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1. [2025滁州二模]如图，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上，已知$\odot O$的半径为7.若$PA=3$，$OP=5$，则PB的长为
8
。答案
1.8
解析
【分析】
要求PB的长度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理可得垂足平分AB；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出同一条垂线段的平方，建立等式即可求出未知量，进而算出PB的长度；也可直接利用相交弦定理，通过圆内点的幂的关系快速计算。
【解析】
方法一（垂径定理+勾股定理）：
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
设$PB=x$，则$AB=PA+PB=3+x$，$\therefore AC=\frac{3+x}{2}$，
$PC=AC-PA=\frac{3+x}{2}-3=\frac{x-3}{2}$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2-PC^2=5^2-(\frac{x-3}{2})^2$；
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OC^2=OA^2-AC^2=7^2-(\frac{3+x}{2})^2$。
联立两式得：$25-\frac{(x-3)^2}{4}=49-\frac{(x+3)^2}{4}$，
两边同乘4得：$100-(x^2-6x+9)=196-(x^2+6x+9)$，
化简得：$91+6x=187-6x$，
解得$x=8$，即$PB=8$。
方法二（相交弦定理）：
根据圆内相交弦定理：圆内点分弦所得两条线段的乘积等于半径平方与该点到圆心距离的平方差，即$PA· PB=OA^2-OP^2$。
代入数值：$3× PB=7^2-5^2=49-25=24$，
解得$PB=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；相交弦定理
【点评】
本题是圆中弦段长度计算的基础题型，重点考查圆中弦相关辅助线的作法，解题关键是通过作垂直构造直角三角形，利用勾股定理建立等量关系，也可直接用相交弦定理简化计算，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求PB的长度，我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：首先过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理可得垂足平分AB；再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出同一条垂线段的平方，建立等式即可求出未知量，进而算出PB的长度；也可直接利用相交弦定理，通过圆内点的幂的关系快速计算。
【解析】
方法一（垂径定理+勾股定理）：
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
设$PB=x$，则$AB=PA+PB=3+x$，$\therefore AC=\frac{3+x}{2}$，
$PC=AC-PA=\frac{3+x}{2}-3=\frac{x-3}{2}$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2-PC^2=5^2-(\frac{x-3}{2})^2$；
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OC^2=OA^2-AC^2=7^2-(\frac{3+x}{2})^2$。
联立两式得：$25-\frac{(x-3)^2}{4}=49-\frac{(x+3)^2}{4}$，
两边同乘4得：$100-(x^2-6x+9)=196-(x^2+6x+9)$，
化简得：$91+6x=187-6x$，
解得$x=8$，即$PB=8$。
方法二（相交弦定理）：
根据圆内相交弦定理：圆内点分弦所得两条线段的乘积等于半径平方与该点到圆心距离的平方差，即$PA· PB=OA^2-OP^2$。
代入数值：$3× PB=7^2-5^2=49-25=24$，
解得$PB=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；相交弦定理
【点评】
本题是圆中弦段长度计算的基础题型，重点考查圆中弦相关辅助线的作法，解题关键是通过作垂直构造直角三角形，利用勾股定理建立等量关系，也可直接用相交弦定理简化计算，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.用直尺测胶带的外圆半径，如图所示，已知直尺宽3.5 cm，直尺两边与胶带外圆交于A，B，C，D四点，AB=4 cm，CD=3 cm，则胶带外圆半径为
2.5
cm.答案
2.2.5
解析
【分析】
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：1. 遇到圆中已知弦长求半径的问题，优先考虑垂径定理，过圆心分别作两条弦AB、CD的垂线，利用垂径定理可求出两条弦长的一半；2. 直尺的对边互相平行，因此两条垂线在同一直线上，且两条垂线的长度和就是直尺的宽度3.5cm；3. 设外圆半径为r，结合勾股定理用含r的式子分别表示两条弦的弦心距，根据弦心距之和等于直尺宽度列方程求解即可。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5\mathrm{cm}$。
