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概念建构
等边三角形
性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
判定：
三条边都
有一个角是60°的
A基础巩固
等边三角形
性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于
60°
判定：
三条边都
相等
的三角形是等边三角形有一个角是60°的
等腰
三角形是等边三角形A基础巩固
答案
60°;相等;等腰
解析
【分析】
本题考查等边三角形的性质与判定的基础概念，解题时可结合已学知识逐一推导对应空缺内容：①求等边三角形的内角度数时，利用三角形内角和为180°，结合等边三角形三个角相等的特征计算即可；②填判定相关内容时，直接回忆等边三角形的定义和常用判定定理对应填写即可。
【解析】
1. 第一个空：三角形内角和为180°，等边三角形三个内角完全相等，因此每个角的度数为$180°÷3=60°$；
2. 第二个空：根据等边三角形的定义，三条边都相等的三角形是等边三角形；
3. 第三个空：等腰三角形的两个底角相等，若等腰三角形有一个角为60°，则三个内角均为60°，满足等边三角形的特征，因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
60°;相等;等腰
【知识点】
等边三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对等边三角形性质与判定定理的掌握程度，难度较低，熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的性质与判定的基础概念，解题时可结合已学知识逐一推导对应空缺内容：①求等边三角形的内角度数时，利用三角形内角和为180°，结合等边三角形三个角相等的特征计算即可；②填判定相关内容时，直接回忆等边三角形的定义和常用判定定理对应填写即可。
【解析】
1. 第一个空：三角形内角和为180°，等边三角形三个内角完全相等，因此每个角的度数为$180°÷3=60°$；
2. 第二个空：根据等边三角形的定义，三条边都相等的三角形是等边三角形；
3. 第三个空：等腰三角形的两个底角相等，若等腰三角形有一个角为60°，则三个内角均为60°，满足等边三角形的特征，因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
60°;相等;等腰
【知识点】
等边三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对等边三角形性质与判定定理的掌握程度，难度较低，熟记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
知识点1 等边三角形的性质
1.如图①，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，且CG=CD，则∠D=
【变式·实践应用】如图②，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1=40°，则∠2的度数为
1.如图①，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，且CG=CD，则∠D=
30
°。【变式·实践应用】如图②，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1=40°，则∠2的度数为
20°
。答案
1. 30 【变式·实践应用】20°
解析
【分析】
第一问解题思路：首先利用等边三角形三个内角均为60°的性质，求出∠ACB的度数，再根据邻补角的定义求出∠ACD的度数；已知CG=CD，可知△CGD为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数。
变式解题思路：首先明确平行光线互相平行，结合等边三角形内角为60°的性质，利用平行线的角的关系，通过角的和差运算即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点B、C、D在同一直线上，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴∠D=∠CGD，
在△CGD中，∠D+∠CGD+∠ACD=180°，
∴∠D=(180°-120°)÷2=30°。
【变式·实践应用】
解：
∵平行光线互相平行，等边三角形的每个内角都为60°，
根据平行线的性质结合角的和差关系可得：
∠2=60°-∠1=60°-40°=20°。
【答案】
30；20°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考察等边三角形内角为60°的性质，同时融合了等腰三角形、平行线的基础性质，熟练掌握常见几何图形的角的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
第一问解题思路：首先利用等边三角形三个内角均为60°的性质，求出∠ACB的度数，再根据邻补角的定义求出∠ACD的度数；已知CG=CD，可知△CGD为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数。
变式解题思路：首先明确平行光线互相平行，结合等边三角形内角为60°的性质，利用平行线的角的关系，通过角的和差运算即可求出∠2的度数。
【解析】
1. 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点B、C、D在同一直线上，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CG=CD，
∴∠D=∠CGD，
在△CGD中，∠D+∠CGD+∠ACD=180°，
∴∠D=(180°-120°)÷2=30°。
【变式·实践应用】
解：
∵平行光线互相平行，等边三角形的每个内角都为60°，
根据平行线的性质结合角的和差关系可得：
∠2=60°-∠1=60°-40°=20°。
【答案】
30；20°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考察等边三角形内角为60°的性质，同时融合了等腰三角形、平行线的基础性质，熟练掌握常见几何图形的角的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一点,AD为BC边上的中线,AD,BE相交于点F,若$∠ AEB=100°$,则$∠ AFB$的度数为
130°
。答案
130°
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角都是60°，且三线合一（中线、高、角平分线重合），因此AD作为BC边上的中线，同时是∠BAC的角平分线，可先求出∠BAF的度数；接下来在△ABE中，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC和∠AEB的度数，求出∠ABF的度数；最后在△ABF中，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD是BC边上的中线，等边三角形三线合一
∴AD平分∠BAC，即$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABE=180°-∠ BAC-∠ AEB=180°-60°-100°=20°$
在△ABF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ AFB=180°-∠ BAF-∠ ABE=180°-30°-20°=130°$
【答案】
