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4. 观察下面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，9，….
(1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数.
(2)在前2 023个数中，正数和负数分别有多少个？
(3)2 023和-2 023是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由.
(1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数.
(2)在前2 023个数中，正数和负数分别有多少个？
(3)2 023和-2 023是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由.
答案
4. (1) 101，－2 024 (2)正数有1 012个，负数有1 011个. (3)2 023在这一列数中，是第2 023个数. －2 023不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数.
解析
【分析】
首先观察数列特征，先梳理两个核心规律：①数的绝对值：第n个数的绝对值等于它的序号n；②符号规律：序号n为奇数时，数为正数，序号n为偶数时，数为负数。接下来按小问逐一分析：
(1)求指定序号的数，只需先判断序号是奇数还是偶数确定符号，再结合绝对值等于序号即可得结果；
(2)计算前2023个数的正负数个数，可按“1正1负”每2个数为一组分组，先算完整组数，再结合余下最后一个数的奇偶性判断正负数数量；
(3)判断2023和-2023是否存在，只需根据2023的奇偶性，对应符号规律即可验证。
【解析】
观察数列可总结规律：第n个数的绝对值为n，当n为奇数时，数为正；当n为偶数时，数为负。
(1) 第101个数：101是奇数，所以符号为正，绝对值是101，即第101个数是101；
第2024个数：2024是偶数，所以符号为负，绝对值是2024，即第2024个数是-2024。
(2) 前2023个数按“1正1负”分组，2023÷2=1011（组）……1（个），即有1011组完整的“1正1负”，余下的第2023个数是奇数序号，为正数。
因此正数个数：1011+1=1012（个），负数个数：1011×1=1011（个）。
(3) 2023是奇数，根据规律，奇数序号对应的数为正数，因此第2023个数是2023，即2023在这一列数中，是第2023个数；
-2023是负数，只有偶数序号对应负数，而2023是奇数，不可能对应负数，因此-2023不在这一列数中。
【答案】
(1) 101，－2024
(2)正数有1012个，负数有1011个.
(3)2023在这一列数中，是第2023个数. －2023不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数.
【知识点】
数列规律探究，正负数的意义
【点评】
本题是基础的规律探究类题型，解题核心是先准确总结出数列的绝对值和符号变化规律，再结合序号的奇偶性逐一分析求解，整体难度较低，只要细心观察规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先观察数列特征，先梳理两个核心规律：①数的绝对值：第n个数的绝对值等于它的序号n；②符号规律：序号n为奇数时，数为正数，序号n为偶数时，数为负数。接下来按小问逐一分析：
(1)求指定序号的数，只需先判断序号是奇数还是偶数确定符号，再结合绝对值等于序号即可得结果；
(2)计算前2023个数的正负数个数，可按“1正1负”每2个数为一组分组，先算完整组数，再结合余下最后一个数的奇偶性判断正负数数量；
(3)判断2023和-2023是否存在，只需根据2023的奇偶性，对应符号规律即可验证。
【解析】
观察数列可总结规律：第n个数的绝对值为n，当n为奇数时，数为正；当n为偶数时，数为负。
(1) 第101个数：101是奇数，所以符号为正，绝对值是101，即第101个数是101；
第2024个数：2024是偶数，所以符号为负，绝对值是2024，即第2024个数是-2024。
(2) 前2023个数按“1正1负”分组，2023÷2=1011（组）……1（个），即有1011组完整的“1正1负”，余下的第2023个数是奇数序号，为正数。
因此正数个数：1011+1=1012（个），负数个数：1011×1=1011（个）。
(3) 2023是奇数，根据规律，奇数序号对应的数为正数，因此第2023个数是2023，即2023在这一列数中，是第2023个数；
-2023是负数，只有偶数序号对应负数，而2023是奇数，不可能对应负数，因此-2023不在这一列数中。
【答案】
(1) 101，－2024
(2)正数有1012个，负数有1011个.
(3)2023在这一列数中，是第2023个数. －2023不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数.
