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8. 请先计算 $0.01^3,0.1^3,1^3,10^3$，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（
A.不移动
B.向左（右）移动一位
C.向左（右）移动两位
D.向左（右）移动三位
D
）。A.不移动
B.向左（右）移动一位
C.向左（右）移动两位
D.向左（右）移动三位
答案
D
解析
【分析】
解题时首先按照题目要求分别计算四个底数的立方值，再将底数和对应的立方值按顺序排列，对比相邻两个底数的小数点移动方向和位数，同时观察对应立方数的小数点移动情况，归纳出普遍规律后匹配正确选项。
【解析】
首先计算各数的立方：
$0.01^3=0.01×0.01×0.01=0.000001$
$0.1^3=0.1×0.1×0.1=0.001$
$1^3=1×1×1=1$
$10^3=10×10×10=1000$
观察对比：
底数从$0.01$到$0.1$，小数点向右移动1位，对应立方数从$0.000001$到$0.001$，小数点向右移动3位；
底数从$0.1$到$1$，小数点向右移动1位，对应立方数从$0.001$到$1$，小数点向右移动3位；
底数从$1$到$10$，小数点向右移动1位，对应立方数从$1$到$1000$，小数点向右移动3位；
同理可得，底数小数点向左移动1位时，立方数小数点向左移动3位。
因此规律为底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数的小数点向左（右）移动三位，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方运算；小数点移动规律
【点评】
本题属于基础规律探究题，通过具体数值的计算和对比归纳规律，既考查了乘方的基本运算能力，也锻炼了观察、总结规律的思维能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先按照题目要求分别计算四个底数的立方值，再将底数和对应的立方值按顺序排列，对比相邻两个底数的小数点移动方向和位数，同时观察对应立方数的小数点移动情况，归纳出普遍规律后匹配正确选项。
【解析】
首先计算各数的立方：
$0.01^3=0.01×0.01×0.01=0.000001$
$0.1^3=0.1×0.1×0.1=0.001$
$1^3=1×1×1=1$
$10^3=10×10×10=1000$
观察对比：
底数从$0.01$到$0.1$，小数点向右移动1位，对应立方数从$0.000001$到$0.001$，小数点向右移动3位；
底数从$0.1$到$1$，小数点向右移动1位，对应立方数从$0.001$到$1$，小数点向右移动3位；
底数从$1$到$10$，小数点向右移动1位，对应立方数从$1$到$1000$，小数点向右移动3位；
同理可得，底数小数点向左移动1位时，立方数小数点向左移动3位。
因此规律为底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数的小数点向左（右）移动三位，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方运算；小数点移动规律
【点评】
本题属于基础规律探究题，通过具体数值的计算和对比归纳规律，既考查了乘方的基本运算能力，也锻炼了观察、总结规律的思维能力。
【难度系数】
0.85
9.水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力，在适宜的条件下，1株水葫芦每5天能繁殖1株（不考虑死亡、被打捞等其他因素）。
（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
| 天数 | 5 | 10 | 15 | … | 25 | … | 5n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总株数 | 2 | 4 |
| … |
（2）若现有10株水葫芦，按照上述生长速度，多少天后，湖面上有1280株水葫芦？
（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
| 天数 | 5 | 10 | 15 | … | 25 | … | 5n |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总株数 | 2 | 4 |
| … | 32
| … | $2^n$
|（2）若现有10株水葫芦，按照上述生长速度，多少天后，湖面上有1280株水葫芦？
答案
(1)8 32 $2^n$
(2)解：$10×2^n=1280$，$2^n=128$，$n=7$，$7×5=35$(天)。
(2)解：$10×2^n=1280$，$2^n=128$，$n=7$，$7×5=35$(天)。
解析
【分析】
