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5. 两个工程队合修一条马路，当甲队修了120 m时，乙队比甲队多修了$\frac{1}{6}$，这时两队正好修了全长的$\frac{5}{8}$。这条马路全长多少米？
答案
乙队:$120+120×\frac{1}{6}=140$(m)
$(120+140)÷\frac{5}{8}=416$(m)
答：这条马路全长416米。
$(120+140)÷\frac{5}{8}=416$(m)
答：这条马路全长416米。
解析
【分析】解题时先明确两个分率对应的单位“1”：首先“乙队比甲队多修了$\frac{1}{6}$”的单位“1”是甲队修的长度，是已知量，可先求出乙队修的长度；再计算甲乙两队一共修的长度，这个总长度对应全长的$\frac{5}{8}$，此处单位“1”是马路全长，是未知量，已知对应量和对应分率，用除法即可求出全长。
【解析】
第一步：计算乙队修的长度
乙队比甲队多修的长度：$120×\frac{1}{6}=20$（m）
乙队修的总长度：$120+20=140$（m）
第二步：计算两队一共修的长度
$120+140=260$（m）
第三步：计算马路全长，已知全长的$\frac{5}{8}$是260m，求全长用除法：
$260÷\frac{5}{8}=260×\frac{8}{5}=416$（m）
【答案】
这条马路全长416米。
【知识点】
分数乘法应用，分数除法应用，单位“1”判定
【点评】
本题考查分数乘除法的实际应用，解题核心是准确区分不同分率对应的单位“1”，先求出已知分率对应的具体量，再利用量率对应关系求解未知量，是分数应用题的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
【解析】
第一步：计算乙队修的长度
乙队比甲队多修的长度：$120×\frac{1}{6}=20$（m）
乙队修的总长度：$120+20=140$（m）
第二步：计算两队一共修的长度
$120+140=260$（m）
第三步：计算马路全长，已知全长的$\frac{5}{8}$是260m，求全长用除法：
$260÷\frac{5}{8}=260×\frac{8}{5}=416$（m）
【答案】
这条马路全长416米。
【知识点】
分数乘法应用，分数除法应用，单位“1”判定
【点评】
本题考查分数乘除法的实际应用，解题核心是准确区分不同分率对应的单位“1”，先求出已知分率对应的具体量，再利用量率对应关系求解未知量，是分数应用题的常见基础题型。
【难度系数】
0.75
6. 甲、乙两车同时从相距420 km的A、B两地相对开出，5小时后甲车行驶了全程的$\frac{3}{5}$，乙车行驶了全程的$\frac{2}{3}$。这时两车相距多少千米？
答案
$420×(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}-1)=112$(km)
答：这时两车相距112千米。
答：这时两车相距112千米。
解析
【分析】
这是一道相对行驶的行程类分数应用题，解题思路如下：首先我们可以先计算甲、乙两车行驶的路程总和占全程的分率，由于两车从两地相对开出，若两车行驶路程的分率之和大于1，说明两车已经相遇后又继续向前行驶，超出1的部分就是两车现在相距的距离占全程的分率，最后用总路程乘这个分率就能算出两车的距离。
【解析】
先计算两车一共行驶的路程占全程的分率：
$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$
两车行驶路程和大于全程，说明已相遇，两车相距的路程对应的分率为：
$\frac{19}{15}-1=\frac{4}{15}$
用总路程乘对应分率得到两车相距距离，列综合算式为：
$420×(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}-1)=112$(km)
【答案】
这时两车相距112千米。
【知识点】
分数乘法应用、相遇问题、分数四则运算
【点评】
本题解题的核心是理清两车的位置关系，明确两车行驶路程和超出全程的部分就是两车的实际距离，结合“单位‘1’的量×对应分率=对应量”的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道相对行驶的行程类分数应用题，解题思路如下：首先我们可以先计算甲、乙两车行驶的路程总和占全程的分率，由于两车从两地相对开出，若两车行驶路程的分率之和大于1，说明两车已经相遇后又继续向前行驶，超出1的部分就是两车现在相距的距离占全程的分率，最后用总路程乘这个分率就能算出两车的距离。
【解析】
先计算两车一共行驶的路程占全程的分率：
$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$
两车行驶路程和大于全程，说明已相遇，两车相距的路程对应的分率为：
$\frac{19}{15}-1=\frac{4}{15}$
用总路程乘对应分率得到两车相距距离，列综合算式为：
$420×(\frac{3}{5}+\frac{2}{3}-1)=112$(km)
【答案】
这时两车相距112千米。
【知识点】
分数乘法应用、相遇问题、分数四则运算
【点评】
