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一、选择题
1. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在$\odot O$上，过点B作$\odot O$的切线交OA的延长线于点D。若$\odot O$的直径为4，则BD的长为（
A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
1. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在$\odot O$上，过点B作$\odot O$的切线交OA的延长线于点D。若$\odot O$的直径为4，则BD的长为（
D
）A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先根据圆的直径求出半径，再结合菱形四边相等的性质，可判断出△OAB是等边三角形，得到∠DOB的度数；第二步，根据切线的性质，得到OB与BD垂直，即△OBD是直角三角形；第三步，在直角三角形中利用勾股定理或特殊角的三角函数值计算BD的长度即可。
【解析】
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径$OB=OA=2$。
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA=AB$，
又
∵$OA=OB=2$，
∴$OA=OB=AB=2$，即△OAB是等边三角形，
∴$∠ DOB=60°$。
∵BD是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ BD$，即$∠ OBD=90°$，△OBD为直角三角形。
在$Rt△ OBD$中，$∠ D=90°-∠ DOB=30°$，
∴斜边$OD=2OB=4$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、切线的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础题型，综合考查了多个基础几何图形的性质，解题的关键是先推导得到$∠ DOB$的度数，再结合切线构造的直角三角形计算线段长度，掌握各几何图形的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先根据圆的直径求出半径，再结合菱形四边相等的性质，可判断出△OAB是等边三角形，得到∠DOB的度数；第二步，根据切线的性质，得到OB与BD垂直，即△OBD是直角三角形；第三步，在直角三角形中利用勾股定理或特殊角的三角函数值计算BD的长度即可。
【解析】
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径$OB=OA=2$。
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA=AB$，
又
∵$OA=OB=2$，
∴$OA=OB=AB=2$，即△OAB是等边三角形，
∴$∠ DOB=60°$。
∵BD是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ BD$，即$∠ OBD=90°$，△OBD为直角三角形。
在$Rt△ OBD$中，$∠ D=90°-∠ DOB=30°$，
∴斜边$OD=2OB=4$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、切线的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础题型，综合考查了多个基础几何图形的性质，解题的关键是先推导得到$∠ DOB$的度数，再结合切线构造的直角三角形计算线段长度，掌握各几何图形的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，内切圆$I$和边$BC$，$AC$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$. 若$∠ B = 55°$，$∠ C = 75°$，则$∠ EDF$的度数是 （
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
C
）A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
2. C
解析
【分析】
要计算∠EDF的度数，我们可以按以下思路推导：首先∠EDF是内切圆中弧EF所对的圆周角，根据圆周角定理，只需求出同弧所对的圆心角∠FIE的度数；已知内切圆与AB、AC相切，根据切线性质可得圆心与切点的连线垂直于切线，即IF⊥AB、IE⊥AC，因此结合四边形内角和，只需要先求出△ABC中∠A的度数，即可逐步算出结果。
【解析】
1. 连接IF、IE
∵ 内切圆I与AB、AC分别相切于点F、E
∴ IF⊥AB，IE⊥AC，即∠AFI=∠AEI=90°
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 55° - 75° = 50°
3. 在四边形AFIE中，内角和为360°：
∠FIE = 360° - ∠AFI - ∠AEI - ∠A = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°
4. ∠EDF和∠FIE都是弧EF所对的角，其中∠FIE是圆心角，∠EDF是圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ ∠EDF = $\frac{1}{2}$∠FIE = $\frac{1}{2}$ × 130° = 65°
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础考题，解题的核心是通过连接圆心和切点构造直角，建立圆周角、圆心角与三角形内角的联系，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要计算∠EDF的度数，我们可以按以下思路推导：首先∠EDF是内切圆中弧EF所对的圆周角，根据圆周角定理，只需求出同弧所对的圆心角∠FIE的度数；已知内切圆与AB、AC相切，根据切线性质可得圆心与切点的连线垂直于切线，即IF⊥AB、IE⊥AC，因此结合四边形内角和，只需要先求出△ABC中∠A的度数，即可逐步算出结果。
【解析】
1. 连接IF、IE
∵ 内切圆I与AB、AC分别相切于点F、E
∴ IF⊥AB，IE⊥AC，即∠AFI=∠AEI=90°
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 55° - 75° = 50°
3. 在四边形AFIE中，内角和为360°：
∠FIE = 360° - ∠AFI - ∠AEI - ∠A = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°
4. ∠EDF和∠FIE都是弧EF所对的角，其中∠FIE是圆心角，∠EDF是圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ ∠EDF = $\frac{1}{2}$∠FIE = $\frac{1}{2}$ × 130° = 65°
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础考题，解题的核心是通过连接圆心和切点构造直角，建立圆周角、圆心角与三角形内角的联系，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$是正五边形ABCDE的外接圆，P为$\overset{\frown}{ED}$上的一点，则$∠ APC$的度数为（
A.$36°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$72°$