先分析第一问的规律：已知水葫芦每5天繁殖1株，即每过5天总株数变为原来的2倍。初始1株时，天数为5对应1个5天周期，总株数为$2^1$；天数为10对应2个5天周期，总株数为$2^2$，以此类推，天数为$5n$就对应$n$个5天周期，总株数为$2^n$，据此可算出15天、25天对应的总株数。再分析第二问：初始有10株水葫芦，$n$个5天周期后总株数为$10×2^n$，令总株数等于1280，先求出$n$的值，再乘5即可得到总天数。
【解析】
（1）根据每5天总株数翻倍的规律：
天数为15时，对应$15÷5=3$个5天周期，总株数$=2^3=8$；
天数为25时，对应$25÷5=5$个5天周期，总株数$=2^5=32$；
天数为$5n$时，对应$n$个5天周期，总株数$=2^n$。
（2）设经过$n$个5天周期后，湖面上有1280株水葫芦，列方程：
$10×2^n=1280$
两边同时除以10得：$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
总天数为：$7×5=35$（天）
【答案】
（1）$\boxed{8}$；$\boxed{32}$；$\boxed{2^n}$
（2）$\boxed{35}$天
【知识点】
乘方的应用；规律探究；列方程求解
【点评】
本题结合实际场景考查乘方的相关知识，解题核心是准确找到水葫芦数量随时间的翻倍规律，理清天数和乘方指数的对应关系，再结合乘方的意义即可求解，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
先分析第一问的规律：已知水葫芦每5天繁殖1株，即每过5天总株数变为原来的2倍。初始1株时，天数为5对应1个5天周期，总株数为$2^1$；天数为10对应2个5天周期，总株数为$2^2$，以此类推，天数为$5n$就对应$n$个5天周期，总株数为$2^n$，据此可算出15天、25天对应的总株数。再分析第二问：初始有10株水葫芦，$n$个5天周期后总株数为$10×2^n$，令总株数等于1280，先求出$n$的值，再乘5即可得到总天数。
【解析】
（1）根据每5天总株数翻倍的规律：
天数为15时，对应$15÷5=3$个5天周期，总株数$=2^3=8$；
天数为25时，对应$25÷5=5$个5天周期，总株数$=2^5=32$；
天数为$5n$时，对应$n$个5天周期，总株数$=2^n$。
（2）设经过$n$个5天周期后，湖面上有1280株水葫芦，列方程：
$10×2^n=1280$
两边同时除以10得：$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
总天数为：$7×5=35$（天）
【答案】
（1）$\boxed{8}$；$\boxed{32}$；$\boxed{2^n}$
（2）$\boxed{35}$天
【知识点】
乘方的应用；规律探究；列方程求解
【点评】
本题结合实际场景考查乘方的相关知识，解题核心是准确找到水葫芦数量随时间的翻倍规律，理清天数和乘方指数的对应关系，再结合乘方的意义即可求解，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
10. 定义：$M_{(1)}=-2$，$M_{(2)}=(-2)×(-2)$，
$M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2)$，
$M_{(m)}=\underbrace{(-2)×(-2)×···×(-2)}_{m个(-2)相乘}$。
请根据以上信息，解决以下问题：
(1) 求$M_{(5)}+M_{(6)}$的值；
(2) 求$2M_{(2\ 026)}+M_{(2\ 027)}$的值；
(3) 说明$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
$M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2)$，
$M_{(m)}=\underbrace{(-2)×(-2)×···×(-2)}_{m个(-2)相乘}$。
请根据以上信息，解决以下问题：
(1) 求$M_{(5)}+M_{(6)}$的值；
(2) 求$2M_{(2\ 026)}+M_{(2\ 027)}$的值；
(3) 说明$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
答案
解:(1)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^5+(-2)^6\\&=-32+64=32;\end{aligned}$
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2027}\\&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2026}×(-2)\\&=(-2)^{2026}×(2-2)=0;\end{aligned}$
(3)因为$2M_{(n)}+M_{(n+1)}$
$=2×(-2)^n+(-2)^{n+1}$
$=2×(-2)^n+(-2)×(-2)^n=0,$
所以$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
