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【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河边饮马后，再回到点B处宿营。他思考：怎样走，才能使所走的路程最短？
【分析问题】小亮：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的（如图2）。
小慧：你能详细解释为什么吗？
【解决问题】小亮：如图3，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，我只要说明AC+CB＜AC'+C'B即可。因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'。
……
探究1：请写出小亮完整的推理过程。
探究2：如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处。试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使所走的路程最短。（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
归纳总结
转化思想是指在解决数学问题时，将待解决的问题通过某种转化手段，归结为另一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而使原问题得到解决的一种思维方式。
【分析问题】小亮：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的（如图2）。
小慧：你能详细解释为什么吗？
【解决问题】小亮：如图3，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，我只要说明AC+CB＜AC'+C'B即可。因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'。
……
探究1：请写出小亮完整的推理过程。
探究2：如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处。试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使所走的路程最短。（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
归纳总结
转化思想是指在解决数学问题时，将待解决的问题通过某种转化手段，归结为另一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而使原问题得到解决的一种思维方式。
答案
探究1 解：因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'。
所以AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'。
在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，
所以AC+CB＜AC'+C'B。
所以作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方。
探究2 解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，则路线PE，EF，FP即为所求。
因为CE=PE，FD=FP，所以PE+EF+FP=CE+EF+FD。根据“两点之间线段最短”，可得路线PE，EF，FP即为所求。
解析
【分析】
探究1解题思路：要证明点C是饮马的最优位置，首先利用轴对称的性质，将直线l同侧的线段CB转化为CB'，把总路程AC+CB转化为AC+CB'，此时最短路径即可对应两点之间的线段AB'；再任取直线l上另一点C'，将对应总路程转化为AC'+C'B'，结合三角形三边关系即可证明AB'长度更短，从而完成证明。
探究2解题思路：要使PE+EF+FP总路程最短，需通过轴对称将三条折线转化为可直接比较长度的线段：分别作点P关于OA、OB的对称点，把PE、FP分别替换为对称后的等长线段，此时总路程即可转化为两个对称点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，线段与OA、OB的交点就是所求的E、F点。
【解析】
探究1：
∵ 直线l是点B、B'的对称轴，点C、C'在直线l上，
∴ 根据轴对称的性质可得：$ CB=CB' $，$ C'B=C'B' $。
∴ 点C处的总路程：$ AC+CB = AC+CB' = AB' $，
任取另一点C'处的总路程：$ AC'+C'B = AC'+C'B' $。
在$△ AB'C'$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$ AB' ＜ AC'+C'B' $，
代入等量关系得：$ AC+CB ＜ AC'+C'B $。
因此点C为饮马的最优位置，此时路程最短。
探究2：
1. 分别作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D；
2. 连接CD，CD与OA交于点E、与OB交于点F；
3. 连接PE、EF、FP，该路线即为最短路径。
原理：由轴对称性质得$ CE=PE $，$ FD=FP $，因此总路程$ PE+EF+FP = CE+EF+FD = CD $，根据“两点之间线段最短”，此时总路程最短。
【答案】
探究1：因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'。
所以AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'。
在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，
所以AC+CB＜AC'+C'B。
所以作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方。
探究2：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，则路线PE，EF，FP即为所求。
因为CE=PE，FD=FP，所以PE+EF+FP=CE+EF+FD。根据“两点之间线段最短”，可得路线PE，EF，FP即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题以古诗情境引入经典的“将军饮马”最短路径问题，核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将折线最短问题转化为已学的两点之间线段最短问题，充分体现了转化的数学思想，有助于培养学生将实际问题抽象为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
探究1解题思路：要证明点C是饮马的最优位置，首先利用轴对称的性质，将直线l同侧的线段CB转化为CB'，把总路程AC+CB转化为AC+CB'，此时最短路径即可对应两点之间的线段AB'；再任取直线l上另一点C'，将对应总路程转化为AC'+C'B'，结合三角形三边关系即可证明AB'长度更短，从而完成证明。
探究2解题思路：要使PE+EF+FP总路程最短，需通过轴对称将三条折线转化为可直接比较长度的线段：分别作点P关于OA、OB的对称点，把PE、FP分别替换为对称后的等长线段，此时总路程即可转化为两个对称点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，线段与OA、OB的交点就是所求的E、F点。
【解析】
探究1：
∵ 直线l是点B、B'的对称轴，点C、C'在直线l上，
∴ 根据轴对称的性质可得：$ CB=CB' $，$ C'B=C'B' $。
∴ 点C处的总路程：$ AC+CB = AC+CB' = AB' $，
任取另一点C'处的总路程：$ AC'+C'B = AC'+C'B' $。
在$△ AB'C'$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$ AB' ＜ AC'+C'B' $，
代入等量关系得：$ AC+CB ＜ AC'+C'B $。
因此点C为饮马的最优位置，此时路程最短。
探究2：
1. 分别作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D；
2. 连接CD，CD与OA交于点E、与OB交于点F；
3. 连接PE、EF、FP，该路线即为最短路径。
原理：由轴对称性质得$ CE=PE $，$ FD=FP $，因此总路程$ PE+EF+FP = CE+EF+FD = CD $，根据“两点之间线段最短”，此时总路程最短。
【答案】
探究1：因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，所以CB=CB'，C'B=C'B'。
所以AC+CB=AC+CB'=AB'，AC'+C'B=AC'+C'B'。
在△AB'C'中，AB'＜AC'+C'B'，
所以AC+CB＜AC'+C'B。
所以作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方。
探究2：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，则路线PE，EF，FP即为所求。
因为CE=PE，FD=FP，所以PE+EF+FP=CE+EF+FD。根据“两点之间线段最短”，可得路线PE，EF，FP即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题以古诗情境引入经典的“将军饮马”最短路径问题，核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将折线最短问题转化为已学的两点之间线段最短问题，充分体现了转化的数学思想，有助于培养学生将实际问题抽象为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$AB=8$，$AC=6$。若$S_{△ ACD}=12$，则$△ ABC$的面积为（
A.24
B.28
C.32
D.48
B
）A.24
B.28
C.32
D.48
答案
B
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知△ACD的面积，只需先求出△ABD的面积再相加即可。AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC两边的距离相等，即△ABD以AB为底的高和△ACD以AC为底的高相等，因此两个三角形的面积比等于对应底边长AB与AC的比，据此可算出△ABD的面积，最终得到△ABC的总面积。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=12$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$。
∵DE=DF，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
将$S_{△ACD}=12$代入得：$S_{△ABD}=12×\frac{4}{3}=16$。
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=16+12=28$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，解题时要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式，灵活运用比例关系求解。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，已知△ACD的面积，只需先求出△ABD的面积再相加即可。AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC两边的距离相等，即△ABD以AB为底的高和△ACD以AC为底的高相等，因此两个三角形的面积比等于对应底边长AB与AC的比，据此可算出△ABD的面积，最终得到△ABC的总面积。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=12$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$。
∵DE=DF，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$。
将$S_{△ACD}=12$代入得：$S_{△ABD}=12×\frac{4}{3}=16$。
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=16+12=28$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，解题时要熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式，灵活运用比例关系求解。
【难度系数】
0.7
