1.将抛物线$y=(x-2)^2 +3$先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是.

解：
抛物线$y=(x-2)^2+3$的顶点坐标为$(2,3)$。
将点$(2,3)$先向左平移1个单位长度，横坐标变为$2-1=1$，
再向下平移2个单位长度，纵坐标变为$3-2=1$，
得到抛物线的顶点坐标是$(1,1)$。

2.若二次函数$y=a(x+m)^2+n$的图象如图所示，则一次函数$y=mx+n$的图象不经过第象限.

一

解：
由二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+n$可得，该二次函数的顶点坐标为$(-m, n)$。
观察图象可知，抛物线的顶点落在第四象限，因此：
顶点横坐标满足 $-m ＞ 0$，解得 $m ＜ 0$；
顶点纵坐标满足 $n ＜ 0$。
对于一次函数$y=mx+n$，
$\because m＜0$，$n＜0$，
$\therefore$ 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。

3.已知关于x的二次函数$y=2(x-1)^2+3$，当$-1＜x＜2$时，函数y的取值范围是。

解：
二次函数$y=2(x-1)^2+3$中，$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
∴当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$3$。
当$x=-1$时，$y=2×(-1-1)^2+3=11$；
当$x=2$时，$y=2×(2-1)^2+3=5$。
∵$-1＜x＜2$，
∴函数$y$的取值范围是$3≤ y＜11$。

4.如图,已知二次函数$y=-3(x+m)^2 +k$（$m,k$为常数,且$k＞0$）的图象与$x$轴相交于$A,B$两点,若线段$AB$的长为4,则$k$的值是.

$\boldsymbol{12}$

解：
令$y=0$，得方程：
$-3(x+m)^2 +k=0$
移项整理得：
$(x+m)^2=\frac{k}{3}$
开平方得：
$x+m=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}$
解得二次函数与x轴交点的横坐标为：
$x_1=-m+\sqrt{\frac{k}{3}}$，$x_2=-m-\sqrt{\frac{k}{3}}$
则线段AB的长度为：
$|x_1 - x_2|=\left|(-m+\sqrt{\frac{k}{3}})-(-m-\sqrt{\frac{k}{3}})\right|=2\sqrt{\frac{k}{3}}$
由题意$AB=4$，得：
$2\sqrt{\frac{k}{3}}=4$
两边同除以2得：
$\sqrt{\frac{k}{3}}=2$
两边平方得：
$\frac{k}{3}=4$
解得$k=12$。
最终

5.把二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象.
(1)$a=$,$h=$,$k=$;
(2)指出二次函数$y=a(x-h)^2 +k$图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{-5}$；
(2) 开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-5)$。

解：
(1) 将函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到原二次函数的图象：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}[(x-2)+1]^2 -1 -4\\&=-\frac{1}{2}(x-1)^2 -5\end{aligned}$
对照$y=a(x-h)^2 +k$，可得$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$，$k=-5$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$：
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 该函数图象开口向下，对称轴是直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-5)$。

6. 提升题 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2 + 3 - m$（$m$ 是实数）。
(1) 当 $m=2$ 时，若点 $A(8,n)$ 在该函数图象上，则 $n=$ 。
(2) 小明说该二次函数图象的顶点在直线 $y=-\dfrac{1}{2}x + 3$ 上，你认为他的说法对吗？为什么？
(3) 已知点 $P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$ 都在该二次函数图象上，求证：$c≤ \dfrac{13}{8}$。

解：
(1) 当$m=2$时，二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-4)^2 +1$，
将$A(8,n)$代入解析式，得：
$n=-\dfrac{1}{2}×(8-4)^2 +1 = -7$
故答案为$\boldsymbol{-7}$。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
该二次函数的顶点坐标为$(2m, 3-m)$，
将$x=2m$代入直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，得：
$y=-\dfrac{1}{2}× 2m +3 = -m +3$，
所得结果与顶点的纵坐标相等，说明该二次函数图象的顶点坐标满足直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$的解析式，
因此该二次函数图象的顶点在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+3$上，小明的说法正确。
(3) 证明：
∵点$P(a+1,c)$，$Q(4m-5+a,c)$的纵坐标相等，
∴两点关于二次函数的对称轴对称。
已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x-2m)^2+3-m$的对称轴为直线$x=2m$，
∴$\dfrac{(a+1)+(4m-5+a)}{2}=2m$，
化简得：$a+2m-2=2m$，解得$a=2$。
∴点$P$的横坐标为$a+1=3$，即$P(3,c)$，
将$x=3$代入二次函数解析式，得：
$c=-\dfrac{1}{2}(3-2m)^2 +3 -m$
整理得：$c=-2m^2+5m-\dfrac{3}{2}$，
该式是关于$m$的二次函数，二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，存在最大值，
最大值为$\dfrac{4×(-2)×(-\dfrac{3}{2})-5^2}{4×(-2)}=\dfrac{13}{8}$，
因此$c≤\dfrac{13}{8}$，得证。