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13. 数形结合思想 如图,大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的.
【观察猜想】请根据此图填空：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(①\_\_\_\_\_\_)×(②\_\_\_\_\_\_).$
【说理验证】事实上,我们也可以用如下代数方法进行变形：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(③\_\_\_\_\_\_)+q(④\_\_\_\_\_\_)=(⑤\_\_\_\_\_\_)×(⑥\_\_\_\_\_\_).$
于是,我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
【尝试运用】
例:把多项式$x^2+7x+12$分解因式:
$x^2+7x+12=x^2+(3+4)x+3×4=x^2+3x+4x+3×4=(x^2+3x)+(4x+3×4)=x(x+3)+4(x+3)=(x+3)(x+4).$
请解决下列各题:
(1)将“观察猜想”“说理验证”的序号处填上相应的内容；
(2)利用上述方法分解因式:$x^2-7x-18.$
【观察猜想】请根据此图填空：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(①\_\_\_\_\_\_)×(②\_\_\_\_\_\_).$
【说理验证】事实上,我们也可以用如下代数方法进行变形：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(③\_\_\_\_\_\_)+q(④\_\_\_\_\_\_)=(⑤\_\_\_\_\_\_)×(⑥\_\_\_\_\_\_).$
于是,我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
【尝试运用】
例:把多项式$x^2+7x+12$分解因式:
$x^2+7x+12=x^2+(3+4)x+3×4=x^2+3x+4x+3×4=(x^2+3x)+(4x+3×4)=x(x+3)+4(x+3)=(x+3)(x+4).$
请解决下列各题:
(1)将“观察猜想”“说理验证”的序号处填上相应的内容；
(2)利用上述方法分解因式:$x^2-7x-18.$
答案
(1)①$x+p$ ②$x+q$(①,②两处内容可以互换) ③$x+p$ ④$x+p$ ⑤$x+p$ ⑥$x+q$(⑤,⑥两处内容可以互换)
(2)$x^2-7x-18=(x-9)(x+2)$
(2)$x^2-7x-18=(x-9)(x+2)$
解析
【分析】
解决本题首先结合数形结合思想分析：第(1)问的观察猜想部分，大长方形的面积可直接用长乘宽计算，也可拆分为四个小图形的面积和，二者相等即可推导结果；说理验证部分运用分组分解法，将多项式两两分组后分别提取公因式，再提取整体公因式即可完成因式分解。第(2)问套用推导得到的十字相乘因式分解公式，找到两个数满足乘积为常数项、和为一次项系数，代入公式即可分解。
【解析】
(1) 【观察猜想】大长方形的长为$x+p$，宽为$x+q$，面积为$(x+p)(x+q)$；同时四个小图形面积和为$x^2+px+qx+pq$，因此$x^2+px+qx+pq=(x+p)(x+q)$，故①填$x+p$，②填$x+q$（二者可互换）。
【说理验证】对多项式分组提取公因式：
$x^2+(p+q)x+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)$，因此③填$x+p$，④填$x+p$，⑤填$x+p$，⑥填$x+q$（⑤⑥可互换）。
(2) 分解$x^2-7x-18$，需找到两个数，满足两数之和为$-7$，两数之积为$-18$，可得这两个数为$-9$和$2$，因此：
$x^2-7x-18=x^2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2)$
【答案】
(1)①$x+p$；②$x+q$（①②可互换）；③$x+p$；④$x+p$；⑤$x+p$；⑥$x+q$（⑤⑥可互换）
(2)$(x-9)(x+2)$
【知识点】
十字相乘法因式分解；分组分解法；数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形推导十字相乘法因式分解的原理，同时考查该方法的实际应用，注重对方法原理的理解，掌握规律后即可快速求解相关因式分解问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先结合数形结合思想分析：第(1)问的观察猜想部分，大长方形的面积可直接用长乘宽计算，也可拆分为四个小图形的面积和，二者相等即可推导结果；说理验证部分运用分组分解法，将多项式两两分组后分别提取公因式，再提取整体公因式即可完成因式分解。第(2)问套用推导得到的十字相乘因式分解公式，找到两个数满足乘积为常数项、和为一次项系数，代入公式即可分解。
【解析】
(1) 【观察猜想】大长方形的长为$x+p$，宽为$x+q$，面积为$(x+p)(x+q)$；同时四个小图形面积和为$x^2+px+qx+pq$，因此$x^2+px+qx+pq=(x+p)(x+q)$，故①填$x+p$，②填$x+q$（二者可互换）。
【说理验证】对多项式分组提取公因式：
$x^2+(p+q)x+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)$，因此③填$x+p$，④填$x+p$，⑤填$x+p$，⑥填$x+q$（⑤⑥可互换）。
(2) 分解$x^2-7x-18$，需找到两个数，满足两数之和为$-7$，两数之积为$-18$，可得这两个数为$-9$和$2$，因此：
$x^2-7x-18=x^2+(-9+2)x+(-9)×2=(x-9)(x+2)$
【答案】
(1)①$x+p$；②$x+q$（①②可互换）；③$x+p$；④$x+p$；⑤$x+p$；⑥$x+q$（⑤⑥可互换）
(2)$(x-9)(x+2)$
【知识点】
十字相乘法因式分解；分组分解法；数形结合思想
【点评】
本题借助几何图形推导十字相乘法因式分解的原理，同时考查该方法的实际应用，注重对方法原理的理解，掌握规律后即可快速求解相关因式分解问题。
【难度系数】
0.7
14.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能否表示为$x^2 - y^2$（$x,y$均为自然数）”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下($n$为正整数)：
按上表规律，填空：
①$24=(\quad)^2 - (\quad)^2$；
②$4n=\_\_\_\_\_\_$.
