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1.已知关于$x$的代数式$(3x+a)(x-2)$.
(1)当$a=1$时,化简原代数式;
(2)若原代数式化简后不含$x$的一次项,求$a$的值.
(1)当$a=1$时,化简原代数式;
(2)若原代数式化简后不含$x$的一次项,求$a$的值.
答案
(1)当$a=1$时,$(3x+1)(x-2)=3x^2-5x-2.$
(2)$a=6.$
(2)$a=6.$
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：先将a=1代入给定的代数式，再按照多项式乘多项式的运算法则展开，最后合并同类项就能完成化简；
(2) 第二问解题思路：先把原式按多项式乘法法则展开并合并同类项，找到x的一次项的系数，“代数式不含x的一次项”说明x的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 当$a=1$时，代入原式得：
$\begin{aligned}(3x+1)(x-2)&=3x· x + 3x· (-2) +1· x +1× (-2)\\&=3x^2 -6x +x -2\\&=3x^2 -5x -2\end{aligned}$
(2) 先展开原代数式：
$\begin{aligned}(3x+a)(x-2)&=3x· x +3x· (-2) +a· x +a× (-2)\\&=3x^2 -6x +ax -2a\\&=3x^2 + (a-6)x -2a\end{aligned}$
∵ 原代数式化简后不含$x$的一次项
∴ $x$的一次项系数为0，即$a-6=0$
解得：$a=6$
【答案】
(1) $3x^2-5x-2$；(2) $a=6$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式的项与系数
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的运算规则，解题的核心是明确“多项式不含某一项时，该项的系数为0”，熟练掌握整式运算相关法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问解题思路：先将a=1代入给定的代数式，再按照多项式乘多项式的运算法则展开，最后合并同类项就能完成化简；
(2) 第二问解题思路：先把原式按多项式乘法法则展开并合并同类项，找到x的一次项的系数，“代数式不含x的一次项”说明x的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 当$a=1$时，代入原式得：
$\begin{aligned}(3x+1)(x-2)&=3x· x + 3x· (-2) +1· x +1× (-2)\\&=3x^2 -6x +x -2\\&=3x^2 -5x -2\end{aligned}$
(2) 先展开原代数式：
$\begin{aligned}(3x+a)(x-2)&=3x· x +3x· (-2) +a· x +a× (-2)\\&=3x^2 -6x +ax -2a\\&=3x^2 + (a-6)x -2a\end{aligned}$
∵ 原代数式化简后不含$x$的一次项
∴ $x$的一次项系数为0，即$a-6=0$
解得：$a=6$
【答案】
(1) $3x^2-5x-2$；(2) $a=6$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，多项式的项与系数
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的运算规则，解题的核心是明确“多项式不含某一项时，该项的系数为0”，熟练掌握整式运算相关法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
2. 中考趋势·代数推理 对于整式 $ M: (x+2)^2 - (x+3)(x-1) $.
(1)当 $ x=-4 $ 时,求 $ M $ 的值.甲、乙二人分别给出了自己的思路:
甲的思路:将 $ x=-4 $ 代入整式 $ M $ 求值;
乙的思路:先化简整式 $ M $,然后再将 $ x=-4 $ 代入求值;
请你选一个人的思路,完成求值.
(2)若 $ x $ 为正整数,请说明 $ M $ 的值为奇数.
(1)当 $ x=-4 $ 时,求 $ M $ 的值.甲、乙二人分别给出了自己的思路:
甲的思路:将 $ x=-4 $ 代入整式 $ M $ 求值;
乙的思路:先化简整式 $ M $,然后再将 $ x=-4 $ 代入求值;
请你选一个人的思路,完成求值.
(2)若 $ x $ 为正整数,请说明 $ M $ 的值为奇数.
