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6.新考法 如图,学校举行数学文化竞赛,图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率$y$(班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率)与该班参加竞赛人数$x$的情况,其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则成绩优秀人数最多的是
2
班.答案
6.2
解析
【分析】
要判断哪个班成绩优秀人数最多，首先明确优秀人数的计算公式：优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，即数值上等于$ x·y $。已知1班和4班的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k＞0 $）的性质，变形可得$ xy=k $，说明1班和4班的优秀人数相等，均为$ k $。接下来判断2班、3班的$ x·y $与$ k $的大小：反比例函数图象上方的点，在相同横坐标下纵坐标比图象上的点大，因此$ x·y＞k $；图象下方的点纵坐标比图象上的点小，因此$ x·y＜k $，由此即可比较出四个班优秀人数的大小。
【解析】
设1班、4班所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $），变形可得$ xy=k $。
优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，即优秀人数的数值为$ x·y $：
1. 1班、4班的点在反比例函数图象上，因此两班的$ xy=k $，即1班和4班优秀人数均为$ k $；
2. 2班的点在反比例函数图象上方，取与2班横坐标相同的图象上的点，可得2班的$ y $值大于图象上对应点的$ y $值，因此2班的$ xy＞k $，即2班优秀人数大于$ k $；
3. 3班的点在反比例函数图象下方，同理可得3班的$ xy＜k $，即3班优秀人数小于$ k $。
综上，成绩优秀人数最多的是2班。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际竞赛情境考查反比例函数的应用，解题核心是将优秀人数转化为反比例函数中$ xy $的定值$ k $，再通过点与函数图象的位置关系比较数值大小，体现了数形结合思想的应用，出题形式灵活，贴近生活。
【难度系数】
0.7
要判断哪个班成绩优秀人数最多，首先明确优秀人数的计算公式：优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，即数值上等于$ x·y $。已知1班和4班的点在同一反比例函数图象上，根据反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k＞0 $）的性质，变形可得$ xy=k $，说明1班和4班的优秀人数相等，均为$ k $。接下来判断2班、3班的$ x·y $与$ k $的大小：反比例函数图象上方的点，在相同横坐标下纵坐标比图象上的点大，因此$ x·y＞k $；图象下方的点纵坐标比图象上的点小，因此$ x·y＜k $，由此即可比较出四个班优秀人数的大小。
【解析】
设1班、4班所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k＞0 $），变形可得$ xy=k $。
优秀人数=参加竞赛人数×优秀率，即优秀人数的数值为$ x·y $：
1. 1班、4班的点在反比例函数图象上，因此两班的$ xy=k $，即1班和4班优秀人数均为$ k $；
2. 2班的点在反比例函数图象上方，取与2班横坐标相同的图象上的点，可得2班的$ y $值大于图象上对应点的$ y $值，因此2班的$ xy＞k $，即2班优秀人数大于$ k $；
3. 3班的点在反比例函数图象下方，同理可得3班的$ xy＜k $，即3班优秀人数小于$ k $。
综上，成绩优秀人数最多的是2班。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合实际竞赛情境考查反比例函数的应用，解题核心是将优秀人数转化为反比例函数中$ xy $的定值$ k $，再通过点与函数图象的位置关系比较数值大小，体现了数形结合思想的应用，出题形式灵活，贴近生活。
【难度系数】
0.7
7. 立德树人·健康意识 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量$y$(单位:mg)与燃烧时间$x$(单位:min)成正比例；燃烧后，$y$与$x$成反比例(如图).现测得药物10 min燃完，此时教室内每立方米空气中的含药量为12 mg.根据以上信息，解答下列问题：
(1)求药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式；
(2)当每立方米空气中含药量不低于5 mg时，对病毒有作用，此次消毒过程中对病毒有作用的时间有
(1)求药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式；
(2)当每立方米空气中含药量不低于5 mg时，对病毒有作用，此次消毒过程中对病毒有作用的时间有
$\frac{119}{6}$
min.答案
