登录
1. 方程$(x-2)(x+3)=0$的解是（
A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x_1=-2, x_2=3$
D.$x_1=2, x_2=-3$
D
）A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x_1=-2, x_2=3$
D.$x_1=2, x_2=-3$
答案
1.D
解析
【分析】
本题可利用因式分解法解一元二次方程的思路求解。观察方程左侧是两个一次因式的乘积，右侧为0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的规则，若两个因式的乘积为0，则每个因式都可取0，由此可得：
$x-2=0$ 或 $x+3=0$
解$x-2=0$，得$x_1=2$；
解$x+3=0$，得$x_2=-3$。
因此原方程的解为$x_1=2,x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法解方程原理的掌握，熟练掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的规则就能快速得出结果，属于基础类送分题。
【难度系数】
0.9
本题可利用因式分解法解一元二次方程的思路求解。观察方程左侧是两个一次因式的乘积，右侧为0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的规则，若两个因式的乘积为0，则每个因式都可取0，由此可得：
$x-2=0$ 或 $x+3=0$
解$x-2=0$，得$x_1=2$；
解$x+3=0$，得$x_2=-3$。
因此原方程的解为$x_1=2,x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法解方程原理的掌握，熟练掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的规则就能快速得出结果，属于基础类送分题。
【难度系数】
0.9
2. 方程$(x-1)^2=3(x-1)$的解为（
A.$x=3$
B.$x=1$
C.$x_1=1, x_2=3$
D.$x_1=1, x_2=4$
D
）A.$x=3$
B.$x=1$
C.$x_1=1, x_2=3$
D.$x_1=1, x_2=4$
答案
2.D
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解问题，观察方程左右两边都含有相同的因式$(x-1)$，适合用因式分解法求解。注意不能直接两边同时除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个解。解题步骤为先移项，将右侧的项移到左侧使方程右边为0，再提取公因式$(x-1)$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的全部解。
【解析】
解：首先对原方程移项，得：
$(x-1)^2 - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)[(x-1)-3] = 0$
化简后得：
$(x-1)(x-4) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-4=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-1=0$时，$x_1=1$；
当$x-4=0$时，$x_2=4$。
因此原方程的解为$x_1=1, x_2=4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程，提取公因式，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意避免直接除以含未知数的整式造成漏解，熟练掌握提取公因式的方法，灵活选择合适的解方程方法能提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程求解问题，观察方程左右两边都含有相同的因式$(x-1)$，适合用因式分解法求解。注意不能直接两边同时除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个解。解题步骤为先移项，将右侧的项移到左侧使方程右边为0，再提取公因式$(x-1)$，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的全部解。
【解析】
解：首先对原方程移项，得：
$(x-1)^2 - 3(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x-1)[(x-1)-3] = 0$
化简后得：
$(x-1)(x-4) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-4=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-1=0$时，$x_1=1$；
当$x-4=0$时，$x_2=4$。
因此原方程的解为$x_1=1, x_2=4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程，提取公因式，一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时要注意避免直接除以含未知数的整式造成漏解，熟练掌握提取公因式的方法，灵活选择合适的解方程方法能提高解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
3. 方程$(5-6x)^2 + (6x -5)=0$的根为（
A.$x_1=x_2=\frac{5}{6}$
B.$x_1=\frac{2}{3}, x_2=\frac{5}{6}$
C.$x_1=1, x_2=\frac{5}{6}$
D.$x_1=\frac{2}{3}, x_2=\frac{6}{5}$
B
）A.$x_1=x_2=\frac{5}{6}$
B.$x_1=\frac{2}{3}, x_2=\frac{5}{6}$
C.$x_1=1, x_2=\frac{5}{6}$
D.$x_1=\frac{2}{3}, x_2=\frac{6}{5}$
答案
3.B
解析
【分析】
观察方程结构，发现$6x-5$与$5-6x$互为相反数，可先对式子变形，再用因式分解法求解。首先将$6x-5$改写为$-(5-6x)$，使方程出现公因式$5-6x$，提取公因式后可将二次方程转化为两个一次方程，分别求解就能得到方程的根。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(5-6x)^2 - (5-6x) = 0$
提取公因式$(5-6x)$，得：
$(5-6x)(5-6x - 1) = 0$
化简得：
$(5-6x)(4-6x) = 0$
令两个因式分别为0，可得：
$5-6x=0$ 或 $4-6x=0$
解$5-6x=0$，得$x=\frac{5}{6}$；
解$4-6x=0$，得$x=\frac{2}{3}$。
