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1. 下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是 (
C
)答案
1.C
解析
【分析】
要判断两个三角形是否关于点O对称，需依据中心对称的定义思考：若两个图形关于某点中心对称，将其中一个图形绕该点旋转180°后，能与另一个图形完全重合。解题时可逐一验证每个选项中的两个阴影三角形，绕正方形中心O旋转180°后是否重合，即可得出正确答案。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称。
对各选项逐一分析：
选项A：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求；
选项B：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求；
选项C：将左侧阴影三角形绕点O旋转180°后，恰好与右侧阴影三角形完全重合，符合关于点O对称的特征；
选项D：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的判定，正方形的性质
【点评】
本题是基础的中心对称识别题，解题的核心是牢牢抓住“绕对称中心旋转180°后两图形重合”这一判断依据，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否关于点O对称，需依据中心对称的定义思考：若两个图形关于某点中心对称，将其中一个图形绕该点旋转180°后，能与另一个图形完全重合。解题时可逐一验证每个选项中的两个阴影三角形，绕正方形中心O旋转180°后是否重合，即可得出正确答案。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称。
对各选项逐一分析：
选项A：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求；
选项B：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求；
选项C：将左侧阴影三角形绕点O旋转180°后，恰好与右侧阴影三角形完全重合，符合关于点O对称的特征；
选项D：将其中一个阴影三角形绕点O旋转180°后，无法与另一个阴影三角形重合，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的判定，正方形的性质
【点评】
本题是基础的中心对称识别题，解题的核心是牢牢抓住“绕对称中心旋转180°后两图形重合”这一判断依据，即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$O$对称，则下列结论不成立的是 （
A.$AB=A'B'$
B.$BO=B'O$
C.$AB// A'B'$
D.$∠ ACB=∠ C'A'B'$
D
）A.$AB=A'B'$
B.$BO=B'O$
C.$AB// A'B'$
D.$∠ ACB=∠ C'A'B'$
答案
2.D
解析
【分析】
拿到本题首先明确考点为中心对称的性质，解题思路如下：第一步先回忆中心对称的核心性质：①成中心对称的两个图形全等，对应边、对应角相等；②对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；③对应线段平行（或共线）且相等。第二步结合性质逐一验证四个选项，找出不成立的结论即可。
【解析】
∵$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$O$成中心对称
∴$△ ABC≌△ A'B'C'$，对应点连线被点$O$平分，对应线段平行且相等
选项A：$AB$和$A'B'$是全等三角形的对应边，因此$AB=A'B'$，结论成立，不符合题意；
选项B：点$B$和点$B'$是对应点，因此对应点到对称中心的距离相等，即$BO=B'O$，结论成立，不符合题意；
选项C：$AB$和$A'B'$是对应线段，因此$AB// A'B'$，结论成立，不符合题意；
选项D：$∠ ACB$的对应角是$∠ A'C'B'$，和$∠ C'A'B'$不是对应角，二者不一定相等，结论不成立，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握中心对称的相关性质，易错点为混淆全等三角形的对应角，导致误判选项。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确考点为中心对称的性质，解题思路如下：第一步先回忆中心对称的核心性质：①成中心对称的两个图形全等，对应边、对应角相等；②对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；③对应线段平行（或共线）且相等。第二步结合性质逐一验证四个选项，找出不成立的结论即可。
【解析】
∵$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$O$成中心对称
∴$△ ABC≌△ A'B'C'$，对应点连线被点$O$平分，对应线段平行且相等
选项A：$AB$和$A'B'$是全等三角形的对应边，因此$AB=A'B'$，结论成立，不符合题意；
选项B：点$B$和点$B'$是对应点，因此对应点到对称中心的距离相等，即$BO=B'O$，结论成立，不符合题意；
选项C：$AB$和$A'B'$是对应线段，因此$AB// A'B'$，结论成立，不符合题意；
选项D：$∠ ACB$的对应角是$∠ A'C'B'$，和$∠ C'A'B'$不是对应角，二者不一定相等，结论不成立，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握中心对称的相关性质，易错点为混淆全等三角形的对应角，导致误判选项。
【难度系数】
0.8
3. 如图,线段 AB 与 CD 关于点 O 对称,若∠ABO=40°,则∠CDO 的度数为 (
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
)A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“线段AB与CD关于点O对称”这一核心条件，回忆中心对称的相关性质：关于某点中心对称的两个图形是全等形，对应角相等。首先可判断出△AOB和△COD关于点O中心对称，二者全等，进而找到∠ABO的对应角为∠CDO，即可推出两角相等，代入已知角度就能得到答案。
【解析】
∵线段AB与CD关于点O对称，
∴△AOB与△COD关于点O中心对称，
根据中心对称的性质可知，中心对称的两个图形全等，即$△ AOB ≌ △ COD$，
∴$∠ CDO=∠ ABO$，
又
∵$∠ ABO=40°$，