7.解：(1)$y=\frac{120}{x}(x≥10)$.(2)$\frac{119}{6}$
解析
【分析】
本题是正比例函数与反比例函数结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 药物燃烧后y与x成反比例，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数过点$(10,12)$，将点代入解析式即可求出k值，同时注意自变量x的取值范围是$x≥10$。
(2) 要计算含药量不低于5mg的有效时长，需先求出药物燃烧阶段的正比例函数解析式，同样代入点$(10,12)$求出正比例函数的系数；再分别令两个函数的$y=5$，解出对应的两个x值，两个x值的差就是有效消毒的时间。
【解析】
(1) 设药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=10$，$y=12$代入得：$12=\frac{k}{10}$，解得$k=120$，
故药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{120}{x}(x≥10)$。
(2) 先求药物燃烧阶段的正比例函数解析式，设$y=ax(a≠0)$，
将$x=10$，$y=12$代入得：$12=10a$，解得$a=\frac{6}{5}$，即$y=\frac{6}{5}x(0≤x≤10)$。
当$y=5$时，代入正比例函数：$5=\frac{6}{5}x$，解得$x=\frac{25}{6}$；
当$y=5$时，代入反比例函数：$5=\frac{120}{x}$，解得$x=24$。
则有效消毒时间为$24-\frac{25}{6}=\frac{144}{6}-\frac{25}{6}=\frac{119}{6}\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1)$y=\frac{120}{x}(x≥10)$；(2)$\frac{119}{6}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，解题的关键是分阶段正确求出对应的函数解析式，再根据函数值求解自变量的取值，计算时要注意自变量的取值范围，同时掌握分数的运算避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是正比例函数与反比例函数结合的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 药物燃烧后y与x成反比例，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，已知函数过点$(10,12)$，将点代入解析式即可求出k值，同时注意自变量x的取值范围是$x≥10$。
(2) 要计算含药量不低于5mg的有效时长，需先求出药物燃烧阶段的正比例函数解析式，同样代入点$(10,12)$求出正比例函数的系数；再分别令两个函数的$y=5$，解出对应的两个x值，两个x值的差就是有效消毒的时间。
【解析】
(1) 设药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=10$，$y=12$代入得：$12=\frac{k}{10}$，解得$k=120$，
故药物燃烧后$y$与$x$的函数关系式为$y=\frac{120}{x}(x≥10)$。
(2) 先求药物燃烧阶段的正比例函数解析式，设$y=ax(a≠0)$，
将$x=10$，$y=12$代入得：$12=10a$，解得$a=\frac{6}{5}$，即$y=\frac{6}{5}x(0≤x≤10)$。
当$y=5$时，代入正比例函数：$5=\frac{6}{5}x$，解得$x=\frac{25}{6}$；
当$y=5$时，代入反比例函数：$5=\frac{120}{x}$，解得$x=24$。
则有效消毒时间为$24-\frac{25}{6}=\frac{144}{6}-\frac{25}{6}=\frac{119}{6}\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1)$y=\frac{120}{x}(x≥10)$；(2)$\frac{119}{6}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的消毒场景考查函数的实际应用，解题的关键是分阶段正确求出对应的函数解析式，再根据函数值求解自变量的取值，计算时要注意自变量的取值范围，同时掌握分数的运算避免计算失误。
【难度系数】
0.7
8. 能力训练·信息加工 实验研究发现:初中生在体育课上的运动能力指标(以下简称“指标”)随上课时间的变化而变化.上课开始后,随着学生运动,指标开始增加;中间一段时间,指标保持平稳状态;随着体力的消耗,指标开始下降.指标$y$随时间$x$(单位:min)变化的函数图象如图所示,当$0{≤}x{＜}10$时,图象是顶点为$A$的抛物线的一部分;当$10{≤}x{＜}20$时,图象是线段$AB$;当$20{≤}x{≤}40$时,图象是双曲线的一部分.
(1)求当$0{≤}x{＜}10$和$20{≤}x{≤}40$时,图象所对应的函数解析式.
(2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要$16\ \mathrm{min}$,这项运动需要学生的运动能力指标不低于$55$才能达到较好的效果,老师的教学设计能实现吗?请说明理由.
