知识点一 角平分线的性质
知识梳理
角的平分线上的点到角两边的距离。

相等

例1 如图, 在$△ ABC$中, $∠ C = 90°$, $AD$平分$∠ CAB$, $DE ⊥ AB$于点$E$,点$F$在边$AC$上,$BE = FC$. 求证:$BD = DF$.

例1题图
【思路分析】
思考1:要证明$BD = DF$,可考虑这两边所在的哪两个三角形全等?
思考2:这两个三角形中已知哪些元素相等?
思考3:如何利用“$AD$平分$∠ CAB$”这个条件证明上面两个三角形全等?
证明:
【规律方法】
(1)应用角的平分线的性质时,“角的平分线”“垂直”两个条件缺一不可,不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点的距离相等.
(2)由角的平分线的性质可以直接得线段相等(不用证全等),这是证明线段相等的一个简单方法.

证明:
∵ AD 平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴ DE=DC, ∠BED=∠C=90°.
在△BDE 和△FDC 中,
$\begin{cases} ED=CD, \\ ∠BED=∠C, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△FDC(SAS).
∴ BD=DF.