答案
解：
(1) 选乙的思路求解：
先化简整式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2)^2 - (x+3)(x-1)\\&=x^2 +4x +4 - (x^2 +2x -3)\\&=x^2 +4x +4 -x^2 -2x +3\\&=2x +7\end{aligned}$
将$x=-4$代入$2x+7$，得：
$M=2×(-4)+7=-1$。
(2) 由(1)可知化简后$M=2x+7$，
因为$x$为正整数，所以$2x$是偶数，
又因为$7$是奇数，偶数与奇数的和为奇数，
所以当$x$为正整数时，$M$的值为奇数。
(1) 选乙的思路求解：
先化简整式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2)^2 - (x+3)(x-1)\\&=x^2 +4x +4 - (x^2 +2x -3)\\&=x^2 +4x +4 -x^2 -2x +3\\&=2x +7\end{aligned}$
将$x=-4$代入$2x+7$，得：
$M=2×(-4)+7=-1$。
(2) 由(1)可知化简后$M=2x+7$，
因为$x$为正整数，所以$2x$是偶数，
又因为$7$是奇数，偶数与奇数的和为奇数，
所以当$x$为正整数时，$M$的值为奇数。
解析
【分析】
(1) 优先选择乙的思路解题更简便：先运用完全平方公式、多项式乘多项式法则将整式M展开，再通过去括号、合并同类项得到M的最简形式，最后代入x=-4计算，相比直接代入原式计算量更小，出错率更低。(2) 第二问结合化简后的M的表达式分析：x为正整数时2x是2的倍数，属于偶数，再根据“偶数+奇数=奇数”的运算规律即可推导M的奇偶性。
【解析】
(1) 选择乙的思路求解：
先化简整式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2)^2 - (x+3)(x-1)\\&=x^2 +4x +4 - (x^2 +2x -3)\\&=x^2 +4x +4 -x^2 -2x +3\\&=2x +7\end{aligned}$
将$x=-4$代入$2x+7$，得：
$M=2×(-4)+7=-8+7=-1$。
(2) 由(1)可知化简后$M=2x+7$，
因为$x$为正整数，所以$2x$是偶数，
又因为$7$是奇数，偶数与奇数的和为奇数，
所以当$x$为正整数时，$M$的值为奇数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) 当x为正整数时，M的值为奇数，推理过程见解析。
【知识点】
1. 整式的化简求值
2. 完全平方公式
3. 多项式乘多项式
【点评】
本题将整式运算与代数推理相结合，第一问引导学生优选解题方法，降低运算失误概率，第二问考查基础逻辑推理能力，结合数的奇偶性规律即可完成推导，侧重基础运算能力和简单推理能力的考查。
【难度系数】
0.85
(1) 优先选择乙的思路解题更简便：先运用完全平方公式、多项式乘多项式法则将整式M展开，再通过去括号、合并同类项得到M的最简形式，最后代入x=-4计算，相比直接代入原式计算量更小，出错率更低。(2) 第二问结合化简后的M的表达式分析：x为正整数时2x是2的倍数，属于偶数，再根据“偶数+奇数=奇数”的运算规律即可推导M的奇偶性。
【解析】
(1) 选择乙的思路求解：
先化简整式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2)^2 - (x+3)(x-1)\\&=x^2 +4x +4 - (x^2 +2x -3)\\&=x^2 +4x +4 -x^2 -2x +3\\&=2x +7\end{aligned}$
将$x=-4$代入$2x+7$，得：
$M=2×(-4)+7=-8+7=-1$。
(2) 由(1)可知化简后$M=2x+7$，
因为$x$为正整数，所以$2x$是偶数，
又因为$7$是奇数，偶数与奇数的和为奇数，
所以当$x$为正整数时，$M$的值为奇数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) 当x为正整数时，M的值为奇数，推理过程见解析。
【知识点】
1. 整式的化简求值
2. 完全平方公式
3. 多项式乘多项式
【点评】
本题将整式运算与代数推理相结合，第一问引导学生优选解题方法，降低运算失误概率，第二问考查基础逻辑推理能力，结合数的奇偶性规律即可完成推导，侧重基础运算能力和简单推理能力的考查。
【难度系数】
0.85
3.【发现】
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
(1)$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$的结果是5的
(2)设五个连续整数的正中间的数为$n$，求出它们的平方和，并说明是5的倍数.
