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1. 下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（
A.$x^2 + x + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 - 2x - 1$
C
）A.$x^2 + x + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 - 2x + 1$
D.$x^2 - 2x - 1$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方公式的逆用为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需要满足三个条件：①是三项式；②有两项分别是两个数（或整式）的平方，且这两项的符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。接下来我们按照这个特征逐个判断选项即可。
【解析】
我们先回顾完全平方公式的因式分解形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：$x^2 + x + 1$，其中平方项为$x^2$和$1^2$，二者乘积的2倍应为$2· x·1=2x$，但式子中间项为$x$，不符合公式特征，不能用完全平方公式因式分解；
选项B：$x^2 + 2x - 1$，两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合“两个平方项符号相同”的要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项C：$x^2 - 2x + 1$，平方项为$x^2$和$1^2$，符号均为正，中间项$-2x=-2· x·1$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式，可分解为$(x-1)^2$，符合要求；
选项D：$x^2 - 2x - 1$，两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合公式特征，不能用完全平方公式因式分解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解的适用条件，解题的核心是准确记忆完全平方公式的结构特征，属于基础概念考查类题目。
【难度系数】
0.9
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方公式因式分解的结构特征：完全平方公式的逆用为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需要满足三个条件：①是三项式；②有两项分别是两个数（或整式）的平方，且这两项的符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。接下来我们按照这个特征逐个判断选项即可。
【解析】
我们先回顾完全平方公式的因式分解形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：$x^2 + x + 1$，其中平方项为$x^2$和$1^2$，二者乘积的2倍应为$2· x·1=2x$，但式子中间项为$x$，不符合公式特征，不能用完全平方公式因式分解；
选项B：$x^2 + 2x - 1$，两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合“两个平方项符号相同”的要求，不能用完全平方公式因式分解；
选项C：$x^2 - 2x + 1$，平方项为$x^2$和$1^2$，符号均为正，中间项$-2x=-2· x·1$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式，可分解为$(x-1)^2$，符合要求；
选项D：$x^2 - 2x - 1$，两个平方项为$x^2$和$-1$，符号一正一负，不符合公式特征，不能用完全平方公式因式分解。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解的适用条件，解题的核心是准确记忆完全平方公式的结构特征，属于基础概念考查类题目。
【难度系数】
0.9
2. 因式分解：
(1)$(a+b)^2 +6(a+b)+9$；
(2)$6xy -x^2 -9y^2$。
(1)$(a+b)^2 +6(a+b)+9$；
(2)$6xy -x^2 -9y^2$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}(a+b)^2 +6(a+b)+9&=(a+b)^2 + 2· 3·(a+b) + 3^2\\&=(a+b+3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}6xy -x^2 -9y^2&=-(x^2 -6xy +9y^2)\\&=-[x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2]\\&=-(x-3y)^2\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}(a+b)^2 +6(a+b)+9&=(a+b)^2 + 2· 3·(a+b) + 3^2\\&=(a+b+3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}6xy -x^2 -9y^2&=-(x^2 -6xy +9y^2)\\&=-[x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2]\\&=-(x-3y)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
对于因式分解类题目，首先观察式子特征，优先判断是否符合公式结构，必要时先提取公因式调整式子形式。
