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例1 某店铺出售边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正八边形地板砖，小明想买其中的两种来密铺客厅地面，则下列组合可以选择的是 （）
A. 正三角形、正五边形
B. 正方形、正八边形
C. 正三角形、正八边形
D. 正方形、正五边形
[点拨] 计算各选项内角并验证是否存在整数组合。
[解] 由正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$可得:正三角形内角为$60°$,正方形为$90°$,正五边形为$108°$,正八边形为$135°$。A. $60m + 108n = 360$,可化简为$5m + 9n = 30$,无非负整数解(需两种多边形),故错误,不符合题意;
B. $90m + 135n = 360$,化简为$2m + 3n = 8$,当
$m=1,n=2$时,$90×1 + 135×2 = 360°$,符合题意;C. $60m + 135n = 360$,化简为$4m + 9n = 24$,无非负整数解,故错误,不符合题意;D. $90m + 108n = 360$,化简为$5m + 6n = 20$,无非负整数解,故错误,不符合题意。故选B。
A. 正三角形、正五边形
B. 正方形、正八边形
C. 正三角形、正八边形
D. 正方形、正五边形
[点拨] 计算各选项内角并验证是否存在整数组合。
[解] 由正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$可得:正三角形内角为$60°$,正方形为$90°$,正五边形为$108°$,正八边形为$135°$。A. $60m + 108n = 360$,可化简为$5m + 9n = 30$,无非负整数解(需两种多边形),故错误,不符合题意;
B. $90m + 135n = 360$,化简为$2m + 3n = 8$,当
$m=1,n=2$时,$90×1 + 135×2 = 360°$,符合题意;C. $60m + 135n = 360$,化简为$4m + 9n = 24$,无非负整数解,故错误,不符合题意;D. $90m + 108n = 360$,化简为$5m + 6n = 20$,无非负整数解,故错误,不符合题意。故选B。
答案
解：由正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$可得：
正三角形内角为$60°$，正方形内角为$90°$，正五边形内角为$108°$，正八边形内角为$135°$。
密铺要求同一拼接点处的内角和为$360°$，设两种正多边形的使用个数分别为正整数$m、n$，逐一验证：
A. 列方程$60m + 108n = 360$，化简得$5m + 9n = 30$，不存在正整数解，不能密铺；
B. 列方程$90m + 135n = 360$，化简得$2m + 3n = 8$，当$m=1,n=2$时，$90×1 + 135×2 = 360°$，满足密铺要求；
C. 列方程$60m + 135n = 360$，化简得$4m + 9n = 24$，不存在正整数解，不能密铺；
D. 列方程$90m + 108n = 360$，化简得$5m + 6n = 20$，不存在正整数解，不能密铺。
综上，答案选B。
正三角形内角为$60°$，正方形内角为$90°$，正五边形内角为$108°$，正八边形内角为$135°$。
密铺要求同一拼接点处的内角和为$360°$，设两种正多边形的使用个数分别为正整数$m、n$，逐一验证：
A. 列方程$60m + 108n = 360$，化简得$5m + 9n = 30$，不存在正整数解，不能密铺；
B. 列方程$90m + 135n = 360$，化简得$2m + 3n = 8$，当$m=1,n=2$时，$90×1 + 135×2 = 360°$，满足密铺要求；
C. 列方程$60m + 135n = 360$，化简得$4m + 9n = 24$，不存在正整数解，不能密铺；
D. 列方程$90m + 108n = 360$，化简得$5m + 6n = 20$，不存在正整数解，不能密铺。
综上，答案选B。
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面密铺的核心条件：同一拼接点处，参与拼接的正多边形内角和恰好为360°，且两种多边形都需使用（个数均为正整数）。解题思路如下：第一步，利用正多边形内角公式先计算出题干中4种正多边形的单个内角度数；第二步，对每个选项中的两种正多边形，分别设它们的使用个数为正整数m、n，根据内角和为360°列二元一次方程，验证方程是否存在正整数解，有解则该组合可以密铺，无解则不能。
【解析】
首先根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$计算各正多边形的内角度数：
正三角形内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，正方形内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，正八边形内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$。
