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1.某水果店推出的一款水果拼盘套餐受到了广大消费者的喜爱，每天的销售量$y$(盒)与销售单价$x$(元)之间存在一次函数关系(如下表所示).已知该水果拼盘套餐的成本为30元/盒.
(1)求出$y$与$x$之间的关系式.
(2)当销售单价为65元时，求当天的销售利润.(销售利润$=$销售额$-$成本)
(1)求出$y$与$x$之间的关系式.
(2)当销售单价为65元时，求当天的销售利润.(销售利润$=$销售额$-$成本)
答案
解:(1)设 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = kx + b$. 由题意,得
$\begin{cases}40k+b=220,\\50k+b=200,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=300.\end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=-2x+300$.
(2)由(1)可知,当 $x=65$ 时,$y=-2×65+300=170$,$\therefore65×170-30×170=5\ 950$(元).答:当销售单价为 65 元时,当天的销售利润为 5 950 元.
$\begin{cases}40k+b=220,\\50k+b=200,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=300.\end{cases}$
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=-2x+300$.
(2)由(1)可知,当 $x=65$ 时,$y=-2×65+300=170$,$\therefore65×170-30×170=5\ 950$(元).答:当销售单价为 65 元时,当天的销售利润为 5 950 元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数关系式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 求销售单价为65元时的利润，首先将$x=65$代入第一问求出的函数关系式，得到对应销售量y，再根据“销售利润=销售额-成本”的公式，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的关系式为$y = kx + b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=40,y=220\\x=50,y=200\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}40k+b=220\\50k+b=200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k+b=220$，得$-80+b=220$，解得$b=300$。
验证：当$x=60$时，$y=-2×60+300=180$，与表格数据一致，所以关系式成立。
(2) 当$x=65$时，代入$y=-2x+300$得：
$y=-2×65+300=170$
销售利润为：$65×170 - 30×170=5950$（元）
【答案】
(1) $y=-2x+300$；(2) 5950元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是一次函数基础应用题，结合了函数知识与销售实际场景，既考查了待定系数法求解析式的基本技能，又考查了利用函数关系解决实际计算的能力，解题时注意公式运用准确，计算仔细即可。
【难度系数】
0.8
(1) 已知y与x是一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数关系式，可代入第三组数据验证结果是否正确。
(2) 求销售单价为65元时的利润，首先将$x=65$代入第一问求出的函数关系式，得到对应销售量y，再根据“销售利润=销售额-成本”的公式，代入对应数值计算即可。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的关系式为$y = kx + b(k≠0)$，将$\begin{cases}x=40,y=220\\x=50,y=200\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}40k+b=220\\50k+b=200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=-20$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$40k+b=220$，得$-80+b=220$，解得$b=300$。
验证：当$x=60$时，$y=-2×60+300=180$，与表格数据一致，所以关系式成立。
(2) 当$x=65$时，代入$y=-2x+300$得：
$y=-2×65+300=170$
销售利润为：$65×170 - 30×170=5950$（元）
【答案】
(1) $y=-2x+300$；(2) 5950元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是一次函数基础应用题，结合了函数知识与销售实际场景，既考查了待定系数法求解析式的基本技能，又考查了利用函数关系解决实际计算的能力，解题时注意公式运用准确，计算仔细即可。
【难度系数】
0.8
2.某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件.该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象(如图所示),图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系.已知线段DE表示的函数关系中时间每增加1天,日销售量减少5件.
(1)第17天的日销售量是
(2)求试销售期间日销售利润的最大值.
(1)第17天的日销售量是
340
件,日销售利润是680
元.(2)求试销售期间日销售利润的最大值.
答案
解:(1)340 680
(2)根据图象易得,直线 $OD$ 的表达式为 $y=20x$, 直线 $DE$ 的表达式为 $y = -5x + 450$. 联立
$\begin{cases}y=20x,\\y=-5x+450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=18,\\y=360.\end{cases}$
$\therefore$ 折线 $ODE$ 的最高点 $D$ 的坐标为$(18,360)$.$360×(8-6)=720$(元),$\therefore$ 当 $x=18$ 时,日销售利润最大,最大利润为 720 元.