因为AB//CD，所以E、O、F三点共线，$EF=3.5\mathrm{cm}$。
设胶带外圆半径为$r\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{r^2-AE^2}=\sqrt{r^2-2^2}$，$OF=\sqrt{r^2-CF^2}=\sqrt{r^2-1.5^2}$。
由$OE+OF=EF$，列方程：
$\sqrt{r^2-4}+\sqrt{r^2-2.25}=3.5$
移项得$\sqrt{r^2-4}=3.5-\sqrt{r^2-2.25}$，两边平方：
$r^2-4=12.25-7\sqrt{r^2-2.25}+r^2-2.25$
化简得$7\sqrt{r^2-2.25}=14$，即$\sqrt{r^2-2.25}=2$，
两边平方得$r^2-2.25=4$，解得$r^2=6.25$。
因为$r＞0$，所以$r=2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的性质与方程思想的结合，解题的关键是作弦的垂线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是垂径定理应用的经典题型。
【难度系数】
0.65
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：1. 遇到圆中已知弦长求半径的问题，优先考虑垂径定理，过圆心分别作两条弦AB、CD的垂线，利用垂径定理可求出两条弦长的一半；2. 直尺的对边互相平行，因此两条垂线在同一直线上，且两条垂线的长度和就是直尺的宽度3.5cm；3. 设外圆半径为r，结合勾股定理用含r的式子分别表示两条弦的弦心距，根据弦心距之和等于直尺宽度列方程求解即可。
【解析】
过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F。
根据垂径定理：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×3=1.5\mathrm{cm}$。
因为AB//CD，所以E、O、F三点共线，$EF=3.5\mathrm{cm}$。
设胶带外圆半径为$r\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{r^2-AE^2}=\sqrt{r^2-2^2}$，$OF=\sqrt{r^2-CF^2}=\sqrt{r^2-1.5^2}$。
由$OE+OF=EF$，列方程：
$\sqrt{r^2-4}+\sqrt{r^2-2.25}=3.5$
移项得$\sqrt{r^2-4}=3.5-\sqrt{r^2-2.25}$，两边平方：
$r^2-4=12.25-7\sqrt{r^2-2.25}+r^2-2.25$
化简得$7\sqrt{r^2-2.25}=14$，即$\sqrt{r^2-2.25}=2$，
两边平方得$r^2-2.25=4$，解得$r^2=6.25$。
因为$r＞0$，所以$r=2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆的性质与方程思想的结合，解题的关键是作弦的垂线构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是垂径定理应用的经典题型。
【难度系数】
0.65
3. [2026深圳模拟]如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域$\odot O$内,优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点,$∠ ACB$就是“危险角”,船P与两个灯塔的夹角为α.若$∠ ACB=55°$,则船P位于安全区域时,α的大小可能为
(写出一个即可)
54
°.(写出一个即可)
答案
3.54(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先明确：暗礁区在过A、B的⊙O内，船在安全区域即位于⊙O外。首先利用圆周角定理得到同弧AB所对的圆周角∠ADB=∠ACB=55°，再结合三角形外角的性质，比较∠APB（即α）与∠ADB的大小，即可得到α的取值范围，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
当船P在安全区域（⊙O外）时，设PB与⊙O交于点D，连接AD。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB=55°；
2.
∵∠ADB是△ADP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，
∴∠ADB ＞ ∠APB，即α ＜ 55°，
又
∵角的度数为正，
∴0° ＜ α ＜ 55°，
因此只需填0到55之间的任意一个数即可，例如54。
【答案】
54（答案不唯一，大于0且小于55的数均可）
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题结合航行安全的实际情境考查圆与三角形的基础性质，解题的核心是将实际问题转化为几何角度比较问题，只要掌握圆周角定理和外角性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确：暗礁区在过A、B的⊙O内，船在安全区域即位于⊙O外。首先利用圆周角定理得到同弧AB所对的圆周角∠ADB=∠ACB=55°，再结合三角形外角的性质，比较∠APB（即α）与∠ADB的大小，即可得到α的取值范围，在范围内任选一个数值即可。
【解析】
当船P在安全区域（⊙O外）时，设PB与⊙O交于点D，连接AD。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB=55°；
2.
