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8. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$在$BC$边所在的直线上，且$BC^2=BD· CE$。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ ECA$。
(2)求$∠ DAE$的度数。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ ECA$。
(2)求$∠ DAE$的度数。
答案
(1)证明:因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,所以∠ABD=∠ACE。又因为BC²=AB·AC,且BC²=BD·CE,即$\frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CA}$,所以△ABD∽△ECA。
(2)因为△ABD∽△ECA,所以∠DAB=∠CEA,又因为∠D+∠DAB=∠ABC=60°,所以∠D+∠CEA=60°,所以∠DAE=120°。
(2)因为△ABD∽△ECA,所以∠DAB=∠CEA,又因为∠D+∠DAB=∠ABC=60°,所以∠D+∠CEA=60°,所以∠DAE=120°。
9.如图，边长为a的三个正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1+∠2的度数为
45°
。答案
9.45°
10.如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在格点上。请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）。
（1）在图1中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC。
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB'C'。
（1）在图1中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC。
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB'C'。
答案
(1)如图1所示,△FEC即为所求作。(答案不唯一)
(2)如图2所示,△AB'C'即为所求作。
11. 如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，$BP=3PC$，Q是CD的中点。
(1)求证：$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2)若$AB=10$，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长。
(1)求证：$△ ADQ ∽ △ QCP$。
(2)若$AB=10$，连结BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长。
答案
(1)证明:因为正方形ABCD中,BP=3PC,Q是CD的中点,所以$PC=\frac{1}{4}BC$,$CQ=DQ=\frac{1}{2}CD$,且BC=CD=AD,所以PC:DQ=CQ:AD=1:2。因为∠PCQ=∠ADQ=90°,所以△ADQ∽△QCP。
(2)易证△BMP∽△DMA,所以BM:DM=BP:AD=3:4。因为AB=10,所以BD=10√2,所以$BM=\frac{30}{7}\sqrt{2}$,同理$QN=\frac{5}{3}\sqrt{5}$。
(2)易证△BMP∽△DMA,所以BM:DM=BP:AD=3:4。因为AB=10,所以BD=10√2,所以$BM=\frac{30}{7}\sqrt{2}$,同理$QN=\frac{5}{3}\sqrt{5}$。