【延伸】
(3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由.
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
(1)$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$的结果是5的
3
倍；(2)设五个连续整数的正中间的数为$n$，求出它们的平方和，并说明是5的倍数.
【延伸】
(3)任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由.
答案
(1)3
(2)它们的平方和为$5(n^2+2)$,说明略.
(3)余数是2.理由略.
(2)它们的平方和为$5(n^2+2)$,说明略.
(3)余数是2.理由略.
解析
【分析】
（1）直接计算出算式的结果，再除以5即可得到对应的倍数；
（2）连续整数之间相差1，若正中间的数为n，则其余四个连续整数可表示为n-2、n-1、n+1、n+2，将五个数分别平方后求和，利用完全平方公式展开并合并同类项，提取公因式5后即可判断该和是5的倍数；
（3）类比（2）的思路，设三个连续整数的中间数为m，将三个数表示为m-1、m、m+1，计算平方和并化简，再分析化简结果除以3的余数即可。
【解析】
（1）计算得：$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15$，$15÷5=3$，故结果是5的3倍；
（2）五个连续整数正中间为n，则这五个数分别为$n-2,n-1,n,n+1,n+2$，
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\\=&(n^2-4n+4)+(n^2-2n+1)+n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)\\=&5n^2 + 10\\=&5(n^2+2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$n^2+2$是整数，因此该平方和是5的倍数；
（3）余数是2，理由如下：
设三个连续整数的中间数为m，则三个数分别为$m-1,m,m+1$，
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(m-1)^2 + m^2 + (m+1)^2\\=&(m^2-2m+1)+m^2+(m^2+2m+1)\\=&3m^2 + 2\end{aligned}$
因为$3m^2$能被3整除，所以$3m^2+2$除以3的余数为2，即任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2。
【答案】
(1)3；
(2)平方和为$5(n^2+2)$，是5的倍数；
(3)余数是2。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，倍数与余数判定
【点评】
本题属于探究类基础题，通过设参数表示连续整数，再利用整式运算化简结果即可得到对应的性质，解题的关键是掌握完全平方公式的展开规则，体会参数法在代数探究中的应用。
【难度系数】
0.8
（1）直接计算出算式的结果，再除以5即可得到对应的倍数；
（2）连续整数之间相差1，若正中间的数为n，则其余四个连续整数可表示为n-2、n-1、n+1、n+2，将五个数分别平方后求和，利用完全平方公式展开并合并同类项，提取公因式5后即可判断该和是5的倍数；
（3）类比（2）的思路，设三个连续整数的中间数为m，将三个数表示为m-1、m、m+1，计算平方和并化简，再分析化简结果除以3的余数即可。
【解析】
（1）计算得：$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15$，$15÷5=3$，故结果是5的3倍；
（2）五个连续整数正中间为n，则这五个数分别为$n-2,n-1,n,n+1,n+2$，
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\\=&(n^2-4n+4)+(n^2-2n+1)+n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)\\=&5n^2 + 10\\=&5(n^2+2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$n^2+2$是整数，因此该平方和是5的倍数；
（3）余数是2，理由如下：
设三个连续整数的中间数为m，则三个数分别为$m-1,m,m+1$，
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(m-1)^2 + m^2 + (m+1)^2\\=&(m^2-2m+1)+m^2+(m^2+2m+1)\\=&3m^2 + 2\end{aligned}$
因为$3m^2$能被3整除，所以$3m^2+2$除以3的余数为2，即任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2。
【答案】
(1)3；
(2)平方和为$5(n^2+2)$，是5的倍数；
(3)余数是2。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，倍数与余数判定
【点评】
本题属于探究类基础题，通过设参数表示连续整数，再利用整式运算化简结果即可得到对应的性质，解题的关键是掌握完全平方公式的展开规则，体会参数法在代数探究中的应用。
【难度系数】
0.8
4. 新考法定义:一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到多项式C,若C的项数比A的项数多1,则称B是A的“友好多项式”;若C的项数与A的项数相同,则称B是A的“特别友好多项式”.