因此方程的根为$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题侧重考察一元二次方程解法的灵活运用，解题核心是通过观察方程的结构特征找到公因式，用因式分解法降次求解，可避免直接展开计算带来的不必要运算。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，发现$6x-5$与$5-6x$互为相反数，可先对式子变形，再用因式分解法求解。首先将$6x-5$改写为$-(5-6x)$，使方程出现公因式$5-6x$，提取公因式后可将二次方程转化为两个一次方程，分别求解就能得到方程的根。
【解析】
解：原方程可变形为：
$(5-6x)^2 - (5-6x) = 0$
提取公因式$(5-6x)$，得：
$(5-6x)(5-6x - 1) = 0$
化简得：
$(5-6x)(4-6x) = 0$
令两个因式分别为0，可得：
$5-6x=0$ 或 $4-6x=0$
解$5-6x=0$，得$x=\frac{5}{6}$；
解$4-6x=0$，得$x=\frac{2}{3}$。
因此方程的根为$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题侧重考察一元二次方程解法的灵活运用，解题核心是通过观察方程的结构特征找到公因式，用因式分解法降次求解，可避免直接展开计算带来的不必要运算。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程 $ x(x - 2) = 2 - x $ 的根是 （
A.$ x = -1 $
B.$ x = 2 $
C.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
C
）A.$ x = -1 $
B.$ x = 2 $
C.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，发现等号两边的$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，因此优先选择移项后提取公因式的方法求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。移项后将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x(x - 2) = 2 - x$移项，得：
$x(x-2) + (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x+1) = 0$
根据因式分解法解方程的原理，可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握移项、提公因式的操作即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题考查用因式分解法求解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程结构，发现等号两边的$(x-2)$和$(2-x)$互为相反数，因此优先选择移项后提取公因式的方法求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。移项后将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，分别求解两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x(x - 2) = 2 - x$移项，得：
$x(x-2) + (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x+1) = 0$
根据因式分解法解方程的原理，可得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握移项、提公因式的操作即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
5. 一元二次方程 $ x(x - 6) = 0 $ 的两个实数根中较大的是
6
.答案
5.6
解析
【分析】
观察方程发现左边已经是两个一次因式相乘等于0的形式，符合因式分解法解一元二次方程的特征。我们可以利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，得到两个根后比较大小即可得到较大的根。
【解析】
解：对于方程 $x(x - 6) = 0$，根据两数乘积为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x-6=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x=0$时，得根$x_1=0$；
当$x-6=0$时，解得$x_2=6$。
比较两个根的大小：$6＞0$，因此两个实数根中较大的是6。
【答案】
6
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查因式分解法解一元二次方程的应用，掌握因式分解法的核心原理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
观察方程发现左边已经是两个一次因式相乘等于0的形式，符合因式分解法解一元二次方程的特征。我们可以利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，得到两个根后比较大小即可得到较大的根。
【解析】
解：对于方程 $x(x - 6) = 0$，根据两数乘积为0的性质可得：
$x=0$ 或 $x-6=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x=0$时，得根$x_1=0$；
当$x-6=0$时，解得$x_2=6$。
比较两个根的大小：$6＞0$，因此两个实数根中较大的是6。
【答案】
6
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查因式分解法解一元二次方程的应用，掌握因式分解法的核心原理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 一元二次方程 $ x(x - 2) = x $ 的根是
$x_1=0, x_2=3$
.答案
6.$x_1=0, x_2=3$
解析
【分析】
解本题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右侧为0，再对左侧多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
对原方程移项，得：
$x(x - 2) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x - 2) - 1] = 0$
化简后得：
$x(x - 3) = 0$
根据“两式相乘值为0，则至少其中一个式子值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=0, x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
公因式提取
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，易错点是直接约去x导致漏根，解题时要牢记先将方程整理为右侧为0的形式再因式分解，避免丢解。
【难度系数】
0.7