(1) 可将$a+b$看作一个整体，式子符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的结构，其中$m=a+b$，$n=3$，直接套用公式分解即可。
(2) 首先观察到二次项系数为负，先提取负号调整式子顺序，调整后括号内的式子符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的结构，其中$m=x$，$n=3y$，套用公式后整理结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(a+b)^2 +6(a+b)+9&=(a+b)^2 + 2· 3·(a+b) + 3^2\\&=(a+b+3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}6xy -x^2 -9y^2&=-(x^2 -6xy +9y^2)\\&=-[x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2]\\&=-(x-3y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{(a+b+3)^2}$；(2)$\boldsymbol{-(x-3y)^2}$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体代换思想
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，第一题需灵活运用整体思想降低识别公式的难度，第二题要注意提取负号时各项符号的变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
对于因式分解类题目，首先观察式子特征，优先判断是否符合公式结构，必要时先提取公因式调整式子形式。
(1) 可将$a+b$看作一个整体，式子符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$的结构，其中$m=a+b$，$n=3$，直接套用公式分解即可。
(2) 首先观察到二次项系数为负，先提取负号调整式子顺序，调整后括号内的式子符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的结构，其中$m=x$，$n=3y$，套用公式后整理结果即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(a+b)^2 +6(a+b)+9&=(a+b)^2 + 2· 3·(a+b) + 3^2\\&=(a+b+3)^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}6xy -x^2 -9y^2&=-(x^2 -6xy +9y^2)\\&=-[x^2 - 2· x· 3y + (3y)^2]\\&=-(x-3y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{(a+b+3)^2}$；(2)$\boldsymbol{-(x-3y)^2}$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体代换思想
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，第一题需灵活运用整体思想降低识别公式的难度，第二题要注意提取负号时各项符号的变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
例 因式分解：
(1)$-2ax^2 + 16axy - 32ay^2$；
(2)$a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$；
(3)$(m^2 - 6)^2 - 10(6 - m^2) + 25$。
(1)$-2ax^2 + 16axy - 32ay^2$；
(2)$a^2(x - y) + 4b^2(y - x)$；
(3)$(m^2 - 6)^2 - 10(6 - m^2) + 25$。
答案
解：
(1) 原式$=-2a(x^2 - 8xy + 16y^2)$
$=-2a(x - 4y)^2$
(2) 原式$=a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) 原式$=(m^2 - 6)^2 + 10(m^2 - 6) + 25$
$=(m^2 - 6 + 5)^2$
$=(m^2 - 1)^2$
$=[(m + 1)(m - 1)]^2$
$=(m + 1)^2(m - 1)^2$
(1) 原式$=-2a(x^2 - 8xy + 16y^2)$
$=-2a(x - 4y)^2$
(2) 原式$=a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) 原式$=(m^2 - 6)^2 + 10(m^2 - 6) + 25$
$=(m^2 - 6 + 5)^2$
$=(m^2 - 1)^2$
$=[(m + 1)(m - 1)]^2$
$=(m + 1)^2(m - 1)^2$
解析
【分析】
因式分解的核心思路是“一提、二套、三查”：第一步先提取公因式，第二步套用乘法公式（完全平方公式、平方差公式），第三步检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
对于(1)：先观察到各项都有公因式$-2a$，先提取公因式，剩余的多项式符合完全平方公式的形式，套用公式分解即可。
对于(2)：先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式$(x-y)$后提取，剩余的多项式是平方差的形式，再套用平方差公式继续分解。
对于(3)：先将$(6-m^2)$变形为$-(m^2-6)$，此时原式可看作关于$(m^2-6)$的完全平方式，套用完全平方公式化简后，得到的$(m^2-1)$仍符合平方差公式，需要继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=-2a(x^2 - 8xy + 16y^2)$
