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7.如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠BAC的大小为θ，D为边BC上的动点(不与点B，C重合).将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'处，连结BD'.给出下列结论：
①△ACD≌△ABD'；
②△ACB∽△ADD'；
③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值.
其中正确的是
①△ACD≌△ABD'；
②△ACB∽△ADD'；
③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值.
其中正确的是
①②③
.(填结论对应的序号)答案
7.①②③
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的关系，再分别推导三个结论：1. 利用SAS判定△ACD和△ABD'全等；2. 根据两个等腰三角形顶角相等，结合两边成比例且夹角相等判定相似；3. 借助相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合等腰三角形的性质分析AD的最小值，进而判断面积最值情况。
【解析】
1. 验证结论①：
由旋转的性质可得：AD=AD'，∠DAD'=∠BAC=θ，
∴∠BAC - ∠BAD = ∠DAD' - ∠BAD，即∠CAD=∠BAD'，
又
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=AB，
在△ACD和△ABD'中：
$\{\begin{array}{l}AC=AB \\∠CAD=∠BAD' \\AD=AD'\end{array} $
∴△ACD≌△ABD'(SAS)，故①正确。
2. 验证结论②：
∵△ABC中，AC=AB，∠BAC=θ；△ADD'中，AD=AD'，∠DAD'=θ，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AD'}$，且∠BAC=∠DAD'，
∴△ACB∽△ADD'(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，故②正确。
3. 验证结论③：
由△ACB∽△ADD'，可得$\frac{S_{△ADD'}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AC})^2$，
∵$S_{△ACB}$和AC均为定值，
∴$S_{△ADD'}$随AD长度的减小而减小，
等腰△ABC中，当AD⊥BC时AD的长度最短，此时D是BC的中点，即BD=CD，
∴当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
旋转的性质，全等三角形判定，相似三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，融合了旋转、全等、相似和等腰三角形的性质，解题的核心是抓住旋转前后的等量关系，结合三角形的判定定理和最值分析方法逐一验证结论，是几何部分的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角的关系，再分别推导三个结论：1. 利用SAS判定△ACD和△ABD'全等；2. 根据两个等腰三角形顶角相等，结合两边成比例且夹角相等判定相似；3. 借助相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合等腰三角形的性质分析AD的最小值，进而判断面积最值情况。
【解析】
1. 验证结论①：
由旋转的性质可得：AD=AD'，∠DAD'=∠BAC=θ，
∴∠BAC - ∠BAD = ∠DAD' - ∠BAD，即∠CAD=∠BAD'，
又
∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=AB，
在△ACD和△ABD'中：
$\{\begin{array}{l}AC=AB \\∠CAD=∠BAD' \\AD=AD'\end{array} $
∴△ACD≌△ABD'(SAS)，故①正确。
2. 验证结论②：
∵△ABC中，AC=AB，∠BAC=θ；△ADD'中，AD=AD'，∠DAD'=θ，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AD'}$，且∠BAC=∠DAD'，
∴△ACB∽△ADD'(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，故②正确。
3. 验证结论③：
由△ACB∽△ADD'，可得$\frac{S_{△ADD'}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AC})^2$，
∵$S_{△ACB}$和AC均为定值，
∴$S_{△ADD'}$随AD长度的减小而减小，
等腰△ABC中，当AD⊥BC时AD的长度最短，此时D是BC的中点，即BD=CD，
∴当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③正确。
【答案】
①②③
【知识点】
旋转的性质，全等三角形判定，相似三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，融合了旋转、全等、相似和等腰三角形的性质，解题的核心是抓住旋转前后的等量关系，结合三角形的判定定理和最值分析方法逐一验证结论，是几何部分的典型考题。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,$AE=4$,$AB=6$,$AD:AC=2:3$,$△ ABC$的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F.
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形.
(2)求AG与GF的比.
(1)请你直接写出图中所有的相似三角形.
(2)求AG与GF的比.
答案
8.解:(1)$△ ADG∽ △ ACF$,$△ AGE∽ △ AFB$,$△ ADE∽ △ ACB$.
(2)$\because \frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
又$\because ∠ DAE=∠ CAB,\therefore △ ADE∽ △ ACB$,
$\therefore ∠ ADG=∠ C$,$\because AF$为角平分线,
$\therefore ∠ DAG=∠ FAE,\therefore △ ADG∽ △ ACF$,
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AG}{GF}=2$.
