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1.下列各组条件中,能判定$△ ABC$是直角三角形的是
①$∠ C=90°$ ②$∠ A=40°,∠ B=50°$
③$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
④$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
⑤$∠ A+∠ B=∠ C$
①②③⑤
。①$∠ C=90°$ ②$∠ A=40°,∠ B=50°$
③$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
④$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
⑤$∠ A+∠ B=∠ C$
答案
1. ①②③⑤
解析
【分析】
要判定△ABC是直角三角形，核心依据是“有一个内角为90°的三角形是直角三角形”，结合三角形内角和为180°的定理，逐个验证每个条件是否能推出三角形存在90°的内角即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件：
① ∠C=90°，直接满足直角三角形的定义，可判定△ABC是直角三角形；
② 已知∠A=40°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-50°=90°，可判定△ABC是直角三角形；
③ 已知∠A:∠B:∠C=1:1:2，设三个角分别为x、x、2x，根据内角和定理：$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，则最大角∠C=2x=90°，可判定△ABC是直角三角形；
④ 已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设三个角分别为3x、4x、5x，根据内角和定理：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠C=5x=75°＜90°，不能判定是直角三角形；
⑤ 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，得$∠C+∠C=180°$，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形。
综上，能判定的是①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，考查利用角的数量关系判定直角三角形，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算最大内角的度数，逐一验证条件即可，注意角度按比例分配时不要算错总份数。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是直角三角形，核心依据是“有一个内角为90°的三角形是直角三角形”，结合三角形内角和为180°的定理，逐个验证每个条件是否能推出三角形存在90°的内角即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件：
① ∠C=90°，直接满足直角三角形的定义，可判定△ABC是直角三角形；
② 已知∠A=40°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-50°=90°，可判定△ABC是直角三角形；
③ 已知∠A:∠B:∠C=1:1:2，设三个角分别为x、x、2x，根据内角和定理：$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，则最大角∠C=2x=90°，可判定△ABC是直角三角形；
④ 已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，设三个角分别为3x、4x、5x，根据内角和定理：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠C=5x=75°＜90°，不能判定是直角三角形；
⑤ 已知∠A+∠B=∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，得$∠C+∠C=180°$，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形。
综上，能判定的是①②③⑤。
【答案】
①②③⑤
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，考查利用角的数量关系判定直角三角形，解题关键是熟练运用三角形内角和定理计算最大内角的度数，逐一验证条件即可，注意角度按比例分配时不要算错总份数。
【难度系数】
0.8
2. 一个直角三角形的斜边长为 6,以斜边的中点为圆心、斜边上的中线为半径的圆的面积是
9π
。答案
2. 9π
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们要求圆的面积，需要先确定圆的半径，题目中已经说明圆的半径等于斜边上的中线长，所以先根据斜边长度求出中线长也就是半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
已知斜边长为6，所以斜边上的中线长为 $ 6÷2=3 $，即该圆的半径 $ r=3 $。
根据圆的面积公式 $ S=π r^2 $，代入半径计算得：
$ S=π×3^2=9π $
【答案】
9π
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是对直角三角形特殊性质的掌握，结合圆的面积公式即可求解，熟记相关定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们要求圆的面积，需要先确定圆的半径，题目中已经说明圆的半径等于斜边上的中线长，所以先根据斜边长度求出中线长也就是半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
已知斜边长为6，所以斜边上的中线长为 $ 6÷2=3 $，即该圆的半径 $ r=3 $。
根据圆的面积公式 $ S=π r^2 $，代入半径计算得：
$ S=π×3^2=9π $
【答案】
9π
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是对直角三角形特殊性质的掌握，结合圆的面积公式即可求解，熟记相关定理和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.85
3. 如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状不确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状不确定
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。题干给出了三个内角的数量关系，我们可以通过设角表示该关系，再和内角和公式联立求解，就能算出其中一个内角的度数，进而判断三角形的类型。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，根据题意不妨设$∠ A = ∠ B - ∠ C$（任意内角等于另外两个内角的差，推导逻辑一致）。
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
将$∠ A = ∠ B - ∠ C$代入上式，得：
$∠ B - ∠ C + ∠ B + ∠ C = 180°$
化简后得$2∠ B = 180°$，解得$∠ B = 90°$。
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，结合题干给出的角的数量关系即可求出定角的度数，进而判断三角形形状，熟练掌握内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。题干给出了三个内角的数量关系，我们可以通过设角表示该关系，再和内角和公式联立求解，就能算出其中一个内角的度数，进而判断三角形的类型。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$，根据题意不妨设$∠ A = ∠ B - ∠ C$（任意内角等于另外两个内角的差，推导逻辑一致）。
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
将$∠ A = ∠ B - ∠ C$代入上式，得：
$∠ B - ∠ C + ∠ B + ∠ C = 180°$
化简后得$2∠ B = 180°$，解得$∠ B = 90°$。
有一个内角为直角的三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，结合题干给出的角的数量关系即可求出定角的度数，进而判断三角形形状，熟练掌握内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.如图,CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线,DE⊥BC于点E,则图中等腰直角三角形的个数是
（
A.3
B.4
C.5
D.6
（