D
）A.$36°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$72°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先结合正五边形外接圆的性质，先求出正五边形各边对应的劣弧的度数：正五边形的五条边相等，因此外接圆上五条劣弧的度数相等，用圆周总度数360°除以5即可得到每段劣弧的度数。接下来判断∠APC是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，找到∠APC所对的劣弧为弧AC，计算出弧AC的度数后除以2即可得到∠APC的度数。
【解析】
∵$\odot O$是正五边形ABCDE的外接圆，
∴劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
每段劣弧的度数为$360°÷5=72°$，
∴劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为$72°+72°=144°$，
∵$∠ APC$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$∠ APC=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，重点考查正多边形的外接圆性质与圆周角定理的应用，解题的核心是先确定正五边形各段等弧的度数，再结合圆周角定理计算角度，是圆与正多边形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正五边形外接圆的性质，先求出正五边形各边对应的劣弧的度数：正五边形的五条边相等，因此外接圆上五条劣弧的度数相等，用圆周总度数360°除以5即可得到每段劣弧的度数。接下来判断∠APC是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，找到∠APC所对的劣弧为弧AC，计算出弧AC的度数后除以2即可得到∠APC的度数。
【解析】
∵$\odot O$是正五边形ABCDE的外接圆，
∴劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EA}$，
每段劣弧的度数为$360°÷5=72°$，
∴劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为$72°+72°=144°$，
∵$∠ APC$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$∠ APC=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形和圆；圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，重点考查正多边形的外接圆性质与圆周角定理的应用，解题的核心是先确定正五边形各段等弧的度数，再结合圆周角定理计算角度，是圆与正多边形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 已知同一平面内有$\odot O$，点A，点B。如果$\odot O$的半径为3 cm，线段$OA=5\ \mathrm{cm}$，线段$OB=3\ \mathrm{cm}$，那么直线AB与$\odot O$的位置关系为（
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
D
）A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点A、B与⊙O的位置关系：点A在圆外，点B在圆上，由此可知直线AB一定经过圆上的点B，因此直线AB与圆不可能相离。再分两种情况讨论：若OB垂直于AB，此时直线AB是⊙O的切线，位置关系为相切；若OB不垂直于AB，此时直线AB与⊙O除点B外还有另一个交点，位置关系为相交，综上即可得出结论。
【解析】
解：已知⊙O的半径$r=3\mathrm{cm}$，
∵$OA=5\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，
∴点A在⊙O外；
∵$OB=3\mathrm{cm}=r$，
∴点B在⊙O上，
∴直线AB一定经过⊙O上的点B，直线AB与⊙O至少有1个公共点，可排除相离的情况。
分两种情况讨论：
① 当$OB⊥ AB$时，圆心O到直线AB的距离等于半径$3\mathrm{cm}$，此时直线AB与⊙O相切；
② 当OB与AB不垂直时，根据垂线段最短，圆心O到直线AB的距离小于$OB=3\mathrm{cm}$，即小于半径，此时直线AB与⊙O相交。
因此直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；垂线段最短
【点评】
本题易错点是容易忽略$OB⊥ AB$的特殊情况，错选B选项，解题时要注意结合图形分类讨论，明确过圆上一点的直线与圆仅有相切、相交两种位置关系。
【难度系数】
0.7
解题时先根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点A、B与⊙O的位置关系：点A在圆外，点B在圆上，由此可知直线AB一定经过圆上的点B，因此直线AB与圆不可能相离。再分两种情况讨论：若OB垂直于AB，此时直线AB是⊙O的切线，位置关系为相切；若OB不垂直于AB，此时直线AB与⊙O除点B外还有另一个交点，位置关系为相交，综上即可得出结论。
【解析】
解：已知⊙O的半径$r=3\mathrm{cm}$，
∵$OA=5\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，
∴点A在⊙O外；
∵$OB=3\mathrm{cm}=r$，
∴点B在⊙O上，
∴直线AB一定经过⊙O上的点B，直线AB与⊙O至少有1个公共点，可排除相离的情况。
分两种情况讨论：
① 当$OB⊥ AB$时，圆心O到直线AB的距离等于半径$3\mathrm{cm}$，此时直线AB与⊙O相切；
② 当OB与AB不垂直时，根据垂线段最短，圆心O到直线AB的距离小于$OB=3\mathrm{cm}$，即小于半径，此时直线AB与⊙O相交。
因此直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；垂线段最短
【点评】
本题易错点是容易忽略$OB⊥ AB$的特殊情况，错选B选项，解题时要注意结合图形分类讨论，明确过圆上一点的直线与圆仅有相切、相交两种位置关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，以边 $AB$ 的中点 $O$ 为圆心的半圆与 $AC$ 相切，连接 $OC$，与半圆相交于点 $D$，则 $CD$ 的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
5题图
6题图
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
5题图
6题图
答案
5. D
解析
【分析】
本题为直角三角形与圆结合的线段长度求解问题，可按三步思路推导：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度；②结合直角三角形斜边中线的性质得到OC的长度，再根据切线的性质推出圆心O到AC的距离等于半圆半径，利用三角形中位线定理求出半径长度；③根据CD=OC-OD（OD为半圆半径），代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算斜边AB长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 求OC的长度：
∵O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 求半圆的半径：