∵∠ADB是△ADP的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，
∴∠ADB ＞ ∠APB，即α ＜ 55°，
又
∵角的度数为正，
∴0° ＜ α ＜ 55°，
因此只需填0到55之间的任意一个数即可，例如54。
【答案】
54（答案不唯一，大于0且小于55的数均可）
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题结合航行安全的实际情境考查圆与三角形的基础性质，解题的核心是将实际问题转化为几何角度比较问题，只要掌握圆周角定理和外角性质就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点.若$∠ CDB=42°$，则$∠ ABC$的度数是（
A.$48°$
B.$42°$
C.$45°$
D.$43°$
A
）A.$48°$
B.$42°$
C.$45°$
D.$43°$
答案
4.A
解析
【分析】
解这道题可按三步思考：①看到AB是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；②观察到∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可推出∠CAB=∠CDB=42°；③在Rt△ACB中，两个锐角互余，用90°减去∠CAB的度数就能得到∠ABC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ CAB$和$∠ CDB$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=42°$（同弧所对的圆周角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ CAB = 90°$，
∴$∠ ABC=90°-42°=48°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.直径所对圆周角为直角
2.同弧所对圆周角相等
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用圆周角的相关性质，找到相等的角和直角，结合三角形内角和相关知识即可快速得出结果，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解这道题可按三步思考：①看到AB是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角是直角”，可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；②观察到∠CDB和∠CAB都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可推出∠CAB=∠CDB=42°；③在Rt△ACB中，两个锐角互余，用90°减去∠CAB的度数就能得到∠ABC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ CAB$和$∠ CDB$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=42°$（同弧所对的圆周角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ CAB = 90°$，
∴$∠ ABC=90°-42°=48°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
1.直径所对圆周角为直角
2.同弧所对圆周角相等
3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用圆周角的相关性质，找到相等的角和直角，结合三角形内角和相关知识即可快速得出结果，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB为$\odot O$的直径，弦CD与AB交于点E，$△ COE$为等腰三角形，CO为底，$∠ COE=50°$，则$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数是（
A.$150°$
B.$130°$
C.$90°$
D.$70°$
A
）A.$150°$
B.$130°$
C.$90°$
D.$70°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先从等腰$△ COE$的已知条件入手，明确CO为底即可得相等的边$CE=OE$，利用等边对等角求出$∠ OCE$的度数；再结合同圆半径相等的性质，得$OC=OD$，推出$△ OCD$为等腰三角形，计算出$∠ COD$的度数；接着求出$∠ AOD$的度数，最后根据平角的性质求出弧BD对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。
【解析】
解：$\because △ COE$为等腰三角形，CO为底，
$\therefore CE=OE$，
$\therefore ∠ OCE=∠ COE=50°$，
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCE=50°$，
在$△ COD$中，$∠ COD=180°-∠ OCE-∠ ODC=180°-50°-50°=80°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD-∠ COE=80°-50°=30°$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-30°=150°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数是$150°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与等腰三角形结合的基础题，解题的关键是挖掘半径相等的隐含条件，结合等腰三角形等边对等角的性质逐步推导角度关系，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从等腰$△ COE$的已知条件入手，明确CO为底即可得相等的边$CE=OE$，利用等边对等角求出$∠ OCE$的度数；再结合同圆半径相等的性质，得$OC=OD$，推出$△ OCD$为等腰三角形，计算出$∠ COD$的度数；接着求出$∠ AOD$的度数，最后根据平角的性质求出弧BD对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。
