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14. (★★)如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的测速区间AB段的平均行驶速度v(单位:km/h)与行驶时间t(单位:h)是反比例函数关系(如图②).已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h,最低车速不得低于90 km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该测速区间AB段的时间可能是 【 】
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
A.10 min
B.11 min
C.15 min
D.18 min
答案
C
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据v与t成反比例函数关系，结合图象给出的点坐标，先求出测速区间AB的总路程；第二步，根据题目给出的限速范围（最高120km/h，最低90km/h），利用公式$ t=\frac{s}{v} $分别计算出允许的最短时间和最长时间，得到时间的取值范围；第三步，对照选项，选出落在取值范围内的答案即可，解题过程中注意时间单位的换算。
【解析】
设反比例函数的解析式为$ v=\frac{k}{t} $（$ k≠0 $，$ t＞0 $），其中$ k $为AB段的总路程。
由图②可知，函数图象过点$ (0.3,80) $，将其代入解析式得：
$ k=vt=80×0.3=24(\mathrm{km}) $，即AB段路程为24km。
根据限速规定：$ 90≤ v≤120 $，结合$ t=\frac{s}{v}=\frac{24}{v} $可得：
当$ v=120\mathrm{km/h} $时，时间最短：$ t_{\mathrm{最小}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min} $
当$ v=90\mathrm{km/h} $时，时间最长：$ t_{\mathrm{最大}}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\mathrm{h}=16\mathrm{min} $
因此通过AB段的时间范围为$ 12\mathrm{min}≤ t≤16\mathrm{min} $，对照选项，只有15min在该范围内。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式
【点评】
本题结合区间测速的生活场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出测速区间的固定路程，再结合限速推导时间的取值范围，需要注意小时和分钟的单位转换，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据v与t成反比例函数关系，结合图象给出的点坐标，先求出测速区间AB的总路程；第二步，根据题目给出的限速范围（最高120km/h，最低90km/h），利用公式$ t=\frac{s}{v} $分别计算出允许的最短时间和最长时间，得到时间的取值范围；第三步，对照选项，选出落在取值范围内的答案即可，解题过程中注意时间单位的换算。
【解析】
设反比例函数的解析式为$ v=\frac{k}{t} $（$ k≠0 $，$ t＞0 $），其中$ k $为AB段的总路程。
由图②可知，函数图象过点$ (0.3,80) $，将其代入解析式得：
$ k=vt=80×0.3=24(\mathrm{km}) $，即AB段路程为24km。
根据限速规定：$ 90≤ v≤120 $，结合$ t=\frac{s}{v}=\frac{24}{v} $可得：
当$ v=120\mathrm{km/h} $时，时间最短：$ t_{\mathrm{最小}}=\frac{24}{120}=0.2\mathrm{h}=12\mathrm{min} $
当$ v=90\mathrm{km/h} $时，时间最长：$ t_{\mathrm{最大}}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\mathrm{h}=16\mathrm{min} $
因此通过AB段的时间范围为$ 12\mathrm{min}≤ t≤16\mathrm{min} $，对照选项，只有15min在该范围内。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式
【点评】
本题结合区间测速的生活场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出测速区间的固定路程，再结合限速推导时间的取值范围，需要注意小时和分钟的单位转换，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
15. (★★)如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=6 m，AB=2 m. 以O为原点，水面所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中点E在x轴上.
(1)求BC段滑梯所在的双曲线对应的函数解析式(不需写出x的取值范围)；
(2)出口C点距离水面的距离为1.5 m，求B，C之间的水平距离；
(3)若要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2 m，求点Q到水面的距离至少为多少米.
(1)求BC段滑梯所在的双曲线对应的函数解析式(不需写出x的取值范围)；
(2)出口C点距离水面的距离为1.5 m，求B，C之间的水平距离；
(3)若要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2 m，求点Q到水面的距离至少为多少米.