$=-2a(x - 4y)^2$
(2) 原式$=a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) 原式$=(m^2 - 6)^2 + 10(m^2 - 6) + 25$
$=(m^2 - 6 + 5)^2$
$=(m^2 - 1)^2$
$=[(m + 1)(m - 1)]^2$
$=(m + 1)^2(m - 1)^2$
【答案】
(1) $-2a(x - 4y)^2$
(2) $(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) $(m + 1)^2(m - 1)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底性”的步骤，尤其要注意互为相反数的多项式的符号转换，避免因符号错误或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.7
因式分解的核心思路是“一提、二套、三查”：第一步先提取公因式，第二步套用乘法公式（完全平方公式、平方差公式），第三步检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
对于(1)：先观察到各项都有公因式$-2a$，先提取公因式，剩余的多项式符合完全平方公式的形式，套用公式分解即可。
对于(2)：先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式$(x-y)$后提取，剩余的多项式是平方差的形式，再套用平方差公式继续分解。
对于(3)：先将$(6-m^2)$变形为$-(m^2-6)$，此时原式可看作关于$(m^2-6)$的完全平方式，套用完全平方公式化简后，得到的$(m^2-1)$仍符合平方差公式，需要继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=-2a(x^2 - 8xy + 16y^2)$
$=-2a(x - 4y)^2$
(2) 原式$=a^2(x - y) - 4b^2(x - y)$
$=(x - y)(a^2 - 4b^2)$
$=(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) 原式$=(m^2 - 6)^2 + 10(m^2 - 6) + 25$
$=(m^2 - 6 + 5)^2$
$=(m^2 - 1)^2$
$=[(m + 1)(m - 1)]^2$
$=(m + 1)^2(m - 1)^2$
【答案】
(1) $-2a(x - 4y)^2$
(2) $(x - y)(a + 2b)(a - 2b)$
(3) $(m + 1)^2(m - 1)^2$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底性”的步骤，尤其要注意互为相反数的多项式的符号转换，避免因符号错误或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.7
因式分解：
(1) $-m^2 + 6mn - 9n^2$；
(2) $16m^2 - 8m + 1$；
(3) $3m^2 - 12mn + 12n^2$。
(1) $-m^2 + 6mn - 9n^2$；
(2) $16m^2 - 8m + 1$；
(3) $3m^2 - 12mn + 12n^2$。
答案
(1) $-m^2 + 6mn - 9n^2 = -(m^2 - 6mn + 9n^2) = -(m - 3n)^2$。
(2) $16m^2 - 8m + 1 = (4m - 1)^2$。
(3) $3m^2 - 12mn + 12n^2 = 3(m^2 - 4mn + 4n^2) = 3(m - 2n)^2$。
(2) $16m^2 - 8m + 1 = (4m - 1)^2$。
(3) $3m^2 - 12mn + 12n^2 = 3(m^2 - 4mn + 4n^2) = 3(m - 2n)^2$。
解析
【分析】
本题考查因式分解的应用，解题核心是熟练掌握提公因式法和完全平方公式的结构特征（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），可按照“先提公因式、再套用公式”的思路解题：
1. 第(1)题首项系数为负，先提取负号将括号内的二次三项式变为正系数形式，再判断其符合完全平方公式结构后套用公式分解；
2. 第(2)题直接识别各项对应完全平方公式的$a^2$、$2ab$、$b^2$项，确认符合后直接套用完全平方差公式分解；
3. 第(3)题先提取三项的公因式3，再对剩余的二次三项式套用完全平方公式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取负号，再套用完全平方公式：
$-m^2 + 6mn - 9n^2 = -(m^2 - 6mn + 9n^2) = -(m - 3n)^2$
(2) 直接识别完全平方式，套用公式：
$16m^2 - 8m + 1 = (4m)^2 - 2×4m×1 + 1^2 = (4m - 1)^2$
(3) 先提取公因式3，再套用完全平方公式：
$3m^2 - 12mn + 12n^2 = 3(m^2 - 4mn + 4n^2) = 3(m - 2n)^2$
【答案】
(1) $-(m - 3n)^2$；(2) $(4m - 1)^2$；(3) $3(m - 2n)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要养成先观察式子特征的习惯：有公因式先提取公因式，首项为负可先提取负号简化计算，再判断是否符合乘法公式结构，最终要保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的应用，解题核心是熟练掌握提公因式法和完全平方公式的结构特征（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），可按照“先提公因式、再套用公式”的思路解题：
1. 第(1)题首项系数为负，先提取负号将括号内的二次三项式变为正系数形式，再判断其符合完全平方公式结构后套用公式分解；