【知识点】
数列规律探究，正负数的意义
【点评】
本题是基础的规律探究类题型，解题核心是先准确总结出数列的绝对值和符号变化规律，再结合序号的奇偶性逐一分析求解，整体难度较低，只要细心观察规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
1. 在井下6 m处有只蜗牛正在往上爬，蜗牛1 h向上爬3 m，却又下滑2 m，接着再向上爬，又下滑。按此规律，几小时后蜗牛才能爬到井外？
有人这样计算：1 h向上爬3 m，又滑落2 m，即1 h只向上爬1 m，于是$6÷1=6(\mathrm{h})$。
答：蜗牛在6 h后才能爬到井外去。
你认为这样计算对吗？
有人这样计算：1 h向上爬3 m，又滑落2 m，即1 h只向上爬1 m，于是$6÷1=6(\mathrm{h})$。
答：蜗牛在6 h后才能爬到井外去。
你认为这样计算对吗？
答案
不对，最后3 m只需1 h，可列算式：(6－3)÷1＋1＝4(h)
解析
【分析】
解题时首先要结合蜗牛爬井的实际情景思考：蜗牛只要爬到井口就会爬出井外，不会再下滑，因此不能直接按每小时净上升1m的平均速度计算总时间。我们可以将蜗牛的运动分为两个阶段：第一阶段是蜗牛还未爬到距离井口3m的位置，此时每爬3m会下滑2m，每小时净上升1m；第二阶段是蜗牛到达距离井口3m的位置后，仅需1小时向上爬3m就能直接出井，无需下滑。按照这个分段思路就能算出正确时间，也能判断原计算的错误之处。
【解析】
原计算方法不对，理由及正确计算过程如下：
1. 分析最后一次爬升的特点：蜗牛1小时最多爬3m，当蜗牛距离井口的高度≤3m时，向上爬1小时就能直接到井外，不会再下滑。
2. 计算最后一次爬升前需要爬的高度：总井深6m，减去最后一次爬的3m，可得之前需要爬的高度为$6-3=3(\mathrm{m})$。
3. 计算爬前3m所需时间：蜗牛每小时向上爬3m又下滑2m，每小时实际净上升高度为$3-2=1(\mathrm{m})$，因此爬3m需要的时间为$3÷1=3(\mathrm{h})$。
4. 计算总时间：加上最后爬3m的1小时，总时间为$3+1=4(\mathrm{h})$，列综合算式为$(6-3)÷(3-2)+1=4(\mathrm{h})$。
【答案】
不对，最后3 m只需1 h，可列算式：(6－3)÷1＋1＝4(h)
【知识点】
1. 相反意义的量
2. 有理数加减运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题容易陷入按平均速度直接计算的思维定式，忽略蜗牛爬出井口后不再下滑的隐含条件，解题时需要结合实际场景梳理完整的运动过程，避免脱离实际的机械运算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要结合蜗牛爬井的实际情景思考：蜗牛只要爬到井口就会爬出井外，不会再下滑，因此不能直接按每小时净上升1m的平均速度计算总时间。我们可以将蜗牛的运动分为两个阶段：第一阶段是蜗牛还未爬到距离井口3m的位置，此时每爬3m会下滑2m，每小时净上升1m；第二阶段是蜗牛到达距离井口3m的位置后，仅需1小时向上爬3m就能直接出井，无需下滑。按照这个分段思路就能算出正确时间，也能判断原计算的错误之处。
【解析】
原计算方法不对，理由及正确计算过程如下：
1. 分析最后一次爬升的特点：蜗牛1小时最多爬3m，当蜗牛距离井口的高度≤3m时，向上爬1小时就能直接到井外，不会再下滑。
2. 计算最后一次爬升前需要爬的高度：总井深6m，减去最后一次爬的3m，可得之前需要爬的高度为$6-3=3(\mathrm{m})$。
3. 计算爬前3m所需时间：蜗牛每小时向上爬3m又下滑2m，每小时实际净上升高度为$3-2=1(\mathrm{m})$，因此爬3m需要的时间为$3÷1=3(\mathrm{h})$。
4. 计算总时间：加上最后爬3m的1小时，总时间为$3+1=4(\mathrm{h})$，列综合算式为$(6-3)÷(3-2)+1=4(\mathrm{h})$。
【答案】
不对，最后3 m只需1 h，可列算式：(6－3)÷1＋1＝4(h)
【知识点】
1. 相反意义的量
2. 有理数加减运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题容易陷入按平均速度直接计算的思维定式，忽略蜗牛爬出井口后不再下滑的隐含条件，解题时需要结合实际场景梳理完整的运动过程，避免脱离实际的机械运算。
【难度系数】
0.6
2. 桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为多少？
答案
最小值为3(用“＋”表示杯口朝上，用“－”表示杯口朝下，开始时＋＋＋＋＋＋，第一次－－－－＋＋，第二次－＋＋＋－ ＋，第三次－－－－－－.)