130°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用等边三角形的特殊性质推导已知角和未知角的关系，再结合三角形内角和定理求解，只要熟练掌握等边三角形的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角都是60°，且三线合一（中线、高、角平分线重合），因此AD作为BC边上的中线，同时是∠BAC的角平分线，可先求出∠BAF的度数；接下来在△ABE中，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC和∠AEB的度数，求出∠ABF的度数；最后在△ABF中，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD是BC边上的中线，等边三角形三线合一
∴AD平分∠BAC，即$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$
在△ABE中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABE=180°-∠ BAC-∠ AEB=180°-60°-100°=20°$
在△ABF中，根据三角形内角和为180°：
$∠ AFB=180°-∠ BAF-∠ ABE=180°-30°-20°=130°$
【答案】
130°
【知识点】
等边三角形的性质、三角形内角和定理、三线合一
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用等边三角形的特殊性质推导已知角和未知角的关系，再结合三角形内角和定理求解，只要熟练掌握等边三角形的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
3.如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD，BE相交于点O.求∠AOB的度数.
答案
解：∠AOB=120°.
解析
【分析】
要求∠AOB的度数，首先利用等边三角形的内角性质得到∠BAC和∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，求出△AOB中∠BAO和∠ABO的度数，最后根据三角形内角和定理即可算出∠AOB的大小。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD、BE是△ABC的角平分线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$∠ ABO=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在△AOB中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AOB=180°-∠ BAO-∠ ABO=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
$∠ AOB=120°$
【知识点】
等边三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用等边三角形的内角特征结合角平分线定义得到待求角所在三角形的内角，再借助三角形内角和定理求解，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求∠AOB的度数，首先利用等边三角形的内角性质得到∠BAC和∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，求出△AOB中∠BAO和∠ABO的度数，最后根据三角形内角和定理即可算出∠AOB的大小。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD、BE是△ABC的角平分线，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
$∠ ABO=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在△AOB中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AOB=180°-∠ BAO-∠ ABO=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
$∠ AOB=120°$
【知识点】
等边三角形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用等边三角形的内角特征结合角平分线定义得到待求角所在三角形的内角，再借助三角形内角和定理求解，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 新情境如图，它是我们画圆(或画弧)使用的圆规，已知圆规两脚$OA=OB=8\ \mathrm{cm}$. 画圆或画弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为$60°$，则$A,B$两点的距离为
(第4题) (第5题)
8
$\mathrm{cm}$.(第4题) (第5题)
答案
8
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：圆规两脚长度OA=OB=8cm，说明△OAB是等腰三角形，同时两脚张开的夹角为60°，也就是等腰△OAB的顶角为60°。根据等边三角形的判定规则：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判定△OAB为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质就能直接得出AB的长度。
【解析】
在△OAB中：
∵ OA = OB = 8 cm，
∴ △OAB是等腰三角形，
又
∵ 两脚张开角度∠AOB = 60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB = OA = OB = 8 cm。
【答案】
8
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中常见的圆规创设情境，考查等边三角形的相关知识，解题关键是从题干条件中提取出等腰三角形和60°角的特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
首先梳理题目已知条件：圆规两脚长度OA=OB=8cm，说明△OAB是等腰三角形，同时两脚张开的夹角为60°，也就是等腰△OAB的顶角为60°。根据等边三角形的判定规则：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判定△OAB为等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质就能直接得出AB的长度。
【解析】
在△OAB中：
∵ OA = OB = 8 cm，
∴ △OAB是等腰三角形，
又
∵ 两脚张开角度∠AOB = 60°，
∴ △OAB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB = OA = OB = 8 cm。
【答案】
8
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中常见的圆规创设情境，考查等边三角形的相关知识，解题关键是从题干条件中提取出等腰三角形和60°角的特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
5. 新考法如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，点E，F是边BC的三等分点。分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的$△ DEF$的周长是
9
。答案
9
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步先求线段EF的长度，已知BC边长为9，E、F是BC的三等分点，直接可算出EF长；第二步判断△DEF的形状，利用平行线的同位角相等性质，结合等边△ABC的内角都是60°，可得△DEF的两个内角为60°，进而判定它是等边三角形；第三步根据等边三角形三边相等的性质，计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为9，