答案
解：
(1) ∵ 四边形AOEB是矩形，OA=6 m，AB=2 m，
∴ 点B的坐标为(2, 6)。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将B(2,6)代入解析式，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，
∴ BC段滑梯所在双曲线的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) ∵ 出口C点距离水面的距离为1.5 m，
∴ 点C的纵坐标为1.5。
将$y=1.5$代入$y=\frac{12}{x}$，得$1.5=\frac{12}{x}$，解得$x=8$，
∴ B，C之间的水平距离为$8-2=6\ \mathrm{m}$。
(3) 由题意可知，直线BE对应的解析式为$x=2$。
设点Q的横坐标为$x_Q$，∵ 点Q到BE的距离不超过2 m，且点Q在BC段上，$x_Q＞2$，
∴ $x_Q - 2 ≤ 2$，即$x_Q ≤ 4$。
∵ 双曲线$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
∴ 当$x_Q ≤ 4$时，$y_Q ≥ \frac{12}{4}=3$，
即点Q到水面的距离至少为3 m。
答：(1) 双曲线解析式为$y=\frac{12}{x}$；(2) B、C之间的水平距离为6 m；(3) 点Q到水面的距离至少为3 m。
(1) ∵ 四边形AOEB是矩形，OA=6 m，AB=2 m，
∴ 点B的坐标为(2, 6)。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将B(2,6)代入解析式，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，
∴ BC段滑梯所在双曲线的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) ∵ 出口C点距离水面的距离为1.5 m，
∴ 点C的纵坐标为1.5。
将$y=1.5$代入$y=\frac{12}{x}$，得$1.5=\frac{12}{x}$，解得$x=8$，
∴ B，C之间的水平距离为$8-2=6\ \mathrm{m}$。
(3) 由题意可知，直线BE对应的解析式为$x=2$。
设点Q的横坐标为$x_Q$，∵ 点Q到BE的距离不超过2 m，且点Q在BC段上，$x_Q＞2$，
∴ $x_Q - 2 ≤ 2$，即$x_Q ≤ 4$。
∵ 双曲线$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
∴ 当$x_Q ≤ 4$时，$y_Q ≥ \frac{12}{4}=3$，
即点Q到水面的距离至少为3 m。
答：(1) 双曲线解析式为$y=\frac{12}{x}$；(2) B、C之间的水平距离为6 m；(3) 点Q到水面的距离至少为3 m。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式的核心是确定图象上一个已知点的坐标，结合矩形AOEB的边长可直接得到点B的坐标，再利用待定系数法代入反比例函数的一般形式即可求出解析式。
(2) 水面为x轴，点到水面的距离等于该点的纵坐标，将C点纵坐标代入已求的反比例函数解析式，求出C点横坐标后，与B点横坐标作差即可得到B、C的水平距离。
(3) 直线BE的解析式为$x=2$，点Q到BE的距离不超过2m，可推出Q点横坐标的最大值；再结合反比例函数在第一象限的增减性，横坐标最大时对应纵坐标最小，该最小值就是点Q到水面的最小距离。
【解析】
(1) $\because$ 四边形AOEB是矩形，$OA=6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2,6)$。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$B(2,6)$代入解析式，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，
$\therefore$ BC段滑梯所在双曲线的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) $\because$ 出口C点距离水面的距离为$1.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点C的纵坐标为$1.5$。
将$y=1.5$代入$y=\frac{12}{x}$，得$1.5=\frac{12}{x}$，解得$x=8$，
$\therefore$ B，C之间的水平距离为$8-2=6\ \mathrm{m}$。
(3) 由题意可知，直线BE对应的解析式为$x=2$。
设点Q的横坐标为$x_Q$，$\because$ 点Q到BE的距离不超过$2\ \mathrm{m}$，且点Q在BC段上，$x_Q＞2$，
$\therefore$ $x_Q - 2 ≤ 2$，即$x_Q ≤ 4$。
$\because$ 双曲线$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x_Q ≤ 4$时，$y_Q ≥ \frac{12}{4}=3$，
即点Q到水面的距离至少为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$；(2) $6\ \mathrm{m}$；(3) $3\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题关键是建立实际距离与坐标的对应关系，灵活运用反比例函数的性质求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数解析式的核心是确定图象上一个已知点的坐标，结合矩形AOEB的边长可直接得到点B的坐标，再利用待定系数法代入反比例函数的一般形式即可求出解析式。
(2) 水面为x轴，点到水面的距离等于该点的纵坐标，将C点纵坐标代入已求的反比例函数解析式，求出C点横坐标后，与B点横坐标作差即可得到B、C的水平距离。
(3) 直线BE的解析式为$x=2$，点Q到BE的距离不超过2m，可推出Q点横坐标的最大值；再结合反比例函数在第一象限的增减性，横坐标最大时对应纵坐标最小，该最小值就是点Q到水面的最小距离。
【解析】
(1) $\because$ 四边形AOEB是矩形，$OA=6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点B的坐标为$(2,6)$。
设双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$B(2,6)$代入解析式，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$，
$\therefore$ BC段滑梯所在双曲线的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) $\because$ 出口C点距离水面的距离为$1.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点C的纵坐标为$1.5$。
将$y=1.5$代入$y=\frac{12}{x}$，得$1.5=\frac{12}{x}$，解得$x=8$，
$\therefore$ B，C之间的水平距离为$8-2=6\ \mathrm{m}$。
(3) 由题意可知，直线BE对应的解析式为$x=2$。
设点Q的横坐标为$x_Q$，$\because$ 点Q到BE的距离不超过$2\ \mathrm{m}$，且点Q在BC段上，$x_Q＞2$，
$\therefore$ $x_Q - 2 ≤ 2$，即$x_Q ≤ 4$。
$\because$ 双曲线$y=\frac{12}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
$\therefore$ 当$x_Q ≤ 4$时，$y_Q ≥ \frac{12}{4}=3$，
即点Q到水面的距离至少为$3\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$；(2) $6\ \mathrm{m}$；(3) $3\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的应用，解题关键是建立实际距离与坐标的对应关系，灵活运用反比例函数的性质求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
