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4. 如图，若$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A = 54°$，则$∠ BOC$的度数是
$117°$
.答案
4. $117°$
解析
【分析】
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，可得OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。解题思路：第一步利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步根据角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的度数和；第三步在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
$117°$
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是掌握三角形内切圆的圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可逐步推导计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，可得OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。解题思路：第一步利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步根据角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的度数和；第三步在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
$117°$
【知识点】
三角形内心的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是掌握三角形内切圆的圆心（内心）是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可逐步推导计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知$△ ABC$.
（1）尺规作图：求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CA = 6\ \mathrm{cm}$，求$AF$的长.
（1）尺规作图：求作$△ ABC$的内切圆$\odot O$（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CA = 6\ \mathrm{cm}$，求$AF$的长.
答案
5. 解（1）如图，$\odot O$即为所求。
（2）因为$△ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
所以 $AE = AF$，$BF = BD$，$CD = CE$.
因为 $AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CA = 6\ \mathrm{cm}$，
所以 $BF = BD = (5 - AF)\ \mathrm{cm}$.
所以 $CD = CE = [7 - (5 - AF)] = (2 + AF)\ \mathrm{cm}$.
所以 $AE = AF = [6 - (2 + AF)] = (4 - AF)\ \mathrm{cm}$.
解得 $AF = 2\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
（1）作三角形内切圆的核心是确定圆心和半径：内切圆的圆心是三角形任意两个内角角平分线的交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度，按此思路作图即可。
（2）求AF的长度可利用切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，因此可得到三组相等的切线段，设AF为未知数，将其余切线段用含未知数的式子表示，再结合三角形边长列方程求解即可。
【解析】
（1）按照内切圆作图方法，作出的⊙O如下图：
（2）
∵△ABC的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
根据切线长定理可得：$AE = AF$，$BF = BD$，$CD = CE$。
已知$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CA = 6\ \mathrm{cm}$，
则$BF = BD = AB - AF = (5 - AF)\ \mathrm{cm}$，
$CD = BC - BD = 7 - (5 - AF) = (2 + AF)\ \mathrm{cm}$，
因此$CE = CD = (2 + AF)\ \mathrm{cm}$，
又$AE = AC - CE = 6 - (2 + AF) = (4 - AF)\ \mathrm{cm}$，且$AE = AF$，
即$AF = 4 - AF$，解得$AF = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1），$\odot O$即为所求；
（2）$AF$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆作图
2. 切线长定理
3. 方程求线段长
【点评】
本题分为尺规作图和线段计算两部分，作图考查基础的尺规操作技能，计算部分结合切线长定理，用设未知数列方程的方法求解，是三角形内切圆相关的典型基础题，能很好地考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）作三角形内切圆的核心是确定圆心和半径：内切圆的圆心是三角形任意两个内角角平分线的交点，半径是圆心到三角形任意一边的垂线段长度，按此思路作图即可。
（2）求AF的长度可利用切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，因此可得到三组相等的切线段，设AF为未知数，将其余切线段用含未知数的式子表示，再结合三角形边长列方程求解即可。
【解析】
（1）按照内切圆作图方法，作出的⊙O如下图：
（2）
∵△ABC的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，
根据切线长定理可得：$AE = AF$，$BF = BD$，$CD = CE$。
已知$AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = 7\ \mathrm{cm}$，$CA = 6\ \mathrm{cm}$，
则$BF = BD = AB - AF = (5 - AF)\ \mathrm{cm}$，
$CD = BC - BD = 7 - (5 - AF) = (2 + AF)\ \mathrm{cm}$，
因此$CE = CD = (2 + AF)\ \mathrm{cm}$，
又$AE = AC - CE = 6 - (2 + AF) = (4 - AF)\ \mathrm{cm}$，且$AE = AF$，
即$AF = 4 - AF$，解得$AF = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）
，$\odot O$即为所求；（2）$AF$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 三角形内切圆作图
2. 切线长定理
3. 方程求线段长
【点评】
本题分为尺规作图和线段计算两部分，作图考查基础的尺规操作技能，计算部分结合切线长定理，用设未知数列方程的方法求解，是三角形内切圆相关的典型基础题，能很好地考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