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4. C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确等腰直角三角形的判定标准：同时满足有一个角是直角，且有两个角为45°（或两条直角边相等）的三角形即为等腰直角三角形。解题时先利用等腰直角三角形ABC的性质，再结合斜边中线CD的性质得到相关角和边的关系，最后结合DE⊥BC的条件，按从大到小的顺序逐个排查图中的三角形，避免漏数或多数。
【解析】
解：①△ABC是等腰直角三角形，为第1个；
②
∵CD是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ADC中，∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，是等腰直角三角形，为第2个；
△BDC中，∠BDC=90°，∠B=∠BCD=45°，是等腰直角三角形，为第3个；
③
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠DEB=90°，
在△CDE中，∠DCE=45°，∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，CE=DE，△CDE是等腰直角三角形，为第4个；
在△BDE中，∠B=45°，∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°，DE=BE，△BDE是等腰直角三角形，为第5个。
综上，共有5个等腰直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形判定；等腰直角三角形性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查等腰直角三角形的判定与性质，解题时按照一定顺序逐一排查即可，易错点是容易遗漏较小的等腰直角三角形，数的时候要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确等腰直角三角形的判定标准：同时满足有一个角是直角，且有两个角为45°（或两条直角边相等）的三角形即为等腰直角三角形。解题时先利用等腰直角三角形ABC的性质，再结合斜边中线CD的性质得到相关角和边的关系，最后结合DE⊥BC的条件，按从大到小的顺序逐个排查图中的三角形，避免漏数或多数。
【解析】
解：①△ABC是等腰直角三角形，为第1个；
②
∵CD是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ADC中，∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，是等腰直角三角形，为第2个；
△BDC中，∠BDC=90°，∠B=∠BCD=45°，是等腰直角三角形，为第3个；
③
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠DEB=90°，
在△CDE中，∠DCE=45°，∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，CE=DE，△CDE是等腰直角三角形，为第4个；
在△BDE中，∠B=45°，∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°，DE=BE，△BDE是等腰直角三角形，为第5个。
综上，共有5个等腰直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形判定；等腰直角三角形性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查等腰直角三角形的判定与性质，解题时按照一定顺序逐一排查即可，易错点是容易遗漏较小的等腰直角三角形，数的时候要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
5.如图，D为等腰△ABC底边BC上的一点，AD=DC，∠B=30°。试判断△ABD是不是直角三角形，并说明理由。
答案
5. 是;理由略
解析
【分析】
要判断△ABD是不是直角三角形，只需判断该三角形中是否存在90°的内角即可。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先由等腰△ABC的底角∠B=30°得到∠C的度数，再结合AD=DC得出∠DAC的度数，随后利用三角形内角和定理计算出△ABC顶角∠BAC的度数，进而求出∠BAD的度数，即可得出结论。
【解析】
解：△ABD是直角三角形，理由如下：
∵ △ABC是等腰三角形，BC为底边
∴ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=30°（等边对等角）
又
∵ AD=DC
∴ ∠DAC=∠C=30°（等边对等角）
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAC=120°-30°=90°
∴ △ABD是直角三角形（有一个角是直角的三角形是直角三角形）
【答案】
△ABD是直角三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合运用，解题核心是通过“等边对等角”梳理各角之间的数量关系，通过计算角度判定三角形的类型，掌握基础定理、理清图形边角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要判断△ABD是不是直角三角形，只需判断该三角形中是否存在90°的内角即可。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先由等腰△ABC的底角∠B=30°得到∠C的度数，再结合AD=DC得出∠DAC的度数，随后利用三角形内角和定理计算出△ABC顶角∠BAC的度数，进而求出∠BAD的度数，即可得出结论。
【解析】
解：△ABD是直角三角形，理由如下：
∵ △ABC是等腰三角形，BC为底边
∴ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=30°（等边对等角）
又
∵ AD=DC
∴ ∠DAC=∠C=30°（等边对等角）
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAC=120°-30°=90°
∴ △ABD是直角三角形（有一个角是直角的三角形是直角三角形）
【答案】
△ABD是直角三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合运用，解题核心是通过“等边对等角”梳理各角之间的数量关系，通过计算角度判定三角形的类型，掌握基础定理、理清图形边角关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图, 已知 $ CD // AE $, $ ∠ ACD $ 与 $ ∠ CAE $ 的平分线相交于点 B。判断 $ △ ABC $ 是不是直角三角形, 并说明理由。
答案
6.
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可通过证明三角形内有两个内角互余来推导。首先结合已知的平行线条件，可得到同旁内角之和为180°；再利用角平分线的性质，得到两个角的一半之和为90°，即可得到△ABC的两个锐角互余，进而判定它是直角三角形。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=$\frac{1}{2}$(∠CAE+∠ACD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，理由：
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线的性质、角平分线定义与直角三角形判定的结合应用，解题的关键是利用平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线得到三角形两个锐角互余，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，可通过证明三角形内有两个内角互余来推导。首先结合已知的平行线条件，可得到同旁内角之和为180°；再利用角平分线的性质，得到两个角的一半之和为90°，即可得到△ABC的两个锐角互余，进而判定它是直角三角形。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=$\frac{1}{2}$(∠CAE+∠ACD)=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形，理由：
∵BA平分∠CAE，BC平分∠ACD，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CAE，∠BCA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD//AE，
∴∠CAE+∠ACD=180°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线的性质、角平分线定义与直角三角形判定的结合应用，解题的关键是利用平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线得到三角形两个锐角互余，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