解析
【分析】
我们可以用相反意义的符号表示杯口的两种状态，规定“+”代表杯口朝上，“-”代表杯口朝下。要让所有杯子杯口朝下，每只杯子需要被翻转奇数次，6只杯子的总翻转次数为6个奇数相加，结果是偶数；每次翻转4只，总翻转次数为4n，本身也是偶数，说明存在可行的n。接下来从最小的正整数开始验证即可：先判断n=1、n=2是否可行，若不可行再验证n=3是否满足要求。
【解析】
用“+”表示杯口朝上，“-”表示杯口朝下，初始状态为：+ + + + + +
1. 验证n=1：翻转任意4只杯子，得到状态：- - - - + +，仍有2只杯口朝上，不符合要求；
2. 验证n=2：在第一次翻转的结果基础上选4只翻转，当前仅有2个“+”，最多翻2个朝上的杯子，剩余2个需翻朝下的杯子，若选择翻3个“-”和1个“+”，得到状态：- + + + - +，仍有4只杯口朝上；若选择翻2个“-”和2个“+”，得到状态：- - + + - -，仍有2只杯口朝上，因此n=2无法实现全部杯口朝下；
3. 验证n=3：在第二次翻转得到- + + + - +的基础上，翻转4个朝上的“+”，得到状态：- - - - - -，所有杯子杯口全部朝下，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
1. 相反意义的量的表示
2. 奇偶性应用
3. 逻辑推理
【点评】
本题结合生活中的翻转杯子场景，考查相反意义的量的实际应用，需要结合简单的奇偶性判断和逐一验证的方法求解，趣味性较强，能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
我们可以用相反意义的符号表示杯口的两种状态，规定“+”代表杯口朝上，“-”代表杯口朝下。要让所有杯子杯口朝下，每只杯子需要被翻转奇数次，6只杯子的总翻转次数为6个奇数相加，结果是偶数；每次翻转4只，总翻转次数为4n，本身也是偶数，说明存在可行的n。接下来从最小的正整数开始验证即可：先判断n=1、n=2是否可行，若不可行再验证n=3是否满足要求。
【解析】
用“+”表示杯口朝上，“-”表示杯口朝下，初始状态为：+ + + + + +
1. 验证n=1：翻转任意4只杯子，得到状态：- - - - + +，仍有2只杯口朝上，不符合要求；
2. 验证n=2：在第一次翻转的结果基础上选4只翻转，当前仅有2个“+”，最多翻2个朝上的杯子，剩余2个需翻朝下的杯子，若选择翻3个“-”和1个“+”，得到状态：- + + + - +，仍有4只杯口朝上；若选择翻2个“-”和2个“+”，得到状态：- - + + - -，仍有2只杯口朝上，因此n=2无法实现全部杯口朝下；
3. 验证n=3：在第二次翻转得到- + + + - +的基础上，翻转4个朝上的“+”，得到状态：- - - - - -，所有杯子杯口全部朝下，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
1. 相反意义的量的表示
2. 奇偶性应用
3. 逻辑推理
【点评】
本题结合生活中的翻转杯子场景，考查相反意义的量的实际应用，需要结合简单的奇偶性判断和逐一验证的方法求解，趣味性较强，能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