设半圆与AC相切于点E，连接OE，根据切线的性质可得$OE⊥ AC$。
∵$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE// BC$，又O为AB中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，即半圆半径$OD=OE=3$。
4. 计算CD的长度：
$CD=OC-OD=5-3=2$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质；切线的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形和圆的基础性质，解题的核心是将所求线段CD转化为斜边中线长与半圆半径的差，通过中位线求半径是此类题的常用技巧，解题时注意结合几何图形的性质转化线段关系。
【难度系数】
0.7
本题为直角三角形与圆结合的线段长度求解问题，可按三步思路推导：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度；②结合直角三角形斜边中线的性质得到OC的长度，再根据切线的性质推出圆心O到AC的距离等于半圆半径，利用三角形中位线定理求出半径长度；③根据CD=OC-OD（OD为半圆半径），代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算斜边AB长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
2. 求OC的长度：
∵O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 求半圆的半径：
设半圆与AC相切于点E，连接OE，根据切线的性质可得$OE⊥ AC$。
∵$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$OE// BC$，又O为AB中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，即半圆半径$OD=OE=3$。
4. 计算CD的长度：
$CD=OC-OD=5-3=2$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质；切线的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形和圆的基础性质，解题的核心是将所求线段CD转化为斜边中线长与半圆半径的差，通过中位线求半径是此类题的常用技巧，解题时注意结合几何图形的性质转化线段关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图，若六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（
A.$6\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}π$
B.$12\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}π$
C.$\dfrac{4}{3}π$
D.$\dfrac{8}{3}π$
A
）A.$6\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}π$
B.$12\sqrt{3}-\dfrac{8}{3}π$
C.$\dfrac{4}{3}π$
D.$\dfrac{8}{3}π$
答案
6. A
解析
【分析】
本题可通过割补法求解阴影部分面积，解题思路如下：首先明确阴影面积为规则图形面积的差，即正六边形的面积减去空白部分扇形的面积和。第一步先利用内接正六边形的性质求出正六边形的面积，第二步计算空白部分两个扇形的总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
∵ 六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形
∴ 正六边形的边长等于外接圆半径$r=2$，正六边形可拆分为6个边长为2的全等等边三角形
1. 计算正六边形的面积：
单个边长为2的等边三角形面积为：$S_{\mathrm{等边}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
正六边形面积：$S_{\mathrm{正六边形}}=6× S_{\mathrm{等边}}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
2. 计算空白部分扇形的总面积：
正六边形每个内角为$120°$，空白部分为两个圆心角$120°$、半径为2的扇形，单个扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
两个扇形总面积：$S_{\mathrm{空白}}=2×\frac{4π}{3}=\frac{8π}{3}$
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正六边形}}-S_{\mathrm{空白}}=6\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$
故选A
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是正多边形与圆结合的常规题型，解题关键是掌握内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，熟练运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算。
【难度系数】
0.7
本题可通过割补法求解阴影部分面积，解题思路如下：首先明确阴影面积为规则图形面积的差，即正六边形的面积减去空白部分扇形的面积和。第一步先利用内接正六边形的性质求出正六边形的面积，第二步计算空白部分两个扇形的总面积，最后作差即可得到阴影面积。
【解析】
∵ 六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形
∴ 正六边形的边长等于外接圆半径$r=2$，正六边形可拆分为6个边长为2的全等等边三角形
1. 计算正六边形的面积：
单个边长为2的等边三角形面积为：$S_{\mathrm{等边}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
正六边形面积：$S_{\mathrm{正六边形}}=6× S_{\mathrm{等边}}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
2. 计算空白部分扇形的总面积：
正六边形每个内角为$120°$，空白部分为两个圆心角$120°$、半径为2的扇形，单个扇形面积为：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×2^2}{360}=\frac{4π}{3}$
两个扇形总面积：$S_{\mathrm{空白}}=2×\frac{4π}{3}=\frac{8π}{3}$
3. 计算阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正六边形}}-S_{\mathrm{空白}}=6\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$
故选A
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是正多边形与圆结合的常规题型，解题关键是掌握内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，熟练运用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算。
【难度系数】
0.7