密铺要求同一拼接点处的内角和为360°，设两种正多边形的使用个数分别为正整数$m、n$，逐一验证选项：
A. 列方程$60m + 108n = 360$，化简得$5m + 9n = 30$，不存在正整数解，不能密铺；
B. 列方程$90m + 135n = 360$，化简得$2m + 3n = 8$，当$m=1,n=2$时，$90×1 + 135×2 = 360°$，满足密铺要求；
C. 列方程$60m + 135n = 360$，化简得$4m + 9n = 24$，不存在正整数解，不能密铺；
D. 列方程$90m + 108n = 360$，化简得$5m + 6n = 20$，不存在正整数解，不能密铺。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、平面密铺条件、二元一次方程整数解
【点评】
本题是平面密铺的常规考查题，解题核心是抓住密铺的判定规则，结合正多边形内角公式通过方程验证整数解即可，注重知识点的实际应用。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确平面密铺的核心条件：同一拼接点处，参与拼接的正多边形内角和恰好为360°，且两种多边形都需使用（个数均为正整数）。解题思路如下：第一步，利用正多边形内角公式先计算出题干中4种正多边形的单个内角度数；第二步，对每个选项中的两种正多边形，分别设它们的使用个数为正整数m、n，根据内角和为360°列二元一次方程，验证方程是否存在正整数解，有解则该组合可以密铺，无解则不能。
【解析】
首先根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$计算各正多边形的内角度数：
正三角形内角为$\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，正方形内角为$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$，正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，正八边形内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$。
密铺要求同一拼接点处的内角和为360°，设两种正多边形的使用个数分别为正整数$m、n$，逐一验证选项：
A. 列方程$60m + 108n = 360$，化简得$5m + 9n = 30$，不存在正整数解，不能密铺；
B. 列方程$90m + 135n = 360$，化简得$2m + 3n = 8$，当$m=1,n=2$时，$90×1 + 135×2 = 360°$，满足密铺要求；
C. 列方程$60m + 135n = 360$，化简得$4m + 9n = 24$，不存在正整数解，不能密铺；
D. 列方程$90m + 108n = 360$，化简得$5m + 6n = 20$，不存在正整数解，不能密铺。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算、平面密铺条件、二元一次方程整数解
【点评】
本题是平面密铺的常规考查题，解题核心是抓住密铺的判定规则，结合正多边形内角公式通过方程验证整数解即可，注重知识点的实际应用。
【难度系数】
0.7
|变式训练1| 小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖铺设地面，在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，若想铺成平整无缝隙的地面，则还需要的瓷砖形状是 （
A.正十二边形
B.正十三边形
C.正十四边
D.正十五边形
D
）A.正十二边形
B.正十三边形
C.正十四边
D.正十五边形
答案
D
解析
【分析】
要解决正多边形镶嵌的问题，首先明确平面镶嵌的核心条件：同一拼接顶点处，所有正多边形的内角之和等于360°。解题时先分别计算已知的正三角形、正十边形的内角度数，用360°减去这两个内角的和得到第三个正多边形的内角度数，再结合正多边形内角和公式反推其边数，匹配选项即可。
【解析】
1. 计算正三角形的内角：正三角形每个内角为$180°÷3=60°$；
2. 计算正十边形的内角：正$n$边形内角和公式为$(n-2)×180°$，因此正十边形每个内角为$\frac{(10-2)×180°}{10}=144°$；
3. 求第三个正多边形的内角度数：$360°-60°-144°=156°$；
4. 设第三个正多边形的边数为$n$，根据内角公式列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=156°$
去分母得：$180(n-2)=156n$
展开整理得：$24n=360$
解得：$n=15$
因此还需要的瓷砖是正十五边形。
【答案】
D
【知识点】
平面镶嵌，正多边形内角计算，一元一次方程应用
【点评】
