=180°-∠ADC=90°.
∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABC=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=60°.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
(2)结论 EF = BE + DF 仍然成立. 理由如下:
如图②,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴ ∠B=∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} BE=DG, \\ ∠B=∠ADG, \\ AB=AD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS).
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD-∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴ ∠GAF=∠EAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS).
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质，截长补短法
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段和差关系的典型题型，核心思路是通过构造全等三角形将分散的线段转移到同一条线段上，从而简化证明。构造全等的辅助线方法是解题的关键，需熟练掌握这类等线段条件下的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