(2)根据图象易得,直线 $OD$ 的表达式为 $y=20x$, 直线 $DE$ 的表达式为 $y = -5x + 450$. 联立
$\begin{cases}y=20x,\\y=-5x+450,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=18,\\y=360.\end{cases}$
$\therefore$ 折线 $ODE$ 的最高点 $D$ 的坐标为$(18,360)$.$360×(8-6)=720$(元),$\therefore$ 当 $x=18$ 时,日销售利润最大,最大利润为 720 元.
解析
【分析】
(1) 第一问可直接从图象读取第17天的日销售量，再根据“日销售利润=日销售量×(售价-成本价)”计算即可。
(2) 由于单件产品利润固定为2元，因此日销售利润随日销售量的增大而增大，只需找到日销售量的最大值即可得到最大利润。首先分别求出线段OD、DE对应的一次函数解析式，联立两个解析式得到交点D的坐标，即为日销售量最高的点，最后代入利润公式计算即可。
【解析】
(1) 由图象可得第17天的日销售量是340件。
单件产品利润：$8-6=2$元
日销售利润：$340×2=680$元。
(2) ①求线段OD的函数解析式：
设OD的解析式为$y=kx(k≠0)$，将$x=17,y=340$代入得：
$340=17k$，解得$k=20$，即$y=20x$。
②求线段DE的函数解析式：
由题意得DE段的函数斜率为$-5$，设DE的解析式为$y=-5x+b$，将$x=22,y=340$代入得：
$340=-5×22+b$，解得$b=450$，即$y=-5x+450$。
③求交点D的坐标：
联立$\begin{cases}y=20x\\y=-5x+450\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=18\\y=360\end{cases}$，即D点坐标为$(18,360)$，是折线ODE的最高点，最大日销售量为360件。
最大日销售利润：$360×(8-6)=720$元。
【答案】
(1) $\boxed{340}$，$\boxed{680}$
(2) 试销售期间日销售利润的最大值为$\boxed{720}$元。
【知识点】
一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用，利润计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查销售类实际问题，解题核心是明确单件利润固定时，销量与利润成正比，只需通过求分段函数解析式找到销量最大值即可，解题时要注意结合图象信息简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可直接从图象读取第17天的日销售量，再根据“日销售利润=日销售量×(售价-成本价)”计算即可。
(2) 由于单件产品利润固定为2元，因此日销售利润随日销售量的增大而增大，只需找到日销售量的最大值即可得到最大利润。首先分别求出线段OD、DE对应的一次函数解析式，联立两个解析式得到交点D的坐标，即为日销售量最高的点，最后代入利润公式计算即可。
【解析】
(1) 由图象可得第17天的日销售量是340件。
单件产品利润：$8-6=2$元
日销售利润：$340×2=680$元。
(2) ①求线段OD的函数解析式：
设OD的解析式为$y=kx(k≠0)$，将$x=17,y=340$代入得：
$340=17k$，解得$k=20$，即$y=20x$。
②求线段DE的函数解析式：
由题意得DE段的函数斜率为$-5$，设DE的解析式为$y=-5x+b$，将$x=22,y=340$代入得：
$340=-5×22+b$，解得$b=450$，即$y=-5x+450$。
③求交点D的坐标：
联立$\begin{cases}y=20x\\y=-5x+450\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=18\\y=360\end{cases}$，即D点坐标为$(18,360)$，是折线ODE的最高点，最大日销售量为360件。
最大日销售利润：$360×(8-6)=720$元。
【答案】
(1) $\boxed{340}$，$\boxed{680}$
(2) 试销售期间日销售利润的最大值为$\boxed{720}$元。
【知识点】
一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用，利润计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查销售类实际问题，解题核心是明确单件利润固定时，销量与利润成正比，只需通过求分段函数解析式找到销量最大值即可，解题时要注意结合图象信息简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变. 合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务. 甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了
(2)求乙组停工后，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
(1)甲组比乙组多挖掘了
30
天.(2)求乙组停工后，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
答案
解:(1)30
(2)设乙组停工后,$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. $\because$ 点$(30,210),(60,300)$在图象上,$\therefore\begin{cases}30k+b=210,\\60k+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=120.\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=3x+120(30≤ x≤ 60)$.