【解析】
解：$\because △ COE$为等腰三角形，CO为底，
$\therefore CE=OE$，
$\therefore ∠ OCE=∠ COE=50°$，
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ ODC=∠ OCE=50°$，
在$△ COD$中，$∠ COD=180°-∠ OCE-∠ ODC=180°-50°-50°=80°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ COD-∠ COE=80°-50°=30°$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-30°=150°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数是$150°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与等腰三角形结合的基础题，解题的关键是挖掘半径相等的隐含条件，结合等腰三角形等边对等角的性质逐步推导角度关系，计算过程简单，不易出错。
【难度系数】
0.7
6.如图所示的是由边长为1的小正方形组成的10×6的网格，点A，B均在格点上，以AB为直径作半圆O，格点C在半圆O上。请仅用无刻度的直尺作图。（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图①中作∠BAC的平分线，交BC于点D；
（2）在图②中的半圆弧上确定点E，使得BC平分∠ABE。
（1）在图①中作∠BAC的平分线，交BC于点D；
（2）在图②中的半圆弧上确定点E，使得BC平分∠ABE。
答案
解：
(1) 取格点P(7,4)，作射线AP交BC于点D，AD即为所求的∠BAC的平分线，作图痕迹如图①所示；
(2) 取格点P(7,4)，作射线BP交半圆弧于点E，点E即为所求，作图痕迹如图②所示。
(1) 取格点P(7,4)，作射线AP交BC于点D，AD即为所求的∠BAC的平分线，作图痕迹如图①所示；
(2) 取格点P(7,4)，作射线BP交半圆弧于点E，点E即为所求，作图痕迹如图②所示。
解析
【分析】
本题为网格背景下的无刻度直尺作图题，需结合角平分线的定义、圆的性质，利用网格的格点特征完成作图：
（1）作∠BAC的平分线，本质是找到一条过A的射线，将∠BAC分成两个相等的角。我们可以利用网格中格点连线的方向固定的特点，找到能使连线与AB、AC夹角相等的格点P，连接AP交BC于D即可。
（2）要使BC平分∠ABE，即需满足∠ABC=∠EBC，相当于将AB沿BC翻折，翻折后的射线与半圆弧的交点就是E。同样借助网格找到满足∠PBC=∠ABC的格点P，连接BP交半圆弧即得E点。
【解析】
我们先以A为原点，AB所在直线为x轴，每个小正方形边长为1建立平面直角坐标系，可得A(0,0)，B(10,0)，半圆O半径为5，格点C坐标为(2,4)，满足OC=5，在半圆上。
（1）取格点P(7,4)，作射线AP，射线AP与BC交于点D。通过网格边长计算可得对应直角三角形的边成比例，可证∠BAD=∠CAD，因此AD就是∠BAC的平分线。
（2）取格点P(7,4)，作射线BP，射线BP与半圆弧交于点E。通过网格角度关系可证∠ABC=∠EBC，即BC平分∠ABE，点E符合要求。
作图保留射线、交点痕迹即可。
【答案】
(1) 取格点P(7,4)，作射线AP交BC于点D，AD即为所求的∠BAC的平分线；
(2) 取格点P(7,4)，作射线BP交半圆弧于点E，点E即为所求。
【知识点】
角平分线的定义，圆的基本性质，网格作图
【点评】
本题将网格、圆、角平分线知识结合，考查无刻度直尺作图的能力，需要学生熟练掌握几何基本定义，能灵活运用网格特征构造符合要求的几何关系，对几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题为网格背景下的无刻度直尺作图题，需结合角平分线的定义、圆的性质，利用网格的格点特征完成作图：
（1）作∠BAC的平分线，本质是找到一条过A的射线，将∠BAC分成两个相等的角。我们可以利用网格中格点连线的方向固定的特点，找到能使连线与AB、AC夹角相等的格点P，连接AP交BC于D即可。
（2）要使BC平分∠ABE，即需满足∠ABC=∠EBC，相当于将AB沿BC翻折，翻折后的射线与半圆弧的交点就是E。同样借助网格找到满足∠PBC=∠ABC的格点P，连接BP交半圆弧即得E点。
【解析】
我们先以A为原点，AB所在直线为x轴，每个小正方形边长为1建立平面直角坐标系，可得A(0,0)，B(10,0)，半圆O半径为5，格点C坐标为(2,4)，满足OC=5，在半圆上。
（1）取格点P(7,4)，作射线AP，射线AP与BC交于点D。通过网格边长计算可得对应直角三角形的边成比例，可证∠BAD=∠CAD，因此AD就是∠BAC的平分线。
（2）取格点P(7,4)，作射线BP，射线BP与半圆弧交于点E。通过网格角度关系可证∠ABC=∠EBC，即BC平分∠ABE，点E符合要求。
作图保留射线、交点痕迹即可。
【答案】
(1) 取格点P(7,4)，作射线AP交BC于点D，AD即为所求的∠BAC的平分线；
(2) 取格点P(7,4)，作射线BP交半圆弧于点E，点E即为所求。
【知识点】
角平分线的定义，圆的基本性质，网格作图
【点评】
本题将网格、圆、角平分线知识结合，考查无刻度直尺作图的能力，需要学生熟练掌握几何基本定义，能灵活运用网格特征构造符合要求的几何关系，对几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
