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1. 抛物线 $y=3x^2 - 2$ 的图象可由抛物线 $y=3x^2$ 的图象向 平移 个单位长度得到，其顶点坐标是 ，对称轴是 。
答案
解：
抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=3x^2-2$的顶点坐标为$(0,-2)$，因此抛物线$y=3x^2-2$的图象可由抛物线$y=3x^2$的图象向下平移2个单位长度得到，其顶点坐标是$(0,-2)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
抛物线$y=3x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=3x^2-2$的顶点坐标为$(0,-2)$，因此抛物线$y=3x^2-2$的图象可由抛物线$y=3x^2$的图象向下平移2个单位长度得到，其顶点坐标是$(0,-2)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
2.已知二次函数$y=3(x-a)^2$，当$x＞2$时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{a≤ 2}$
解析
解：
对于二次函数$y=3(x-a)^2$，
二次项系数$3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=a$，
因此当$x＞a$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，
可得$a≤ 2$。
对于二次函数$y=3(x-a)^2$，
二次项系数$3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=a$，
因此当$x＞a$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，
可得$a≤ 2$。
3.已知抛物线$y=(x-2)^2$上有两点$A(0,y_1)$和$B(3,y_2)$，则$y_1$（填“＞”“＜”或“=”）$y_2.$
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
解：
将$x=0$代入$y=(x-2)^2$，得
$y_1=(0-2)^2=4$
将$x=3$代入$y=(x-2)^2$，得
$y_2=(3-2)^2=1$
因为$4＞1$，所以$y_1＞y_2$。
最终
将$x=0$代入$y=(x-2)^2$，得
$y_1=(0-2)^2=4$
将$x=3$代入$y=(x-2)^2$，得
$y_2=(3-2)^2=1$
因为$4＞1$，所以$y_1＞y_2$。
最终
4.如图,两条抛物线 $y_1=-\frac{1}{2}x^2+1$ 与 $y_2=-\frac{1}{2}x^2-1$ 分别经过点$(-2,-1)$,$(2,-3)$,则与平行于$y$轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
计算两条抛物线对应x处的竖直距离：
$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 +1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$
由图可知，两条平行于y轴的边界直线为$x=-2$和$x=2$，水平区间长度为$2 - (-2) = 4$。
通过割补转化，阴影部分面积等价于长为4、高为2的矩形面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 2 = 8$
最终
计算两条抛物线对应x处的竖直距离：
$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 +1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$
由图可知，两条平行于y轴的边界直线为$x=-2$和$x=2$，水平区间长度为$2 - (-2) = 4$。
通过割补转化，阴影部分面积等价于长为4、高为2的矩形面积：
$S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 2 = 8$
最终
5.如图，抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为A，与y轴的负半轴相交于点B，且OB=OA.
(1)抛物线的解析式为；
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上，求$S_{△ ABC}$的值.
(1)抛物线的解析式为；
(2)若点$C(-3,b)$在该抛物线上，求$S_{△ ABC}$的值.
答案
解：
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$OB=OA$得$OB=1$，又点$B$在$y$轴负半轴，因此$B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-(x+1)^2}$。
(2) $\because$ 点$C(-3,b)$在抛物线$y=-(x+1)^2$上，
$\therefore b=-(-3+1)^2=-4$，即$C(-3,-4)$。
利用割补法计算面积：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}-S_{△ AOB}$
$=\frac{1}{2}×1×4 + \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×1×1$
$=2+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$
$=3$。
$\therefore S_{△ ABC}$的值为$3$。
(1) 抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点$A$的坐标为$(-1,0)$，
$\therefore OA=1$。
由$OB=OA$得$OB=1$，又点$B$在$y$轴负半轴，因此$B(0,-1)$。
将$B(0,-1)$代入$y=a(x+1)^2$，得：
$-1=a·(0+1)^2$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-(x+1)^2}$。
(2) $\because$ 点$C(-3,b)$在抛物线$y=-(x+1)^2$上，
$\therefore b=-(-3+1)^2=-4$，即$C(-3,-4)$。
利用割补法计算面积：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}-S_{△ AOB}$
$=\frac{1}{2}×1×4 + \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×1×1$
$=2+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}$
$=3$。
$\therefore S_{△ ABC}$的值为$3$。
6. 提升题 如图，抛物线$y=ax^2 -3$和$y=-ax^2 +3$都经过x轴上的A，B两点，两条抛物线的顶点分别为C，D。当四边形ACBD的面积为24时，求a的值。
答案
解：
对于抛物线$y=ax^2-3$，令$x=0$，得$y=-3$，因此顶点$C$的坐标为$(0,-3)$。
对于抛物线$y=-ax^2+3$，令$x=0$，得$y=3$，因此顶点$D$的坐标为$(0,3)$。
可得线段$CD$的长度为$3-(-3)=6$。
令$y=0$，代入$y=ax^2-3$，得$ax^2-3=0$，解得$x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{a}}$，
因此$A$点坐标为$(-\sqrt{\dfrac{3}{a}},0)$，$B$点坐标为$(\sqrt{\dfrac{3}{a}},0)$，
线段$AB$的长度为$2\sqrt{\dfrac{3}{a}}$。
四边形$ACBD$的面积可拆分为$△ ABD$和$△ ABC$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABD}+S_{△ ABC}\\&=\dfrac{1}{2}· AB· OD + \dfrac{1}{2}· AB· OC\\&=\dfrac{1}{2}· AB· (OD+OC)\\&=\dfrac{1}{2}· AB· CD\end{aligned}$
将$S_{ACBD}=24$，$CD=6$代入得：
$\dfrac{1}{2}× AB× 6=24$
解得$AB=8$。
因此$2\sqrt{\dfrac{3}{a}}=8$，化简得$\sqrt{\dfrac{3}{a}}=4$，两边平方得$\dfrac{3}{a}=16$，
解得$a=\dfrac{3}{16}$。
答：$a$的值为$\dfrac{3}{16}$。
对于抛物线$y=ax^2-3$，令$x=0$，得$y=-3$，因此顶点$C$的坐标为$(0,-3)$。
对于抛物线$y=-ax^2+3$，令$x=0$，得$y=3$，因此顶点$D$的坐标为$(0,3)$。
可得线段$CD$的长度为$3-(-3)=6$。
令$y=0$，代入$y=ax^2-3$，得$ax^2-3=0$，解得$x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{a}}$，
因此$A$点坐标为$(-\sqrt{\dfrac{3}{a}},0)$，$B$点坐标为$(\sqrt{\dfrac{3}{a}},0)$，
线段$AB$的长度为$2\sqrt{\dfrac{3}{a}}$。
四边形$ACBD$的面积可拆分为$△ ABD$和$△ ABC$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{ACBD}&=S_{△ ABD}+S_{△ ABC}\\&=\dfrac{1}{2}· AB· OD + \dfrac{1}{2}· AB· OC\\&=\dfrac{1}{2}· AB· (OD+OC)\\&=\dfrac{1}{2}· AB· CD\end{aligned}$
将$S_{ACBD}=24$，$CD=6$代入得：
$\dfrac{1}{2}× AB× 6=24$
解得$AB=8$。
因此$2\sqrt{\dfrac{3}{a}}=8$，化简得$\sqrt{\dfrac{3}{a}}=4$，两边平方得$\dfrac{3}{a}=16$，
解得$a=\dfrac{3}{16}$。
答：$a$的值为$\dfrac{3}{16}$。