解本题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确解题思路为：先将方程右边的x移到左边，使方程右侧为0，再对左侧多项式提取公因式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部根。
【解析】
对原方程移项，得：
$x(x - 2) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x - 2) - 1] = 0$
化简后得：
$x(x - 3) = 0$
根据“两式相乘值为0，则至少其中一个式子值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=0, x_2=3$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
公因式提取
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，易错点是直接约去x导致漏根，解题时要牢记先将方程整理为右侧为0的形式再因式分解，避免丢解。
【难度系数】
0.7
7. 解方程：$x^2 -4x=5.$
答案
7.$x_1=-1, x_2=5$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解类题目，对应因式分解法的考点，解题思路如下：首先将方程整理为右边为0的标准一元二次方程形式，再观察左边二次三项式的特征，用十字相乘法进行因式分解，最后根据“两个因式乘积为0时，至少有一个因式为0”的原理，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，计算更简便。
【解析】
解：第一步，移项将方程化为一般形式：
$x^2 - 4x - 5 = 0$
第二步，对左边二次三项式用十字相乘法因式分解：
将二次项系数1拆分为$1×1$，常数项-5拆分为$1×(-5)$，交叉相乘求和刚好等于一次项系数-4，因此分解得：
$(x + 1)(x - 5) = 0$
第三步，转化为一元一次方程求解：
根据因式乘积为0的性质，得$x + 1 = 0$或$x - 5 = 0$
分别解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 5$
【答案】
$x_1=-1, x_2=5$
【知识点】
因式分解法解方程，十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式是快速解题的关键，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程求解类题目，对应因式分解法的考点，解题思路如下：首先将方程整理为右边为0的标准一元二次方程形式，再观察左边二次三项式的特征，用十字相乘法进行因式分解，最后根据“两个因式乘积为0时，至少有一个因式为0”的原理，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，计算更简便。
【解析】
解：第一步，移项将方程化为一般形式：
$x^2 - 4x - 5 = 0$
第二步，对左边二次三项式用十字相乘法因式分解：
将二次项系数1拆分为$1×1$，常数项-5拆分为$1×(-5)$，交叉相乘求和刚好等于一次项系数-4，因此分解得：
$(x + 1)(x - 5) = 0$
第三步，转化为一元一次方程求解：
根据因式乘积为0的性质，得$x + 1 = 0$或$x - 5 = 0$
分别解得：$x_1 = -1$，$x_2 = 5$
【答案】
$x_1=-1, x_2=5$
【知识点】
因式分解法解方程，十字相乘法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式是快速解题的关键，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
8. 如果三角形的两条边长分别是4和7，第三边是方程$x^2 - 7x + 12 = 0$的解，那么这个三角形的周长是
15
。答案
8.15
解析
【分析】
解题可按三步推进：第一步，用本节学习的因式分解法求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对求出的两个根逐一筛选，排除无法构成三角形的取值；第三步，把符合条件的三边长度相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$：
对左侧多项式因式分解，十字相乘可得$(x-3)(x-4)=0$，
由此可得$x-3=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
2. 验证第三边是否满足三角形三边关系：
已知三角形两条边长为4和7，
若第三边为3：$3+4=7$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该值；
若第三边为4：$4+4＞7$、$4+7＞4$，符合三边关系，可构成三角形。
3. 计算三角形周长：$4+7+4=15$。
【答案】
15
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，易错点是解出方程的根后直接代入计算周长，忽略了三角形三边关系的验证，解题时要注意对所求的根进行合理性筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推进：第一步，用本节学习的因式分解法求解一元二次方程，得到第三边的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对求出的两个根逐一筛选，排除无法构成三角形的取值；第三步，把符合条件的三边长度相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$：
对左侧多项式因式分解，十字相乘可得$(x-3)(x-4)=0$，
由此可得$x-3=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
2. 验证第三边是否满足三角形三边关系：
已知三角形两条边长为4和7，
若第三边为3：$3+4=7$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该值；
若第三边为4：$4+4＞7$、$4+7＞4$，符合三边关系，可构成三角形。
3. 计算三角形周长：$4+7+4=15$。
【答案】
15
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，易错点是解出方程的根后直接代入计算周长，忽略了三角形三边关系的验证，解题时要注意对所求的根进行合理性筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
9. 已知$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 3) = 18$，则$x^2 + y^2$的值为
10. 若$x^2 - 6x + 9 = (x - 2)^0$，求$x$的值。
6
。10. 若$x^2 - 6x + 9 = (x - 2)^0$，求$x$的值。
答案
9.6
10. 解 由题知 $x^2 - 6x + 9 = 1$ 且 $x - 2≠0$. 则 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 且 $x≠2$. $(x - 4) · (x - 2)=0$. 解得 $x_1=4, x_2=2$.