本题解题的核心是理清两车的位置关系，明确两车行驶路程和超出全程的部分就是两车的实际距离，结合“单位‘1’的量×对应分率=对应量”的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合作完成这项工程，一共需要多少天？
答案
$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})=\frac{20}{3}$(天)
答：一共需要$\frac{20}{3}$天。
答：一共需要$\frac{20}{3}$天。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时我们先把这项工程的总工作量看作单位“1”。首先分别求出甲、乙两队的工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间；再计算两队合作的工作效率和，最后根据“合作工作时间=总工作量÷工作效率和”就能求出合作需要的总天数。
【解析】
我们将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 求甲队的工作效率：甲队单独做12天完成，所以甲队每天完成总工程的 $1÷12=\frac{1}{12}$
2. 求乙队的工作效率：乙队单独做15天完成，所以乙队每天完成总工程的 $1÷15=\frac{1}{15}$
3. 求两队合作的工作效率和：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{5}{60}+\frac{4}{60}=\frac{3}{20}$
4. 求合作需要的时间：总工作量÷效率和，即 $1÷\frac{3}{20}=\frac{20}{3}$（天）
【答案】
一共需要$\frac{20}{3}$天。
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数四则运算
3. 工作总量、效率、时间的关系
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心解题思路是将工作总量看作单位“1”，只要熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，准确完成分数的通分和运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时我们先把这项工程的总工作量看作单位“1”。首先分别求出甲、乙两队的工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间；再计算两队合作的工作效率和，最后根据“合作工作时间=总工作量÷工作效率和”就能求出合作需要的总天数。
【解析】
我们将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 求甲队的工作效率：甲队单独做12天完成，所以甲队每天完成总工程的 $1÷12=\frac{1}{12}$
2. 求乙队的工作效率：乙队单独做15天完成，所以乙队每天完成总工程的 $1÷15=\frac{1}{15}$
3. 求两队合作的工作效率和：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{5}{60}+\frac{4}{60}=\frac{3}{20}$
4. 求合作需要的时间：总工作量÷效率和，即 $1÷\frac{3}{20}=\frac{20}{3}$（天）
【答案】
一共需要$\frac{20}{3}$天。
【知识点】
1. 工程问题
2. 分数四则运算
3. 工作总量、效率、时间的关系
【点评】
本题是工程问题的基础题型，核心解题思路是将工作总量看作单位“1”，只要熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，准确完成分数的通分和运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 小敏看一本书，第一天看了全书的$\frac{1}{5}$，第二天又看了余下的$\frac{1}{2}$，这时还有80页没有看。这本书共有多少页？
答案
$(1-\frac{1}{5})×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$
$80÷(1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5})=200$(页)
答：这本书共有200页。
$80÷(1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5})=200$(页)
答：这本书共有200页。
解析
【分析】
这是一道分数应用类题目，解题核心是先确定单位“1”为全书的总页数，解题思路分三步：第一步先算出第一天看完后剩下的页数占全书的分率；第二步根据第二天看了余下的$\frac{1}{2}$，算出第二天看的页数占全书总页数的分率；第三步算出剩下的80页对应的占全书的分率，最后根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”求出总页数。