(3)10 天.
(2)设乙组停工后,$y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. $\because$ 点$(30,210),(60,300)$在图象上,$\therefore\begin{cases}30k+b=210,\\60k+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=120.\end{cases}$
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=3x+120(30≤ x≤ 60)$.
(3)10 天.
解析
【分析】
1. 解决第(1)问：先读懂函数图象的含义，横坐标为甲组挖掘总天数，图象在x=30处出现拐点，说明第30天乙组停工，甲组一共挖掘60天，用甲组总工作天数减去乙组工作天数即可得到结果。
2. 解决第(2)问：乙组停工后对应x≥30的线段，已知线段过(30,210)和(60,300)两个点，用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解得到k、b的值，再结合实际工程周期确定自变量的取值范围即可。
3. 解决第(3)问：先分别计算甲乙合作的日效率、甲单独工作的日效率，进而求出乙的日效率和乙的总挖掘长度；再计算甲挖掘长度等于乙总长度时的工作时长，减去乙工作的30天，即可得到乙停工的天数。
【解析】
(1) 由图象可知，甲组共挖掘60天，乙组仅工作到第30天停工，因此甲组比乙组多挖掘的天数为：$60-30=30$（天）。
(2) 设乙组停工后，y关于x的函数表达式为$y=kx+b（k≠0）$。
将点$(30,210)$、$(60,300)$代入解析式得：
$\begin{cases}30k+b=210\\60k+b=300\end{cases}$
两式相减得$30k=90$，解得$k=3$；将$k=3$代入$30k+b=210$，得$b=120$。
结合实际工程进度，自变量x的取值范围为$30≤x≤60$。
因此乙组停工后y关于x的函数表达式为$y=3x+120（30≤x≤60）$。
(3) 计算工作效率：
前30天甲乙合作的日挖掘效率：$210÷30=7$（m/天）
乙停工后甲单独的日挖掘效率：$(300-210)÷(60-30)=3$（m/天）
则乙的日挖掘效率为：$7-3=4$（m/天）
乙组总挖掘长度：$30×4=120$（m）
甲挖掘长度达到120m时的工作时长：$120÷3=40$（天）
此时乙组已停工的天数：$40-30=10$（天）。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{y=3x+120（30≤x≤60）}$
(3) $\boxed{10}$天
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；工程问题计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查工程类实际问题，解题核心是准确理解图象拐点的实际意义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能灵活运用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系求解。
【难度系数】
0.6
1. 解决第(1)问：先读懂函数图象的含义，横坐标为甲组挖掘总天数，图象在x=30处出现拐点，说明第30天乙组停工，甲组一共挖掘60天，用甲组总工作天数减去乙组工作天数即可得到结果。
2. 解决第(2)问：乙组停工后对应x≥30的线段，已知线段过(30,210)和(60,300)两个点，用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解得到k、b的值，再结合实际工程周期确定自变量的取值范围即可。
3. 解决第(3)问：先分别计算甲乙合作的日效率、甲单独工作的日效率，进而求出乙的日效率和乙的总挖掘长度；再计算甲挖掘长度等于乙总长度时的工作时长，减去乙工作的30天，即可得到乙停工的天数。
【解析】
(1) 由图象可知，甲组共挖掘60天，乙组仅工作到第30天停工，因此甲组比乙组多挖掘的天数为：$60-30=30$（天）。
(2) 设乙组停工后，y关于x的函数表达式为$y=kx+b（k≠0）$。
将点$(30,210)$、$(60,300)$代入解析式得：
$\begin{cases}30k+b=210\\60k+b=300\end{cases}$
两式相减得$30k=90$，解得$k=3$；将$k=3$代入$30k+b=210$，得$b=120$。
结合实际工程进度，自变量x的取值范围为$30≤x≤60$。
因此乙组停工后y关于x的函数表达式为$y=3x+120（30≤x≤60）$。
(3) 计算工作效率：
前30天甲乙合作的日挖掘效率：$210÷30=7$（m/天）
乙停工后甲单独的日挖掘效率：$(300-210)÷(60-30)=3$（m/天）
则乙的日挖掘效率为：$7-3=4$（m/天）
乙组总挖掘长度：$30×4=120$（m）