(1)求当$0{≤}x{＜}10$和$20{≤}x{≤}40$时,图象所对应的函数解析式.
(2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要$16\ \mathrm{min}$,这项运动需要学生的运动能力指标不低于$55$才能达到较好的效果,老师的教学设计能实现吗?请说明理由.
答案
解：
(1) 当$0 ≤ x ＜ 10$时，设函数解析式为$y=a(x-10)^2+60$，
将点$(0,40)$代入得：
$40 = a(0-10)^2 + 60$，
解得$a=-\dfrac{1}{5}$，
整理得$y=-\dfrac{1}{5}(x-10)^2+60 = -\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$。
当$20 ≤ x ≤ 40$时，设函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，
将点$B(20,60)$代入得：
$60=\dfrac{k}{20}$，解得$k=1200$，
即$y=\dfrac{1200}{x}$。
综上，$0 ≤ x ＜ 10$时，函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40}$；$20 ≤ x ≤ 40$时，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1200}{x}}$。
(2) 老师的教学设计能实现，理由如下：
在$0 ≤ x ＜ 10$区间，令$y=55$，得：
$-\dfrac{1}{5}(x-10)^2 +60 =55$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$（不符合$0 ≤ x ＜10$，舍去）。
当$10 ≤ x ＜20$时，$y=60＞55$，满足指标要求。
在$20 ≤ x ≤ 40$区间，令$y=55$，得：
$\dfrac{1200}{x}=55$，解得$x=\dfrac{240}{11}$。
因此指标不低于55的总时长为$\dfrac{240}{11} -5 = \dfrac{185}{11} \approx 16.82\ \mathrm{min}$，
因为$16.82＞16$，所以老师的教学设计能实现。
(1) 当$0 ≤ x ＜ 10$时，设函数解析式为$y=a(x-10)^2+60$，
将点$(0,40)$代入得：
$40 = a(0-10)^2 + 60$，
解得$a=-\dfrac{1}{5}$，
整理得$y=-\dfrac{1}{5}(x-10)^2+60 = -\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$。
当$20 ≤ x ≤ 40$时，设函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，
将点$B(20,60)$代入得：
$60=\dfrac{k}{20}$，解得$k=1200$，
即$y=\dfrac{1200}{x}$。
综上，$0 ≤ x ＜ 10$时，函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40}$；$20 ≤ x ≤ 40$时，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1200}{x}}$。
(2) 老师的教学设计能实现，理由如下：
在$0 ≤ x ＜ 10$区间，令$y=55$，得：
$-\dfrac{1}{5}(x-10)^2 +60 =55$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$（不符合$0 ≤ x ＜10$，舍去）。
当$10 ≤ x ＜20$时，$y=60＞55$，满足指标要求。
在$20 ≤ x ≤ 40$区间，令$y=55$，得：
$\dfrac{1200}{x}=55$，解得$x=\dfrac{240}{11}$。
因此指标不低于55的总时长为$\dfrac{240}{11} -5 = \dfrac{185}{11} \approx 16.82\ \mathrm{min}$，
因为$16.82＞16$，所以老师的教学设计能实现。
解析
【分析】
(1) 求解分段函数解析式：①$0≤x＜10$时，图象为顶点是$A(10,60)$的抛物线，可设二次函数顶点式$y=a(x-10)^2+60$，代入已知点$(0,40)$即可求出参数$a$，整理得到该段解析式；②$20≤x≤40$时，图象为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入点$B(20,60)$求出$k$即可得到该段解析式。
(2) 判断教学设计能否实现，本质是求指标$y≥55$对应的总时长是否大于等于$16\ \mathrm{min}$：分别在$0≤x＜10$、$20≤x≤40$两个区间令$y=55$，求出对应的自变量$x$的值，中间$10≤x＜20$时$y$恒为$60$，满足指标要求，因此总时长为反比例函数段$y=55$对应的$x$值减去二次函数段$y=55$对应的$x$值，将结果和$16$比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 当$0 ≤ x ＜ 10$时，设函数解析式为$y=a(x-10)^2+60$，