(2)$\because \frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
又$\because ∠ DAE=∠ CAB,\therefore △ ADE∽ △ ACB$,
$\therefore ∠ ADG=∠ C$,$\because AF$为角平分线,
$\therefore ∠ DAG=∠ FAE,\therefore △ ADG∽ △ ACF$,
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AG}{GF}=2$.
解析
【分析】
(1) 找相似三角形时先整理已知边的比例：先计算得$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，结合已知$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，且$∠ DAE$与$∠ CAB$为公共夹角，可先判定$△ ADE∽△ ACB$；再结合AF是角平分线可得对应角相等，进而推导出两组小三角形相似。
(2) 求$AG:GF$时，先通过“两边成比例且夹角相等”证明$△ ADE∽△ ACB$，得到对应角相等，再结合角平分线的等角条件证明$△ ADG∽△ ACF$，得到AG与AF的比例关系，即可推导出AG与GF的比值。
【解析】
(1) 结合边的比例和角的关系，可直接得到所有相似三角形：$△ ADG∽△ ACF$，$△ AGE∽△ AFB$，$△ ADE∽△ ACB$。
(2) $\because \frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAB$（公共角），$\therefore △ ADE∽△ ACB$，
$\therefore ∠ ADG=∠ C$（相似三角形对应角相等），
$\because AF$为$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ DAG=∠ CAF$，
$\therefore △ ADG∽△ ACF$，
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，即$AG=\frac{2}{3}AF$，
$\therefore GF=AF-AG=\frac{1}{3}AF$，
$\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{\frac{2}{3}AF}{\frac{1}{3}AF}=2$。
【答案】
(1) $△ ADG∽△ ACF$，$△ AGE∽△ AFB$，$△ ADE∽△ ACB$；
(2) $AG:GF=2$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的常规考题，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质，先通过边的比例关系证明大三角形相似，再结合角平分线的条件推导小三角形相似，进而得到线段比例，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 找相似三角形时先整理已知边的比例：先计算得$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，结合已知$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，且$∠ DAE$与$∠ CAB$为公共夹角，可先判定$△ ADE∽△ ACB$；再结合AF是角平分线可得对应角相等，进而推导出两组小三角形相似。
(2) 求$AG:GF$时，先通过“两边成比例且夹角相等”证明$△ ADE∽△ ACB$，得到对应角相等，再结合角平分线的等角条件证明$△ ADG∽△ ACF$，得到AG与AF的比例关系，即可推导出AG与GF的比值。
【解析】
(1) 结合边的比例和角的关系，可直接得到所有相似三角形：$△ ADG∽△ ACF$，$△ AGE∽△ AFB$，$△ ADE∽△ ACB$。
(2) $\because \frac{AE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠ DAE=∠ CAB$（公共角），$\therefore △ ADE∽△ ACB$，
$\therefore ∠ ADG=∠ C$（相似三角形对应角相等），
$\because AF$为$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ DAG=∠ CAF$，
$\therefore △ ADG∽△ ACF$，
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，即$AG=\frac{2}{3}AF$，
$\therefore GF=AF-AG=\frac{1}{3}AF$，
$\therefore \frac{AG}{GF}=\frac{\frac{2}{3}AF}{\frac{1}{3}AF}=2$。
【答案】
(1) $△ ADG∽△ ACF$，$△ AGE∽△ AFB$，$△ ADE∽△ ACB$；
(2) $AG:GF=2$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的常规考题，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质，先通过边的比例关系证明大三角形相似，再结合角平分线的条件推导小三角形相似，进而得到线段比例，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
9.已知:如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在边$AB$,$BC$上,$BA· BD=BC· BE$.
(1)求证:$DE· AB=AC· BE$.
(2)如果$AC^2=AD· AB$,求证:$AE=AC$.
(1)求证:$DE· AB=AC· BE$.
(2)如果$AC^2=AD· AB$,求证:$AE=AC$.
答案
9.证明:(1)$\because BA· BD=BC· BE,\therefore \frac{BA}{BE}=\frac{BC}{BD}$.
又$\because ∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABC∽ △ EBD,\therefore \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$,
$\therefore DE· AB=AC· BE$.
(2)$\because AC^2=AD· AB,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
又$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ ADC∽ △ ACB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ B$.
$\because BA· BD=BC· BE,\therefore \frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BD}$.
又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ BAE∽ △ BCD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BCD$.