【解析】
1. 计算第二天看的页数占全书总页数的分率：
第一天看完后余下全书的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，第二天看了余下的$\frac{1}{2}$，因此第二天看的页数占全书的分率为：
$(1-\frac{1}{5})×\frac{1}{2}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$
2. 计算剩余80页对应的占全书的分率：
剩余页数占全书的分率为$1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$
3. 计算全书总页数：
根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，可得总页数为：
$80÷\frac{2}{5}=80×\frac{5}{2}=200$（页）
【答案】
这本书共有200页。
【知识点】
分数四则运算，单位“1”应用，量率对应
【点评】
本题属于常规分数应用题，解题的关键是统一将全书总页数作为单位“1”，正确计算第二天看书页数占总页数的分率，找准剩余页数对应的分率即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道分数应用类题目，解题核心是先确定单位“1”为全书的总页数，解题思路分三步：第一步先算出第一天看完后剩下的页数占全书的分率；第二步根据第二天看了余下的$\frac{1}{2}$，算出第二天看的页数占全书总页数的分率；第三步算出剩下的80页对应的占全书的分率，最后根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”求出总页数。
【解析】
1. 计算第二天看的页数占全书总页数的分率：
第一天看完后余下全书的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，第二天看了余下的$\frac{1}{2}$，因此第二天看的页数占全书的分率为：
$(1-\frac{1}{5})×\frac{1}{2}=\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$
2. 计算剩余80页对应的占全书的分率：
剩余页数占全书的分率为$1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$
3. 计算全书总页数：
根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，可得总页数为：
$80÷\frac{2}{5}=80×\frac{5}{2}=200$（页）
【答案】
这本书共有200页。
【知识点】
分数四则运算，单位“1”应用，量率对应
【点评】
本题属于常规分数应用题，解题的关键是统一将全书总页数作为单位“1”，正确计算第二天看书页数占总页数的分率，找准剩余页数对应的分率即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 修一段 48 km 长的公路，甲队单独修要 60 天完成，乙队单独修要 40 天完成。甲队先修完公路的$\frac{1}{3}$后，剩下的由甲、乙两队合作完成，还需要多少天才能修完？
答案
$(1-\frac{1}{3})÷(\frac{1}{60}+\frac{1}{40})=16$(天)
答：还需要16天才能修完。
答：还需要16天才能修完。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时我们可以把这段公路的总工作量看作单位“1”。首先需要先求出甲队修完$\frac{1}{3}$后剩下的工作量，再分别求出甲、乙两队的工作效率，得到两队合作的总效率，最后根据“工作时间=剩余工作量÷合作工作效率”就能算出还需要的天数。
【解析】
1. 计算剩余工作量：总工作量为单位“1”，甲修完$\frac{1}{3}$后，剩下的工作量为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
2. 计算两队工作效率：甲队单独修60天完成，效率为 $1÷60=\frac{1}{60}$；乙队单独修40天完成，效率为 $1÷40=\frac{1}{40}$
3. 计算两队合作的总效率：$\frac{1}{60}+\frac{1}{40}=\frac{2}{120}+\frac{3}{120}=\frac{1}{24}$
4. 计算所需时间：$\frac{2}{3}÷\frac{1}{24}=16$（天）
综合算式：$(1-\frac{1}{3})÷(\frac{1}{60}+\frac{1}{40})=16$（天）
答：还需要16天才能修完。
【答案】
还需要16天才能修完。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础应用题型，解题关键是掌握将总工作量看作单位“1”的思路，题干给出的公路总长度48km为干扰条件，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时我们可以把这段公路的总工作量看作单位“1”。首先需要先求出甲队修完$\frac{1}{3}$后剩下的工作量，再分别求出甲、乙两队的工作效率，得到两队合作的总效率，最后根据“工作时间=剩余工作量÷合作工作效率”就能算出还需要的天数。
