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例1 泰勒斯是古希腊科学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离。如图，B是观察点，船A在B的正前方，过点B作AB的垂线，在垂线上截取线段BD，点C是BD的中点。观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，则D，E间的距离即为船离岸的距离AB。请根据图形写出这样做的合理性。
[点拨] 测量不能到达或无法直接测量
的两点间的距离，一般采用构造全等三角形的方法，把较难测量的距离转化为已知线段或较容易测量的距离，根据全等三角形的对应边相等这一性质，得出待测线段的长。
[解] 因为点C是BD的中点，
所以 $ BC=DC $。
因为 $ AB⊥ BD, DE⊥ BD $，
所以 $ ∠ ABC=∠ EDC=90° $。
在 $ △ ABC $ 和 $ △ EDC $ 中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $ △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA}) $，
所以 $ AB=DE $。
[点拨] 测量不能到达或无法直接测量
的两点间的距离，一般采用构造全等三角形的方法，把较难测量的距离转化为已知线段或较容易测量的距离，根据全等三角形的对应边相等这一性质，得出待测线段的长。
[解] 因为点C是BD的中点，
所以 $ BC=DC $。
因为 $ AB⊥ BD, DE⊥ BD $，
所以 $ ∠ ABC=∠ EDC=90° $。
在 $ △ ABC $ 和 $ △ EDC $ 中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $ △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA}) $，
所以 $ AB=DE $。
答案
解：
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
解析
【分析】
要说明DE的长度等于船离岸的距离AB，只需证明△ABC和△EDC全等即可。首先从已知条件出发：①点C是BD中点，可得到一组对应边相等；②AB⊥BD、DE⊥BD，可得到一组对应直角相等；③A、C、E三点共线，可得∠ACB和∠ECD是对顶角，二者相等。以上三组条件正好符合角边角（ASA）的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AB=DE，因此测量DE的长度就能得到AB的长度。
【解析】
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
【答案】
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形，将难以直接测量的距离转化为便于测量的线段长度，解题的关键是准确找到全等三角形，梳理清楚对应相等的边和角。
【难度系数】
0.8
要说明DE的长度等于船离岸的距离AB，只需证明△ABC和△EDC全等即可。首先从已知条件出发：①点C是BD中点，可得到一组对应边相等；②AB⊥BD、DE⊥BD，可得到一组对应直角相等；③A、C、E三点共线，可得∠ACB和∠ECD是对顶角，二者相等。以上三组条件正好符合角边角（ASA）的全等判定条件，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AB=DE，因此测量DE的长度就能得到AB的长度。
【解析】
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
【答案】
因为点C是BD的中点，
所以 $BC=DC$。
因为 $AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，
所以 $∠ ABC=∠ EDC=90°$。
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}∠ ABC=∠ EDC, \\BC=DC, \\∠ ACB=∠ ECD,\end{cases}$
所以 $△ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA})$，
所以 $AB=DE$，即测得的D、E间的距离就是船离岸的距离AB。
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形，将难以直接测量的距离转化为便于测量的线段长度，解题的关键是准确找到全等三角形，梳理清楚对应相等的边和角。
【难度系数】
0.8
| 变式训练1 | 小明利用全等三角形知识测量保温杯的壁厚时，用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中$OA=OD$，$OB=OC$，测得$AB=7\ \mathrm{cm}$，$EF=8\ \mathrm{cm}$。小明很快就计算出保温杯的壁厚，请你帮助小明写出完整的解答过程。
答案
解:在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD, \\∠AOB=∠DOC, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$，
所以$AB=CD=7\ \mathrm{cm}$。
因为$EF=8\ \mathrm{cm}$，
所以保温杯的壁厚为$\frac{8-7}{2}=0.5(\mathrm{cm})$。
$\begin{cases}OA=OD, \\∠AOB=∠DOC, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$，
所以$AB=CD=7\ \mathrm{cm}$。
因为$EF=8\ \mathrm{cm}$，
所以保温杯的壁厚为$\frac{8-7}{2}=0.5(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出$OA=OD$，$OB=OC$，同时$∠ AOB$和$∠ DOC$是对顶角，二者相等，正好满足全等三角形SAS的判定条件，因此首先证明$△ AOB$和$△ DOC$全等；再利用全等三角形对应边相等的性质，得到$CD=AB$；结合图形可知$EF$是保温杯外壁的总宽度，$CD$是保温杯内部的宽度，二者的差值是左右两个壁厚的总和，除以2即可得到单个壁厚的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD, \\∠AOB=∠DOC, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$，
所以$AB=CD=7\ \mathrm{cm}$。
因为$EF=8\ \mathrm{cm}$，
所以保温杯的壁厚为$\frac{8-7}{2}=0.5(\mathrm{cm})$。
【答案】
保温杯的壁厚为$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、全等三角形实际应用
【点评】
本题将全等三角形知识与实际测量场景结合，解题关键是通过全等转化得到保温杯内部宽度，再结合图形明确各线段的数量关系，考查了数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：题目给出$OA=OD$，$OB=OC$，同时$∠ AOB$和$∠ DOC$是对顶角，二者相等，正好满足全等三角形SAS的判定条件，因此首先证明$△ AOB$和$△ DOC$全等；再利用全等三角形对应边相等的性质，得到$CD=AB$；结合图形可知$EF$是保温杯外壁的总宽度，$CD$是保温杯内部的宽度，二者的差值是左右两个壁厚的总和，除以2即可得到单个壁厚的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD, \\∠AOB=∠DOC, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$，
所以$AB=CD=7\ \mathrm{cm}$。
因为$EF=8\ \mathrm{cm}$，
所以保温杯的壁厚为$\frac{8-7}{2}=0.5(\mathrm{cm})$。
【答案】
保温杯的壁厚为$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、全等三角形实际应用
【点评】
本题将全等三角形知识与实际测量场景结合，解题关键是通过全等转化得到保温杯内部宽度，再结合图形明确各线段的数量关系，考查了数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