2. 第(2)题直接识别各项对应完全平方公式的$a^2$、$2ab$、$b^2$项，确认符合后直接套用完全平方差公式分解；
3. 第(3)题先提取三项的公因式3，再对剩余的二次三项式套用完全平方公式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取负号，再套用完全平方公式：
$-m^2 + 6mn - 9n^2 = -(m^2 - 6mn + 9n^2) = -(m - 3n)^2$
(2) 直接识别完全平方式，套用公式：
$16m^2 - 8m + 1 = (4m)^2 - 2×4m×1 + 1^2 = (4m - 1)^2$
(3) 先提取公因式3，再套用完全平方公式：
$3m^2 - 12mn + 12n^2 = 3(m^2 - 4mn + 4n^2) = 3(m - 2n)^2$
【答案】
(1) $-(m - 3n)^2$；(2) $(4m - 1)^2$；(3) $3(m - 2n)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要养成先观察式子特征的习惯：有公因式先提取公因式，首项为负可先提取负号简化计算，再判断是否符合乘法公式结构，最终要保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
完全平方公式
完全平方公式
应用
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的
请根据本课所学，构建知识体系。
完全平方公式
完全平方公式
应用
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的
平方
答案
平方
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的完全平方与差的完全平方两种，无论正用还是逆用，公式右侧都是两个数和/差的平方形式，对应题干描述的左侧结构（两个数的平方和±两数乘积的2倍），直接匹配公式特征就能得到答案。
【解析】
我们学过的完全平方公式为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将上述公式逆用可得：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
对应题干表述，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方，因此空缺处填“平方”。
【答案】
平方
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对完全平方公式结构的掌握程度，牢记完全平方公式的正、逆两种形式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式分为和的完全平方与差的完全平方两种，无论正用还是逆用，公式右侧都是两个数和/差的平方形式，对应题干描述的左侧结构（两个数的平方和±两数乘积的2倍），直接匹配公式特征就能得到答案。
【解析】
我们学过的完全平方公式为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将上述公式逆用可得：
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
对应题干表述，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方，因此空缺处填“平方”。
【答案】
平方
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对完全平方公式结构的掌握程度，牢记完全平方公式的正、逆两种形式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
回顾复习：完成下列填空。
(1)$a^3 - ab^2 =$
(2)$3a^2 - 6ab + 3b^2 =$
(3)$10a^2b + 20ab^2 + 10b^3 =$
类比探究：多项式$x(x+6)+9$能进行因式分解吗？
分析：多项式没有
去括号，得$x^2 + 6x + 9$。$x^2 + 6x + 9$是三项式，可以运用
实践应用：将下列各式因式分解。
(1)$x(x+2)(x-2) - 4x^2 - 8x$；
(2)$(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$。
归纳总结
因式分解的步骤：
(1)有公因式时，应先提取公因式；
(2)没有公因式时，考虑是否符合公式的特征，能否用公式法分解
因式；
(3)如果用上述方法也不能分解因式，那么考虑先去括号、合并同类项，再进行因式分解；
(4)因式分解要分解到不能再分解为止。
即时测评
(1)$a^3 - ab^2 =$
a(a+b)(a−b)
；(2)$3a^2 - 6ab + 3b^2 =$
3(a−b)²
；(3)$10a^2b + 20ab^2 + 10b^3 =$
10b(a+b)²
。类比探究：多项式$x(x+6)+9$能进行因式分解吗？
分析：多项式没有
公因
式，两项也不能利用 平方差
公式进行分解，所以先 去括号
。去括号，得$x^2 + 6x + 9$。$x^2 + 6x + 9$是三项式，可以运用
完全平方
公式进行因式分解，所以$x(x+6)+9 = x^2 + 6x + 9 =$ (x+3)²
。结论：对于有括号的多项式，可以先 去括号
，再进行因式分解。实践应用：将下列各式因式分解。
(1)$x(x+2)(x-2) - 4x^2 - 8x$；
(2)$(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$。
归纳总结
因式分解的步骤：
(1)有公因式时，应先提取公因式；
(2)没有公因式时，考虑是否符合公式的特征，能否用公式法分解
因式；(3)如果用上述方法也不能分解因式，那么考虑先去括号、合并同类项，再进行因式分解；
(4)因式分解要分解到不能再分解为止。
即时测评
答案
(1) a(a+b)(a−b)
(2) 3(a−b)²
(3) 10b(a+b)²
类比探究答案依次：公因、平方差、去括号、完全平方、(x+3)²、去括号