甲挖掘长度达到120m时的工作时长：$120÷3=40$（天）
此时乙组已停工的天数：$40-30=10$（天）。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{y=3x+120（30≤x≤60）}$
(3) $\boxed{10}$天
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；工程问题计算
【点评】
本题结合一次函数图象考查工程类实际问题，解题核心是准确理解图象拐点的实际意义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，能灵活运用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系求解。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示.请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)甲队在开挖后6 h内，每小时挖
(2)当2≤x≤6时，求y乙与x之间的函数关系式.
(3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5 m.
(1)甲队在开挖后6 h内，每小时挖
10
m.(2)当2≤x≤6时，求y乙与x之间的函数关系式.
(3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5 m.
答案
解:(1)10
(2)设当 $2≤ x≤ 6$ 时,$y_\mathrm{乙}$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y_\mathrm{乙}=kx+b(k≠0)$.$\because$ 函数图象过点$(2,30),(6,50)$,$\therefore\begin{cases}2k+b=30,\\6k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\b=20.\end{cases}$
$\therefore$ 当 $2≤ x≤ 6$ 时,$y_\mathrm{乙}$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y_\mathrm{乙}=5x+20$.
(3)开挖后 1 h 或 3 h 或 5 h,甲、乙两队挖的河渠的长度相差 5 m.
(2)设当 $2≤ x≤ 6$ 时,$y_\mathrm{乙}$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y_\mathrm{乙}=kx+b(k≠0)$.$\because$ 函数图象过点$(2,30),(6,50)$,$\therefore\begin{cases}2k+b=30,\\6k+b=50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\b=20.\end{cases}$
$\therefore$ 当 $2≤ x≤ 6$ 时,$y_\mathrm{乙}$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y_\mathrm{乙}=5x+20$.
(3)开挖后 1 h 或 3 h 或 5 h,甲、乙两队挖的河渠的长度相差 5 m.
解析
【分析】
(1) 求甲队的挖掘速度，观察图象可知甲6小时共挖掘60m，根据“速度=总长度÷总时间”直接计算即可。
(2) 当2≤x≤6时，$y_乙$是一次函数，采用待定系数法，将图象上已知的两个点$(2,30)$、$(6,50)$代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$即可得到函数关系式。
(3) 先分别写出甲队的函数解析式、乙队在$0≤x≤2$和$2≤x≤6$两段的函数解析式，根据“两队长度相差5m”列绝对值方程，分两种区间讨论求解，注意检验解是否符合对应自变量的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，甲队6h挖掘河渠长度为60m，因此每小时挖掘长度为：$60÷6=10(\mathrm{m})$。
(2) 设当$2≤x≤6$时，$y_乙$与$x$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=kx+b(k≠0)$，
将点$(2,30)$、$(6,50)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=30\\6k+b=50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$4k=20$，解得$k=5$，
将$k=5$代入$2k+b=30$得：$10+b=30$，解得$b=20$，
因此当$2≤x≤6$时，$y_乙$与$x$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=5x+20$。