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BAE$,
$∠ ACE=∠ ACD+∠ BCD$,
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE,\therefore AE=AC$.
又$\because ∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABC∽ △ EBD,\therefore \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$,
$\therefore DE· AB=AC· BE$.
(2)$\because AC^2=AD· AB,\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$.
又$\because ∠ DAC=∠ CAB,\therefore △ ADC∽ △ ACB$,
$\therefore ∠ ACD=∠ B$.
$\because BA· BD=BC· BE,\therefore \frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BD}$.
又$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ BAE∽ △ BCD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BCD$.
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BAE$,
$∠ ACE=∠ ACD+∠ BCD$,
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE,\therefore AE=AC$.
解析
【分析】
(1)要证明等积式$DE· AB=AC· BE$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$，只需证明$△ ABC ∽ △ EBD$即可。已知$BA· BD=BC· BE$，可变形得到对应边成比例，结合公共角$∠ B=∠ B$，即可证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
(2)要证明$AE=AC$，可通过证明$∠ AEC=∠ ACE$，利用等角对等边推导。首先将$AC^2=AD· AB$转化为比例式，结合公共角$∠ DAC=∠ CAB$证明$△ ADC ∽ △ ACB$，得到$∠ ACD=∠ B$；再将已知$BA· BD=BC· BE$变形为比例式，结合公共角$∠ B$证明$△ BAE ∽ △ BCD$，得到$∠ BAE=∠ BCD$；最后利用三角形外角的性质，将$∠ AEC$和$∠ ACE$分别拆分为两个角的和，通过等量代换证明两角相等，即可推出$AE=AC$。
【解析】
(1)$\because BA· BD=BC· BE$，$\therefore \frac{BA}{BE}=\frac{BC}{BD}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ ABC∽ △ EBD$，$\therefore \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$，
$\therefore DE· AB=AC· BE$。
(2)$\because AC^2=AD· AB$，$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又$\because ∠ DAC=∠ CAB$，$\therefore △ ADC∽ △ ACB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because BA· BD=BC· BE$，$\therefore \frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BD}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$\therefore △ BAE∽ △ BCD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BCD$。
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BAE$，
$∠ ACE=∠ ACD+∠ BCD$，
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，$\therefore AE=AC$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题的核心是熟练掌握将等积式转化为比例式的技巧，结合公共角快速判定三角形相似，再利用相似的性质得到边角关系，通过角的等量代换完成最终证明，对学生的逻辑推理能力和边角转化意识有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1)要证明等积式$DE· AB=AC· BE$，可先将其转化为比例式$\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$，只需证明$△ ABC ∽ △ EBD$即可。已知$BA· BD=BC· BE$，可变形得到对应边成比例，结合公共角$∠ B=∠ B$，即可证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到待证等积式。
(2)要证明$AE=AC$，可通过证明$∠ AEC=∠ ACE$，利用等角对等边推导。首先将$AC^2=AD· AB$转化为比例式，结合公共角$∠ DAC=∠ CAB$证明$△ ADC ∽ △ ACB$，得到$∠ ACD=∠ B$；再将已知$BA· BD=BC· BE$变形为比例式，结合公共角$∠ B$证明$△ BAE ∽ △ BCD$，得到$∠ BAE=∠ BCD$；最后利用三角形外角的性质，将$∠ AEC$和$∠ ACE$分别拆分为两个角的和，通过等量代换证明两角相等，即可推出$AE=AC$。
【解析】
(1)$\because BA· BD=BC· BE$，$\therefore \frac{BA}{BE}=\frac{BC}{BD}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，
$\therefore △ ABC∽ △ EBD$，$\therefore \frac{AB}{BE}=\frac{AC}{DE}$，
$\therefore DE· AB=AC· BE$。
(2)$\because AC^2=AD· AB$，$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又$\because ∠ DAC=∠ CAB$，$\therefore △ ADC∽ △ ACB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because BA· BD=BC· BE$，$\therefore \frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BD}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$\therefore △ BAE∽ △ BCD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BCD$。
$\because ∠ AEC=∠ B+∠ BAE$，
$∠ ACE=∠ ACD+∠ BCD$，
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，$\therefore AE=AC$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题的核心是熟练掌握将等积式转化为比例式的技巧，结合公共角快速判定三角形相似，再利用相似的性质得到边角关系，通过角的等量代换完成最终证明，对学生的逻辑推理能力和边角转化意识有一定要求。
【难度系数】
0.65