∴∠B=∠C=60°，BC=9，
∵E、F是BC的三等分点，
∴$EF=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×9=3$，
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
在△DEF中，∠D=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-60°=60°，
∴△DEF是等边三角形，即DE=EF=DF=3，
∴△DEF的周长为$3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等边三角形的判定及性质的应用，解题的关键是结合平行线的性质快速判断出剪下的三角形为等边三角形，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步：第一步先求线段EF的长度，已知BC边长为9，E、F是BC的三等分点，直接可算出EF长；第二步判断△DEF的形状，利用平行线的同位角相等性质，结合等边△ABC的内角都是60°，可得△DEF的两个内角为60°，进而判定它是等边三角形；第三步根据等边三角形三边相等的性质，计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为9，
∴∠B=∠C=60°，BC=9，
∵E、F是BC的三等分点，
∴$EF=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×9=3$，
∵DE//AB，DF//AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
在△DEF中，∠D=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-60°=60°，
∴△DEF是等边三角形，即DE=EF=DF=3，
∴△DEF的周长为$3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等边三角形的判定及性质的应用，解题的关键是结合平行线的性质快速判断出剪下的三角形为等边三角形，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.8
6. [2026 滁州期中] 如图,在$△ ABC$中,D为AB边上一点,$DF ⊥ BC$于点F,延长FD,CA交于点E.若$∠ E=30°,AD=AE$.求证:$△ ABC$为等边三角形.
答案
证明：
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 30° + 30° = 60°$。
∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
又∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ B = 90° - ∠ BDF = 90° - 30° = 60°$。
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 30° + 30° = 60°$。
∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
又∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ B = 90° - ∠ BDF = 90° - 30° = 60°$。
∵ 在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
解析
【分析】
要证明$△ ABC$是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为$60°$实现。首先从已知$AD=AE$、$∠ E=30°$出发，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ADE=∠ E$，再结合三角形外角的性质求出$∠ BAC$的度数；接着利用对顶角相等得到$∠ BDF$的度数，结合$DF⊥ BC$的条件，在直角三角形中根据两锐角互余求出$∠ B$的度数；最后根据三角形内角和为$180°$求出$∠ C$的度数，验证三个内角均为$60°$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AD = AE$，$∠ E = 30°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ E = 30°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 30° + 30° = 60°$。
$\because ∠ BDF = ∠ ADE = 30°$（对顶角相等），
又$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DFB = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ B = 90° - ∠ BDF = 90° - 30° = 60°$。
$\because$在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
证明过程如上，$△ ABC$为等边三角形得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的基础题型，综合了等腰三角形性质、对顶角性质、直角三角形两锐角互余等知识点，解题核心是通过已知角度逐步推导$△ ABC$三个内角的度数，熟练掌握相关几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
要证明$△ ABC$是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为$60°$实现。首先从已知$AD=AE$、$∠ E=30°$出发，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ADE=∠ E$，再结合三角形外角的性质求出$∠ BAC$的度数；接着利用对顶角相等得到$∠ BDF$的度数，结合$DF⊥ BC$的条件，在直角三角形中根据两锐角互余求出$∠ B$的度数；最后根据三角形内角和为$180°$求出$∠ C$的度数，验证三个内角均为$60°$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AD = AE$，$∠ E = 30°$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ E = 30°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 30° + 30° = 60°$。
$\because ∠ BDF = ∠ ADE = 30°$（对顶角相等），
又$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DFB = 90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ B = 90° - ∠ BDF = 90° - 30° = 60°$。
$\because$在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
证明过程如上，$△ ABC$为等边三角形得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的基础题型，综合了等腰三角形性质、对顶角性质、直角三角形两锐角互余等知识点，解题核心是通过已知角度逐步推导$△ ABC$三个内角的度数，熟练掌握相关几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