(1)若$A=x+3,B=2x-1$,请判断B是否为A的“友好多项式”,并说明理由.
(2)若$A=x-3,B=x^2+ax+9$均是关于x的多项式,且B是A的“特别友好多项式”,求a的值.
(1)若$A=x+3,B=2x-1$,请判断B是否为A的“友好多项式”,并说明理由.
(2)若$A=x-3,B=x^2+ax+9$均是关于x的多项式,且B是A的“特别友好多项式”,求a的值.
答案
(1)$B$是$A$的“友好多项式”.理由略.
(2)$a=3.$
(2)$a=3.$
解析
【分析】
(1) 解题首先明确“友好多项式”的定义，第一步先计算多项式A与B的乘积并化简得到C，第二步分别数出A、C的项数，第三步对比C的项数是否比A多1，即可完成判断。
(2) 先根据多项式乘法法则计算A×B的结果并合并同类项，再根据“特别友好多项式”的定义，可知化简后C的项数与A的项数（2项）相同，因此需要让展开式中多余项的系数为0，据此列方程求解a的值即可。
【解析】
(1) 计算$A × B$：
$\begin{aligned}(x+3)(2x-1)&=2x^2 -x +6x -3\\&=2x^2 +5x -3\end{aligned}$
多项式$A=x+3$的项数为2，化简后的结果$C=2x^2+5x-3$的项数为3，$3-2=1$，符合“C的项数比A的项数多1”的要求，因此B是A的“友好多项式”。
(2) 计算$A × B$：
$\begin{aligned}(x-3)(x^2+ax+9)&=x^3 +ax^2 +9x -3x^2 -3ax -27\\&=x^3 + (a-3)x^2 + (9-3a)x -27\end{aligned}$
已知B是A的“特别友好多项式”，$A=x-3$的项数为2，因此化简后C的项数应为2。观察上式，若要项数为2，则二次项和一次项的系数需同时为0：
$\begin{cases}a-3=0\\9-3a=0\end{cases}$
解得$a=3$，此时$C=x^3-27$，共2项，符合要求。
【答案】
(1) B是A的“友好多项式”，理由见解析；
(2) $a=3$
【知识点】
多项式乘法运算，合并同类项，新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景考查整式的运算，解题核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法，属于基础类创新题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先明确“友好多项式”的定义，第一步先计算多项式A与B的乘积并化简得到C，第二步分别数出A、C的项数，第三步对比C的项数是否比A多1，即可完成判断。
(2) 先根据多项式乘法法则计算A×B的结果并合并同类项，再根据“特别友好多项式”的定义，可知化简后C的项数与A的项数（2项）相同，因此需要让展开式中多余项的系数为0，据此列方程求解a的值即可。
【解析】
(1) 计算$A × B$：
$\begin{aligned}(x+3)(2x-1)&=2x^2 -x +6x -3\\&=2x^2 +5x -3\end{aligned}$
多项式$A=x+3$的项数为2，化简后的结果$C=2x^2+5x-3$的项数为3，$3-2=1$，符合“C的项数比A的项数多1”的要求，因此B是A的“友好多项式”。
(2) 计算$A × B$：
$\begin{aligned}(x-3)(x^2+ax+9)&=x^3 +ax^2 +9x -3x^2 -3ax -27\\&=x^3 + (a-3)x^2 + (9-3a)x -27\end{aligned}$
已知B是A的“特别友好多项式”，$A=x-3$的项数为2，因此化简后C的项数应为2。观察上式，若要项数为2，则二次项和一次项的系数需同时为0：
$\begin{cases}a-3=0\\9-3a=0\end{cases}$
解得$a=3$，此时$C=x^3-27$，共2项，符合要求。
【答案】
(1) B是A的“友好多项式”，理由见解析；
(2) $a=3$
【知识点】
多项式乘法运算，合并同类项，新定义问题
【点评】
本题以新定义为背景考查整式的运算，解题核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则及合并同类项的方法，属于基础类创新题型。
【难度系数】
0.7