将点$(0,40)$代入得：$40 = a(0-10)^2 + 60$，
解得$a=-\dfrac{1}{5}$，
整理得$y=-\dfrac{1}{5}(x-10)^2+60 = -\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$。
当$20 ≤ x ≤ 40$时，设函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，
将点$B(20,60)$代入得：$60=\dfrac{k}{20}$，解得$k=1200$，
即$y=\dfrac{1200}{x}$。
(2) 老师的教学设计能实现，理由如下：
在$0 ≤ x ＜ 10$区间，令$y=55$，得：$-\dfrac{1}{5}(x-10)^2 +60 =55$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$（不符合$0 ≤ x ＜10$，舍去）。
当$10 ≤ x ＜20$时，$y=60＞55$，满足指标要求。
在$20 ≤ x ≤ 40$区间，令$y=55$，得：$\dfrac{1200}{x}=55$，解得$x=\dfrac{240}{11}$。
因此指标不低于55的总时长为$\dfrac{240}{11} -5 = \dfrac{185}{11} \approx 16.82\ \mathrm{min}$，
因为$16.82＞16$，所以老师的教学设计能实现。
【答案】
(1) $0 ≤ x ＜ 10$时，$y=-\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$；$20 ≤ x ≤ 40$时，$y=\dfrac{1200}{x}$
(2) 老师的教学设计能实现
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查分段函数的应用，既覆盖了二次函数、反比例函数解析式的求解方法，也要求学生能结合函数值确定自变量的取值范围解决实际问题，贴合生活，综合性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解分段函数解析式：①$0≤x＜10$时，图象为顶点是$A(10,60)$的抛物线，可设二次函数顶点式$y=a(x-10)^2+60$，代入已知点$(0,40)$即可求出参数$a$，整理得到该段解析式；②$20≤x≤40$时，图象为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入点$B(20,60)$求出$k$即可得到该段解析式。
(2) 判断教学设计能否实现，本质是求指标$y≥55$对应的总时长是否大于等于$16\ \mathrm{min}$：分别在$0≤x＜10$、$20≤x≤40$两个区间令$y=55$，求出对应的自变量$x$的值，中间$10≤x＜20$时$y$恒为$60$，满足指标要求，因此总时长为反比例函数段$y=55$对应的$x$值减去二次函数段$y=55$对应的$x$值，将结果和$16$比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 当$0 ≤ x ＜ 10$时，设函数解析式为$y=a(x-10)^2+60$，
将点$(0,40)$代入得：$40 = a(0-10)^2 + 60$，
解得$a=-\dfrac{1}{5}$，
整理得$y=-\dfrac{1}{5}(x-10)^2+60 = -\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$。
当$20 ≤ x ≤ 40$时，设函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，
将点$B(20,60)$代入得：$60=\dfrac{k}{20}$，解得$k=1200$，
即$y=\dfrac{1200}{x}$。
(2) 老师的教学设计能实现，理由如下：
在$0 ≤ x ＜ 10$区间，令$y=55$，得：$-\dfrac{1}{5}(x-10)^2 +60 =55$，
解得$x_1=5$，$x_2=15$（不符合$0 ≤ x ＜10$，舍去）。
当$10 ≤ x ＜20$时，$y=60＞55$，满足指标要求。
在$20 ≤ x ≤ 40$区间，令$y=55$，得：$\dfrac{1200}{x}=55$，解得$x=\dfrac{240}{11}$。
因此指标不低于55的总时长为$\dfrac{240}{11} -5 = \dfrac{185}{11} \approx 16.82\ \mathrm{min}$，
因为$16.82＞16$，所以老师的教学设计能实现。
【答案】
(1) $0 ≤ x ＜ 10$时，$y=-\dfrac{1}{5}x^2 +4x +40$；$20 ≤ x ≤ 40$时，$y=\dfrac{1200}{x}$
(2) 老师的教学设计能实现
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查分段函数的应用，既覆盖了二次函数、反比例函数解析式的求解方法，也要求学生能结合函数值确定自变量的取值范围解决实际问题，贴合生活，综合性较强。
【难度系数】
0.7