(2)$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2027}\\&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2026}×(-2)\\&=(-2)^{2026}×(2-2)=0;\end{aligned}$
(3)因为$2M_{(n)}+M_{(n+1)}$
$=2×(-2)^n+(-2)^{n+1}$
$=2×(-2)^n+(-2)×(-2)^n=0,$
所以$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
解析
【分析】
首先明确题目新定义$M_{(m)}$的本质是m个-2相乘，即$M_{(m)}=(-2)^m$，将问题转化为有理数乘方运算求解：
(1) 直接将$M_{(5)}$、$M_{(6)}$转化为乘方形式，分别计算结果后求和即可；
(2) 2026、2027是较大指数，无法直接计算，观察发现两项均含有公因式$(-2)^{2026}$，提取公因式后可简化运算；
(3) 根据相反数的判定规则：若两个数的和为0，则两数互为相反数，只需计算$2M_{(n)}+M_{(n+1)}$的结果，验证其和为0即可。
【解析】
(1) 根据定义可知$M_{(5)}=(-2)^5$，$M_{(6)}=(-2)^6$，则：
$\begin{aligned}M_{(5)}+M_{(6)}&=(-2)^5+(-2)^6\\&=-32+64\\&=32\end{aligned}$
(2) 同理$M_{(2026)}=(-2)^{2026}$，$M_{(2027)}=(-2)^{2027}$，则：
$\begin{aligned}2M_{(2026)}+M_{(2027)}&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2027}\\&=2×(-2)^{2026}+(-2)×(-2)^{2026}\\&=(-2)^{2026}×(2-2)\\&=0\end{aligned}$
(3) 验证两数之和是否为0：
$\begin{aligned}2M_{(n)}+M_{(n+1)}&=2×(-2)^n + (-2)^{n+1}\\&=2×(-2)^n + (-2)×(-2)^n\\&=(-2)^n×(2-2)\\&=0\end{aligned}$
因此$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
【答案】
(1)$32$；(2)$0$；(3)$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数，证明见上述过程。
【知识点】
有理数的乘方运算，相反数的判定，乘法分配律逆用
【点评】
本题为新定义类基础题，解题核心是将陌生的新定义转化为已学的乘方运算，解题过程中要注意乘方的符号规律，遇到高指数运算时不要硬算，学会提取公因式简化计算，同时要熟练掌握相反数的判定方法。
【难度系数】
0.8
首先明确题目新定义$M_{(m)}$的本质是m个-2相乘，即$M_{(m)}=(-2)^m$，将问题转化为有理数乘方运算求解：
(1) 直接将$M_{(5)}$、$M_{(6)}$转化为乘方形式，分别计算结果后求和即可；
(2) 2026、2027是较大指数，无法直接计算，观察发现两项均含有公因式$(-2)^{2026}$，提取公因式后可简化运算；
(3) 根据相反数的判定规则：若两个数的和为0，则两数互为相反数，只需计算$2M_{(n)}+M_{(n+1)}$的结果，验证其和为0即可。
【解析】
(1) 根据定义可知$M_{(5)}=(-2)^5$，$M_{(6)}=(-2)^6$，则：
$\begin{aligned}M_{(5)}+M_{(6)}&=(-2)^5+(-2)^6\\&=-32+64\\&=32\end{aligned}$
(2) 同理$M_{(2026)}=(-2)^{2026}$，$M_{(2027)}=(-2)^{2027}$，则：
$\begin{aligned}2M_{(2026)}+M_{(2027)}&=2×(-2)^{2026}+(-2)^{2027}\\&=2×(-2)^{2026}+(-2)×(-2)^{2026}\\&=(-2)^{2026}×(2-2)\\&=0\end{aligned}$
(3) 验证两数之和是否为0：
$\begin{aligned}2M_{(n)}+M_{(n+1)}&=2×(-2)^n + (-2)^{n+1}\\&=2×(-2)^n + (-2)×(-2)^n\\&=(-2)^n×(2-2)\\&=0\end{aligned}$
因此$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数。
【答案】
(1)$32$；(2)$0$；(3)$2M_{(n)}$与$M_{(n+1)}$互为相反数，证明见上述过程。
【知识点】
有理数的乘方运算，相反数的判定，乘法分配律逆用
【点评】
本题为新定义类基础题，解题核心是将陌生的新定义转化为已学的乘方运算，解题过程中要注意乘方的符号规律，遇到高指数运算时不要硬算，学会提取公因式简化计算，同时要熟练掌握相反数的判定方法。
【难度系数】
0.8