因为 $x≠2$, 所以 $x=4$.
10. 解 由题知 $x^2 - 6x + 9 = 1$ 且 $x - 2≠0$. 则 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 且 $x≠2$. $(x - 4) · (x - 2)=0$. 解得 $x_1=4, x_2=2$.
因为 $x≠2$, 所以 $x=4$.
解析
【分析】
第9题：观察到方程中$x^2+y^2$多次重复出现，可采用换元法简化计算，设$t=x^2+y^2$，同时注意$x^2$和$y^2$都是非负数，因此$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解后，舍去不符合取值范围的根即可。
第10题：解题首先要明确零指数幂的成立条件：底数不为0时，$a^0=1$，因此先根据该性质将方程转化为标准一元二次方程，用因式分解法求解后，舍去使零指数幂无意义的根即可。
【解析】
9. 设$t=x^2+y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，原方程可化为：
$t(t-3)=18$
整理得：$t^2-3t-18=0$
因式分解得：$(t-6)(t+3)=0$
解得$t_1=6$，$t_2=-3$
$\because t≥0$，$\therefore t=-3$舍去
$\therefore x^2+y^2=6$
10. 根据零指数幂的定义，$(x-2)^0=1$的前提是$x-2≠0$，即$x≠2$，原方程可化为：
$x^2-6x+9=1$
移项整理得：$x^2-6x+8=0$
因式分解得：$(x-4)(x-2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=2$
$\because x≠2$，$\therefore x=2$舍去
$\therefore x$的值为4
【答案】
9. 6；10. $x=4$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，零指数幂的性质
【点评】
两道题均为一元二次方程求解的常规题型，解题时要注意题目中的隐含限制条件：第9题要利用平方和的非负性舍去负根，第10题要注意零指数幂底数不为0的要求，避免忽略限制条件出现增根。
【难度系数】
0.7
第9题：观察到方程中$x^2+y^2$多次重复出现，可采用换元法简化计算，设$t=x^2+y^2$，同时注意$x^2$和$y^2$都是非负数，因此$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程求解后，舍去不符合取值范围的根即可。
第10题：解题首先要明确零指数幂的成立条件：底数不为0时，$a^0=1$，因此先根据该性质将方程转化为标准一元二次方程，用因式分解法求解后，舍去使零指数幂无意义的根即可。
【解析】
9. 设$t=x^2+y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，原方程可化为：
$t(t-3)=18$
整理得：$t^2-3t-18=0$
因式分解得：$(t-6)(t+3)=0$
解得$t_1=6$，$t_2=-3$
$\because t≥0$，$\therefore t=-3$舍去
$\therefore x^2+y^2=6$
10. 根据零指数幂的定义，$(x-2)^0=1$的前提是$x-2≠0$，即$x≠2$，原方程可化为：
$x^2-6x+9=1$
移项整理得：$x^2-6x+8=0$
因式分解得：$(x-4)(x-2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=2$
$\because x≠2$，$\therefore x=2$舍去
$\therefore x$的值为4
【答案】
9. 6；10. $x=4$
【知识点】
换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，零指数幂的性质
【点评】
两道题均为一元二次方程求解的常规题型，解题时要注意题目中的隐含限制条件：第9题要利用平方和的非负性舍去负根，第10题要注意零指数幂底数不为0的要求，避免忽略限制条件出现增根。
【难度系数】
0.7