∴$∠ CDO=40°$。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对中心对称性质的理解与应用，只要熟练掌握中心对称的图形全等、对应角相等的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住题干中“线段AB与CD关于点O对称”这一核心条件，回忆中心对称的相关性质：关于某点中心对称的两个图形是全等形，对应角相等。首先可判断出△AOB和△COD关于点O中心对称，二者全等，进而找到∠ABO的对应角为∠CDO，即可推出两角相等，代入已知角度就能得到答案。
【解析】
∵线段AB与CD关于点O对称，
∴△AOB与△COD关于点O中心对称，
根据中心对称的性质可知，中心对称的两个图形全等，即$△ AOB ≌ △ COD$，
∴$∠ CDO=∠ ABO$，
又
∵$∠ ABO=40°$，
∴$∠ CDO=40°$。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对中心对称性质的理解与应用，只要熟练掌握中心对称的图形全等、对应角相等的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C落在点C'处,则CC'的长为
4
.答案
4.4
解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长度；再根据“将图形绕某点旋转180°属于中心对称变换，对称中心平分两个对称点的连线”这一性质，可知点A是线段CC'的中点，因此CC'的长度为AC的2倍，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB是∠C所对的直角边，
∴ AC = 2AB = 2×1 = 2。
∵ △ABC绕顶点A旋转180°得到△AB'C'，点C的对应点为C'，
根据中心对称的性质，对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，
∴ AC' = AC = 2，且A、C、C'三点共线，
∴ CC' = AC + AC' = 2 + 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角性质，中心对称的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将特殊直角三角形的性质和中心对称的性质结合考查，解题的关键是明确旋转180°后对应点连线被旋转中心平分，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长度；再根据“将图形绕某点旋转180°属于中心对称变换，对称中心平分两个对称点的连线”这一性质，可知点A是线段CC'的中点，因此CC'的长度为AC的2倍，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，AB是∠C所对的直角边，
∴ AC = 2AB = 2×1 = 2。
∵ △ABC绕顶点A旋转180°得到△AB'C'，点C的对应点为C'，
根据中心对称的性质，对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，
∴ AC' = AC = 2，且A、C、C'三点共线，
∴ CC' = AC + AC' = 2 + 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形30°角性质，中心对称的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将特殊直角三角形的性质和中心对称的性质结合考查，解题的关键是明确旋转180°后对应点连线被旋转中心平分，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知 $ AE = \sqrt{13} $，$ AC = 1 $，$ ∠ D = 90° $，
$ △ DEC $ 与 $ △ ABC $ 关于点 $ C $ 对称，则 $ AB $ 的长是
$ △ DEC $ 与 $ △ ABC $ 关于点 $ C $ 对称，则 $ AB $ 的长是
3
。答案
5.3
解析
【分析】解题时先从已知的中心对称关系入手，根据中心对称的性质可知两个对称的三角形全等，能得到对应边相等，即CD=AC、DE=AB，先算出AD的长度。再结合∠D是直角，可在Rt△ADE中利用勾股定理求出DE的长，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵△DEC与△ABC关于点C对称
∴△DEC≌△ABC
∴CD=AC=1，DE=AB
∴AD=AC+CD=1+1=2
又
∵∠D=90°，
∴△ADE是直角三角形
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$DE^2 + AD^2 = AE^2$
将$AE=\sqrt{13}$，$AD=2$代入得：
$DE^2 + 2^2 = (\sqrt{13})^2$
即$DE^2 + 4 =13$，解得$DE^2=9$
∵边长为正数，
∴$DE=3$
∵$DE=AB$，
∴$AB=3$
【答案】
3
【知识点】
中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，将未知的AB转化为直角三角形的直角边DE，再利用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.75
【解析】
解：
∵△DEC与△ABC关于点C对称
∴△DEC≌△ABC
∴CD=AC=1，DE=AB
∴AD=AC+CD=1+1=2
又
∵∠D=90°，
∴△ADE是直角三角形
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$DE^2 + AD^2 = AE^2$
将$AE=\sqrt{13}$，$AD=2$代入得：
$DE^2 + 2^2 = (\sqrt{13})^2$
即$DE^2 + 4 =13$，解得$DE^2=9$
∵边长为正数，
∴$DE=3$
∵$DE=AB$，
∴$AB=3$
【答案】
3
【知识点】
中心对称的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，将未知的AB转化为直角三角形的直角边DE，再利用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.75
6. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点坐标分别为$A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2)$.