实践应用：
(1) $x(x+2)(x−2)−4x^2−8x = x(x+2)(x−2)−4x(x+2) = x(x+2)(x−6)$
(2) $(x^2 + 16y^2)^2 − 64x^2y^2 = (x^2 + 16y^2 + 8xy)·(x^2 + 16y^2 − 8xy) = (x + 4y)^2(x − 4y)^2$
(2) 3(a−b)²
(3) 10b(a+b)²
类比探究答案依次：公因、平方差、去括号、完全平方、(x+3)²、去括号
实践应用：
(1) $x(x+2)(x−2)−4x^2−8x = x(x+2)(x−2)−4x(x+2) = x(x+2)(x−6)$
(2) $(x^2 + 16y^2)^2 − 64x^2y^2 = (x^2 + 16y^2 + 8xy)·(x^2 + 16y^2 − 8xy) = (x + 4y)^2(x − 4y)^2$
解析
【分析】
解题时严格遵循因式分解“一提二套三整理四彻底”的思路：①先观察多项式是否有公因式，有则先提取公因式；②无公因式时判断是否符合平方差或完全平方公式的特征，对应套用公式；③若上述方法不可行，先去括号、合并同类项整理多项式，再按前两步分解；④最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
回顾复习
(1) 对$a^3 - ab^2$，先提取公因式$a$得$a(a^2 - b^2)$，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得最终结果。
(2) 对$3a^2 - 6ab + 3b^2$，先提取公因式3得$3(a^2-2ab+b^2)$，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得最终结果。
(3) 对$10a^2b + 20ab^2 + 10b^3$，先提取公因式$10b$得$10b(a^2+2ab+b^2)$，再套用完全平方公式，得最终结果。
类比探究
多项式$x(x+6)+9$没有公因式，两项不符合平方差公式的特征，所以先去括号，整理得$x^2+6x+9$，该式符合完全平方公式特征，分解得$(x+3)^2$，因此带括号的多项式可先去括号整理，再因式分解。
实践应用
(1) $x(x+2)(x-2) - 4x^2 - 8x$
先整理后两项提取公因式，得$x(x+2)(x-2)-4x(x+2)$，再提取整体公因式$x(x+2)$，得$x(x+2)[(x-2)-4]$，合并括号内同类项，得最终结果。
(2) $(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$
该式符合平方差公式特征，令$A=x^2+16y^2$、$B=8xy$，分解得$(x^2+16y^2+8xy)(x^2+16y^2-8xy)$，两个因式分别符合完全平方公式特征，继续分解得最终结果。
【答案】
回顾复习：(1)$a(a+b)(a−b)$；(2)$3(a−b)^2$；(3)$10b(a+b)^2$
类比探究：公因、平方差、去括号、完全平方、$(x+3)^2$、去括号
实践应用：(1)$x(x+2)(x-6)$；(2)$(x+4y)^2(x-4y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，因式分解的步骤
【点评】
本题围绕因式分解的通用步骤命题，既考查基础的提公因式、公式法分解的能力，也考查带括号多项式的整理分解能力，需要牢记因式分解要分解到每一个因式都不可再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题时严格遵循因式分解“一提二套三整理四彻底”的思路：①先观察多项式是否有公因式，有则先提取公因式；②无公因式时判断是否符合平方差或完全平方公式的特征，对应套用公式；③若上述方法不可行，先去括号、合并同类项整理多项式，再按前两步分解；④最后检查是否分解到每一个因式都不能再分解即可。
【解析】
回顾复习
(1) 对$a^3 - ab^2$，先提取公因式$a$得$a(a^2 - b^2)$，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得最终结果。
(2) 对$3a^2 - 6ab + 3b^2$，先提取公因式3得$3(a^2-2ab+b^2)$，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，得最终结果。
(3) 对$10a^2b + 20ab^2 + 10b^3$，先提取公因式$10b$得$10b(a^2+2ab+b^2)$，再套用完全平方公式，得最终结果。
类比探究
多项式$x(x+6)+9$没有公因式，两项不符合平方差公式的特征，所以先去括号，整理得$x^2+6x+9$，该式符合完全平方公式特征，分解得$(x+3)^2$，因此带括号的多项式可先去括号整理，再因式分解。
实践应用
(1) $x(x+2)(x-2) - 4x^2 - 8x$
先整理后两项提取公因式，得$x(x+2)(x-2)-4x(x+2)$，再提取整体公因式$x(x+2)$，得$x(x+2)[(x-2)-4]$，合并括号内同类项，得最终结果。
(2) $(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$
该式符合平方差公式特征，令$A=x^2+16y^2$、$B=8xy$，分解得$(x^2+16y^2+8xy)(x^2+16y^2-8xy)$，两个因式分别符合完全平方公式特征，继续分解得最终结果。
【答案】
回顾复习：(1)$a(a+b)(a−b)$；(2)$3(a−b)^2$；(3)$10b(a+b)^2$
类比探究：公因、平方差、去括号、完全平方、$(x+3)^2$、去括号
实践应用：(1)$x(x+2)(x-6)$；(2)$(x+4y)^2(x-4y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，因式分解的步骤
【点评】
本题围绕因式分解的通用步骤命题，既考查基础的提公因式、公式法分解的能力，也考查带括号多项式的整理分解能力，需要牢记因式分解要分解到每一个因式都不可再分解为止。
【难度系数】
0.7