(3) 先求各段函数解析式：
① 甲队的函数图象过$(0,0)$、$(6,60)$，易得$y_\mathrm{甲}=10x(0≤x≤6)$；
② 乙队当$0≤x≤2$时，图象过$(0,0)$、$(2,30)$，速度为$30÷2=15\mathrm{m/h}$，因此$y_\mathrm{乙}=15x(0≤x≤2)$；
当$2≤x≤6$时，$y_\mathrm{乙}=5x+20$。
根据两队长度相差5m，得$|y_\mathrm{甲} - y_\mathrm{乙}|=5$，分情况讨论：
情况1：当$0≤x≤2$时，$|10x - 15x|=5$，即$|-5x| =5$，解得$x=1$（$x=-1$不符合取值范围，舍去）；
情况2：当$2≤x≤6$时，$|10x - (5x+20)|=5$，即$|5x -20|=5$，
可得$5x-20=5$或$5x-20=-5$，分别解得$x=5$或$x=3$，均符合$2≤x≤6$的取值范围。
综上，开挖后1h、3h、5h时，两队挖的河渠长度相差5m。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{y_\mathrm{乙}=5x+20\ (2≤ x≤6)}$
(3) $\boxed{1\ \mathrm{h}或3\ \mathrm{h}或5\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数求解
【点评】
本题以工程挖掘问题为背景，结合一次函数图象考查实际应用能力，解题的核心是准确从图象中提取坐标信息，注意在求解分段函数相关问题时，要结合自变量的取值范围验证解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 求甲队的挖掘速度，观察图象可知甲6小时共挖掘60m，根据“速度=总长度÷总时间”直接计算即可。
(2) 当2≤x≤6时，$y_乙$是一次函数，采用待定系数法，将图象上已知的两个点$(2,30)$、$(6,50)$代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$即可得到函数关系式。
(3) 先分别写出甲队的函数解析式、乙队在$0≤x≤2$和$2≤x≤6$两段的函数解析式，根据“两队长度相差5m”列绝对值方程，分两种区间讨论求解，注意检验解是否符合对应自变量的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，甲队6h挖掘河渠长度为60m，因此每小时挖掘长度为：$60÷6=10(\mathrm{m})$。
(2) 设当$2≤x≤6$时，$y_乙$与$x$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=kx+b(k≠0)$，
将点$(2,30)$、$(6,50)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=30\\6k+b=50\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$4k=20$，解得$k=5$，
将$k=5$代入$2k+b=30$得：$10+b=30$，解得$b=20$，
因此当$2≤x≤6$时，$y_乙$与$x$的函数关系式为$y_\mathrm{乙}=5x+20$。
(3) 先求各段函数解析式：
① 甲队的函数图象过$(0,0)$、$(6,60)$，易得$y_\mathrm{甲}=10x(0≤x≤6)$；
② 乙队当$0≤x≤2$时，图象过$(0,0)$、$(2,30)$，速度为$30÷2=15\mathrm{m/h}$，因此$y_\mathrm{乙}=15x(0≤x≤2)$；
当$2≤x≤6$时，$y_\mathrm{乙}=5x+20$。
根据两队长度相差5m，得$|y_\mathrm{甲} - y_\mathrm{乙}|=5$，分情况讨论：
情况1：当$0≤x≤2$时，$|10x - 15x|=5$，即$|-5x| =5$，解得$x=1$（$x=-1$不符合取值范围，舍去）；
情况2：当$2≤x≤6$时，$|10x - (5x+20)|=5$，即$|5x -20|=5$，
可得$5x-20=5$或$5x-20=-5$，分别解得$x=5$或$x=3$，均符合$2≤x≤6$的取值范围。
综上，开挖后1h、3h、5h时，两队挖的河渠长度相差5m。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{y_\mathrm{乙}=5x+20\ (2≤ x≤6)}$
(3) $\boxed{1\ \mathrm{h}或3\ \mathrm{h}或5\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数求解
【点评】
本题以工程挖掘问题为背景，结合一次函数图象考查实际应用能力，解题的核心是准确从图象中提取坐标信息，注意在求解分段函数相关问题时，要结合自变量的取值范围验证解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