(1)把$△ ABC$向右平移6个单位长度后得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2)画出$△ ABC$关于原点对称的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3)$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$是否成中心对称,若是,请直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
(1)把$△ ABC$向右平移6个单位长度后得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2)画出$△ ABC$关于原点对称的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
(3)$△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$是否成中心对称,若是,请直接写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
答案
6.(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3)△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成中心对称,对称中心的坐标为(3,0).
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称作图及中心对称的判定，解题思路如下：
1. 第(1)问平移作图：向右平移6个单位长度时，点的横坐标加6、纵坐标不变，先计算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
2. 第(2)问关于原点对称的作图：根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，计算出三个顶点的对称点坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂。
3. 第(3)问判断是否中心对称：中心对称的图形对应点连线都经过对称中心，且对称中心是对应点连线的中点，只需计算两组对应点连线的中点，若中点坐标相同则为中心对称，该中点即为对称中心。
【解析】
(1) 点向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变：
$A(-3,4)$平移后得$A_1(-3+6,4)=(3,4)$，
$B(-5,1)$平移后得$B_1(-5+6,1)=(1,1)$，
$C(-1,2)$平移后得$C_1(-1+6,2)=(5,2)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数：
$A(-3,4)$关于原点对称的点$A_2(3,-4)$，
$B(-5,1)$关于原点对称的点$B_2(5,-1)$，
$C(-1,2)$关于原点对称的点$C_2(1,-2)$，
在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 计算对应点连线的中点：
$A_1(3,4)$与$A_2(3,-4)$的中点为$( \frac{3+3}{2},\frac{4+( -4 )}{2} )=(3,0)$，
$B_1(1,1)$与$B_2(5,-1)$的中点为$( \frac{1+5}{2},\frac{1+( -1 )}{2} )=(3,0)$，
$C_1(5,2)$与$C_2(1,-2)$的中点为$( \frac{5+1}{2},\frac{2+( -2 )}{2} )=(3,0)$，
三组对应点连线的中点均为$(3,0)$，说明$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心为$(3,0)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2) 如图，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求。
(3) $△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称，对称中心的坐标为$(3,0)$。
【知识点】
坐标平移规律，关于原点对称的点的坐标，中心对称的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查坐标变换规则的应用，掌握平移、中心对称对应的坐标变化规律，即可快速准确完成作图和判定。
【难度系数】
0.75
本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称作图及中心对称的判定，解题思路如下：
1. 第(1)问平移作图：向右平移6个单位长度时，点的横坐标加6、纵坐标不变，先计算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁。
2. 第(2)问关于原点对称的作图：根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，计算出三个顶点的对称点坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂。
3. 第(3)问判断是否中心对称：中心对称的图形对应点连线都经过对称中心，且对称中心是对应点连线的中点，只需计算两组对应点连线的中点，若中点坐标相同则为中心对称，该中点即为对称中心。
【解析】
(1) 点向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变：