(2)兴趣小组还猜测：像$2,6,10,14,\dots$,这些形如$4n-2$（$n$为正整数）的正整数$N$不能表示为$x^2 - y^2$（$x,y$均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下($n$为正整数)：
按上表规律，填空：
①$24=(\quad)^2 - (\quad)^2$；
②$4n=\_\_\_\_\_\_$.
(2)兴趣小组还猜测：像$2,6,10,14,\dots$,这些形如$4n-2$（$n$为正整数）的正整数$N$不能表示为$x^2 - y^2$（$x,y$均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
答案
(1)①7；5 ②$(n+1)^2-(n-1)^2$
(2)$4(k^2-m^2+k-m)$
(2)$4(k^2-m^2+k-m)$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用与规律探究，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，首先回忆平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$：
① 要将24写成两个平方数的差，可先把24拆成两个同奇偶正整数的乘积（因为$x-y$和$x+y$的奇偶性一致），再通过解方程组求出$x,y$的值；
② 推导$4n$的平方差表示形式时，可通过展开两个差为2的整数的平方差验证，或根据规律归纳得到。
2. 解决第(2)问时，根据分类讨论的情形，当$x,y$均为奇数时，设$x=2k+1$、$y=2m+1$，代入平方差公式展开化简即可得到结果，结合$4n-2$除以4余2的特征，即可证明其不能表示为两个平方数的差。
【解析】
(1)① 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，将24拆为$2×12$，令$\begin{cases}x-y=2 \\ x+y=12\end{cases}$，两式相加得$2x=14$，解得$x=7$；两式相减得$2y=10$，解得$y=5$，因此$24=7^2-5^2$。
② 化简$(n+1)^2-(n-1)^2$：
$\begin{aligned}(n+1)^2-(n-1)^2&=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)\\&=4n\end{aligned}$
因此$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$。
(2) 当$x,y$均为奇数时，设$x=2k+1$，$y=2m+1$（$k,m$为自然数），代入得：
$\begin{aligned}x^2-y^2&=(2k+1)^2-(2m+1)^2\\&=4k^2+4k+1-(4m^2+4m+1)\\&=4k^2+4k-4m^2-4m\\&=4(k^2-m^2+k-m)\end{aligned}$
因此横线处填$4(k^2-m^2+k-m)$。
【答案】
(1)①$7$；$5$ ②$(n+1)^2-(n-1)^2$
(2)$4(k^2-m^2+k-m)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，奇偶性分析
【点评】
本题以探究活动为载体，既考查了平方差公式的灵活运用，也涉及了规律归纳与分类讨论的数学思想，能有效锻炼学生的代数式化简能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题考查平方差公式的应用与规律探究，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，首先回忆平方差公式$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$：
① 要将24写成两个平方数的差，可先把24拆成两个同奇偶正整数的乘积（因为$x-y$和$x+y$的奇偶性一致），再通过解方程组求出$x,y$的值；
② 推导$4n$的平方差表示形式时，可通过展开两个差为2的整数的平方差验证，或根据规律归纳得到。
2. 解决第(2)问时，根据分类讨论的情形，当$x,y$均为奇数时，设$x=2k+1$、$y=2m+1$，代入平方差公式展开化简即可得到结果，结合$4n-2$除以4余2的特征，即可证明其不能表示为两个平方数的差。
【解析】
(1)① 根据平方差公式，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，将24拆为$2×12$，令$\begin{cases}x-y=2 \\ x+y=12\end{cases}$，两式相加得$2x=14$，解得$x=7$；两式相减得$2y=10$，解得$y=5$，因此$24=7^2-5^2$。
② 化简$(n+1)^2-(n-1)^2$：
$\begin{aligned}(n+1)^2-(n-1)^2&=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)\\&=4n\end{aligned}$
因此$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$。
(2) 当$x,y$均为奇数时，设$x=2k+1$，$y=2m+1$（$k,m$为自然数），代入得：
$\begin{aligned}x^2-y^2&=(2k+1)^2-(2m+1)^2\\&=4k^2+4k+1-(4m^2+4m+1)\\&=4k^2+4k-4m^2-4m\\&=4(k^2-m^2+k-m)\end{aligned}$
因此横线处填$4(k^2-m^2+k-m)$。
【答案】
(1)①$7$；$5$ ②$(n+1)^2-(n-1)^2$
(2)$4(k^2-m^2+k-m)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，奇偶性分析
【点评】
本题以探究活动为载体，既考查了平方差公式的灵活运用，也涉及了规律归纳与分类讨论的数学思想，能有效锻炼学生的代数式化简能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