本题围绕平面镶嵌的核心性质命题，解题关键是牢记拼接顶点处内角和为360°，结合正多边形内角公式即可求解，是密铺类知识点的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决正多边形镶嵌的问题，首先明确平面镶嵌的核心条件：同一拼接顶点处，所有正多边形的内角之和等于360°。解题时先分别计算已知的正三角形、正十边形的内角度数，用360°减去这两个内角的和得到第三个正多边形的内角度数，再结合正多边形内角和公式反推其边数，匹配选项即可。
【解析】
1. 计算正三角形的内角：正三角形每个内角为$180°÷3=60°$；
2. 计算正十边形的内角：正$n$边形内角和公式为$(n-2)×180°$，因此正十边形每个内角为$\frac{(10-2)×180°}{10}=144°$；
3. 求第三个正多边形的内角度数：$360°-60°-144°=156°$；
4. 设第三个正多边形的边数为$n$，根据内角公式列方程：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=156°$
去分母得：$180(n-2)=156n$
展开整理得：$24n=360$
解得：$n=15$
因此还需要的瓷砖是正十五边形。
【答案】
D
【知识点】
平面镶嵌，正多边形内角计算，一元一次方程应用
【点评】
本题围绕平面镶嵌的核心性质命题，解题关键是牢记拼接顶点处内角和为360°，结合正多边形内角公式即可求解，是密铺类知识点的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
例2 经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种,如图(1)为其中一种五边形的密铺图。图(2)为图(1)中抽象出的一个五边形,其中$∠C=∠E=90°,∠A=∠B=∠D$,则$∠A$的度数为。
[点拨] 先根据多边形内角和定理可得$(5-2)×180°=540°$,然后再根据题意即可得出答案。
[解] 根据多边形内角和定理得
$(5-2)×180°=540°$,
$\therefore ∠A=\frac{540°-180°}{3}=120°$。
故答案为120°。
[点拨] 先根据多边形内角和定理可得$(5-2)×180°=540°$,然后再根据题意即可得出答案。
[解] 根据多边形内角和定理得
$(5-2)×180°=540°$,
$\therefore ∠A=\frac{540°-180°}{3}=120°$。
故答案为120°。
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
要求∠A的度数，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$。本题中研究的是五边形，先计算出五边形的总内角和，再结合已知条件：$∠C$、$∠E$均为$90°$，$∠A=∠B=∠D$，用总内角和减去两个直角的度数，剩下的度数就是三个相等角的度数和，除以3即可得到$∠A$的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式，五边形的内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
已知$∠C=∠E=90°$，$∠A=∠B=∠D$，因此可得：
$∠A+∠B+∠D+∠C+∠E=540°$
代入已知角度：
$3∠A+90°+90°=540°$
整理得：
$3∠A=540°-180°=360°$
解得：
$∠A=360°÷3=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 角度运算
【点评】
本题结合密铺的实际背景，考查多边形内角和公式的基础应用，解题的核心是熟记内角和公式，结合题目给出的角的等量关系列式计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要求∠A的度数，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$。本题中研究的是五边形，先计算出五边形的总内角和，再结合已知条件：$∠C$、$∠E$均为$90°$，$∠A=∠B=∠D$，用总内角和减去两个直角的度数，剩下的度数就是三个相等角的度数和，除以3即可得到$∠A$的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式，五边形的内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
已知$∠C=∠E=90°$，$∠A=∠B=∠D$，因此可得：
$∠A+∠B+∠D+∠C+∠E=540°$
代入已知角度：
$3∠A+90°+90°=540°$
整理得：
$3∠A=540°-180°=360°$
解得：
$∠A=360°÷3=120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 角度运算
【点评】
本题结合密铺的实际背景，考查多边形内角和公式的基础应用，解题的核心是熟记内角和公式，结合题目给出的角的等量关系列式计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