$A(-3,4)$平移后得$A_1(-3+6,4)=(3,4)$，
$B(-5,1)$平移后得$B_1(-5+6,1)=(1,1)$，
$C(-1,2)$平移后得$C_1(-1+6,2)=(5,2)$，
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 关于原点对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数：
$A(-3,4)$关于原点对称的点$A_2(3,-4)$，
$B(-5,1)$关于原点对称的点$B_2(5,-1)$，
$C(-1,2)$关于原点对称的点$C_2(1,-2)$，
在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，顺次连接得到$△ A_2B_2C_2$。
(3) 计算对应点连线的中点：
$A_1(3,4)$与$A_2(3,-4)$的中点为$( \frac{3+3}{2},\frac{4+( -4 )}{2} )=(3,0)$，
$B_1(1,1)$与$B_2(5,-1)$的中点为$( \frac{1+5}{2},\frac{1+( -1 )}{2} )=(3,0)$，
$C_1(5,2)$与$C_2(1,-2)$的中点为$( \frac{5+1}{2},\frac{2+( -2 )}{2} )=(3,0)$，
三组对应点连线的中点均为$(3,0)$，说明$△ A_1B_1C_1$与$△ A_2B_2C_2$成中心对称，对称中心为$(3,0)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2) 如图，$△ A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求。
(3) $△ A_{1}B_{1}C_{1}$与$△ A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称，对称中心的坐标为$(3,0)$。
【知识点】
坐标平移规律，关于原点对称的点的坐标，中心对称的判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查坐标变换规则的应用，掌握平移、中心对称对应的坐标变化规律，即可快速准确完成作图和判定。
【难度系数】
0.75
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$△ ABC$与$△ FEC$关于点$C$对称,连接$AE$,$BF$,当四边形$ABFE$为矩形时,$∠ ACB$的度数为 (
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
C
)A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先利用中心对称的性质判断四边形ABFE的形状，再结合矩形的性质推导边的关系，最后结合已知AB=AC判断△ABC的形状，进而求出∠ACB的度数。第一步：根据中心对称对应点连线被对称中心平分，可得AC=CF、BC=CE，由此可证四边形ABFE是平行四边形；第二步：矩形的对角线相等，因此平行四边形ABFE为矩形时需满足AF=BE，由此可推导出AC=BC；第三步：结合已知AB=AC，可得△ABC为等边三角形，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC与△FEC关于点C对称，
∴AC=CF，BC=EC，
∴四边形ABFE的对角线互相平分，即四边形ABFE是平行四边形。
若四边形ABFE为矩形，则需满足矩形对角线相等的性质，即AF=BE。
∵AF=AC+CF=2AC，BE=BC+EC=2BC，
∴2AC=2BC，即AC=BC。
又
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质；矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，将中心对称、特殊四边形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的突破口是先由中心对称的性质确定四边形ABFE为平行四边形，再结合矩形的性质得到边的等量关系，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用中心对称的性质判断四边形ABFE的形状，再结合矩形的性质推导边的关系，最后结合已知AB=AC判断△ABC的形状，进而求出∠ACB的度数。第一步：根据中心对称对应点连线被对称中心平分，可得AC=CF、BC=CE，由此可证四边形ABFE是平行四边形；第二步：矩形的对角线相等，因此平行四边形ABFE为矩形时需满足AF=BE，由此可推导出AC=BC；第三步：结合已知AB=AC，可得△ABC为等边三角形，即可得到∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC与△FEC关于点C对称，
∴AC=CF，BC=EC，
∴四边形ABFE的对角线互相平分，即四边形ABFE是平行四边形。
若四边形ABFE为矩形，则需满足矩形对角线相等的性质，即AF=BE。
∵AF=AC+CF=2AC，BE=BC+EC=2BC，
∴2AC=2BC，即AC=BC。
又
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质；矩形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，将中心对称、特殊四边形的性质和等边三角形的判定结合考查，解题的突破口是先由中心对称的性质确定四边形ABFE为平行四边形，再结合矩形的性质得到边的等量关系，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