【解析】
1. 计算剩余工作量：总工作量为单位“1”，甲修完$\frac{1}{3}$后，剩下的工作量为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
2. 计算两队工作效率：甲队单独修60天完成，效率为 $1÷60=\frac{1}{60}$；乙队单独修40天完成，效率为 $1÷40=\frac{1}{40}$
3. 计算两队合作的总效率：$\frac{1}{60}+\frac{1}{40}=\frac{2}{120}+\frac{3}{120}=\frac{1}{24}$
4. 计算所需时间：$\frac{2}{3}÷\frac{1}{24}=16$（天）
综合算式：$(1-\frac{1}{3})÷(\frac{1}{60}+\frac{1}{40})=16$（天）
答：还需要16天才能修完。
【答案】
还需要16天才能修完。
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作三量关系
【点评】
本题是工程问题的基础应用题型，解题关键是掌握将总工作量看作单位“1”的思路，题干给出的公路总长度48km为干扰条件，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 一批书，给第一组同学发完后，已发书的数量是未发的$\frac{1}{4}$。接下来又给第二组同学发了12本，这时已发书的数量是未发的$\frac{2}{3}$。这批书一共有多少本？
答案
$12÷(\frac{2}{2+3}-\frac{1}{1+4})=60$(本)
答：这批书一共有60本。
答：这批书一共有60本。
解析
【分析】
这是分数应用类题目，解题核心是找到不变量作为单位“1”。本题中这批书的总数量始终不变，因此把总本数设为单位“1”。首先根据第一次发书后“已发是未发的$\frac{1}{4}$”，将已发的看作1份、未发的看作4份，总份数为$1+4=5$份，此时已发数量占总数量的$\frac{1}{5}$；再根据第二次发12本后“已发是未发的$\frac{2}{3}$”，同理可得此时已发数量占总数量的$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$；两次已发数量的差就是12本，对应的分率为$\frac{2}{5}-\frac{1}{5}$，最后用对应量12本除以对应分率就能求出单位“1”即总书数。
【解析】
解：把这批书的总数量看作单位“1”。
第一次发完后已发数量占总数量的分率：$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$
第二次发完12本后已发数量占总数量的分率：$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
12本对应的分率：$\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$
总数量：$12÷\frac{1}{5}=60$（本）
【答案】
60本
【知识点】
分数应用题、单位“1”应用、量率对应
【点评】
解题关键是抓住总书本数不变的隐含条件，将不同阶段已发和未发的数量关系，转化为已发数量占总数量的分率，找到已知数量对应的分率，通过量率对应关系即可求解。
【难度系数】
0.6
这是分数应用类题目，解题核心是找到不变量作为单位“1”。本题中这批书的总数量始终不变，因此把总本数设为单位“1”。首先根据第一次发书后“已发是未发的$\frac{1}{4}$”，将已发的看作1份、未发的看作4份，总份数为$1+4=5$份，此时已发数量占总数量的$\frac{1}{5}$；再根据第二次发12本后“已发是未发的$\frac{2}{3}$”，同理可得此时已发数量占总数量的$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$；两次已发数量的差就是12本，对应的分率为$\frac{2}{5}-\frac{1}{5}$，最后用对应量12本除以对应分率就能求出单位“1”即总书数。
【解析】
解：把这批书的总数量看作单位“1”。
第一次发完后已发数量占总数量的分率：$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$
第二次发完12本后已发数量占总数量的分率：$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$
12本对应的分率：$\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$
总数量：$12÷\frac{1}{5}=60$（本）
【答案】
60本
【知识点】
分数应用题、单位“1”应用、量率对应
【点评】
解题关键是抓住总书本数不变的隐含条件，将不同阶段已发和未发的数量关系，转化为已发数量占总数量的分率，找到已知数量对应的分率，通过量率对应关系即可求解。
【难度系数】
0.6
