1.下列说法:①弦是直径;②半圆是弧;③过圆心的线段是直径;④圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆.其中错误的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

逐个判断各说法的正误：
1. ①弦是连接圆上两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，并非所有弦都是直径，该说法错误；
2. ②半圆是弧的一种，该说法正确；
3. ③直径需要同时满足过圆心、两个端点都在圆上两个条件，仅过圆心的线段不一定是直径，该说法错误；
4. ④同心圆的定义是圆心相同、半径不等的圆，圆心相同半径相同的两个圆是同一个圆，该说法错误。
综上错误的说法共3个。

2.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.若$∠ AOB=40°$,则$∠ ADC$的度数是()

A.$80°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$

D

根据同圆中等弧对应的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，可得$∠ AOC = ∠ AOB = 40°$。再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ ADC = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。

3.一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是10 cm,OA是滑轮的一条半径.当OA绕轴心O按逆时针方向旋转$180°$时,重物上升的高度为()

A.10 cm
B.$10π$ cm
C.5 cm
D.$5π$ cm

B

重物上升的高度等于半径OA绕轴心O逆时针旋转180°时，点A运动轨迹对应的弧长。根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$n=180$，$r=10\ \mathrm{cm}$代入，得$l=\frac{180×π×10}{180}=10π\ \mathrm{cm}$，即重物上升的高度为$10π\ \mathrm{cm}$。

4.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=9 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形BAF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为 ()


A.5.4 cm
B.6 cm
C.7.2 cm
D.7.5 cm

B

设AB的长为x cm，
∵四边形ABFE是正方形，
∴AE=AB=x cm，
∴DE=AD - AE=(9 - x)cm。
扇形BAF的圆心角为90°，半径为x，其弧长为$\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}$。
矩形EFCD中半径最大的圆的直径等于DE的长度，该圆周长为$π(9 - x)$。
由圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长，列方程：
$\frac{π x}{2}=π(9 - x)$，
约去π后解得：$x=6$，即AB的长为6 cm。

5. 提升题 如图，$\odot O$的周长为$4π$，B是弦CD上任意一点(与C，D不重合).若过点B作OC的平行线，交OD于点E，则$EO+EB=$(用数字表示).

$\boldsymbol{2}$

解：
∵⊙O的周长为4π，设⊙O的半径为r，
∴$2π r = 4π$，
解得$r=2$，
∴$OC=OD=2$。
∵$BE// OC$，
∴$∠ EBD = ∠ OCD$，
又∵$OC=OD$，
∴$∠ OCD = ∠ ODC$，
∴$∠ EBD = ∠ EDB$，
∴$EB=ED$，
∴$EO + EB = EO + ED = OD = 2$。
最终

6. 提升题▶一种机械传动装置示意图如图所示，$\odot O$的半径为50 cm，点A固定在$\odot O$上，连杆AP定长，点P随着$\odot O$的转动在射线OP上运动. 在一个停止状态时，AP与$\odot O$相交于点B，测得$AB=60\ \mathrm{cm}$，$PB=70\ \mathrm{cm}$，此时OP的长为 cm.

$\boldsymbol{20\sqrt{29}}$

解：过点O作OC⊥AB于点C。
∵ OC⊥AB，AB=60 cm，
∴ AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=30 cm。
在Rt△AOC中，OA=50 cm，AC=30 cm，
∴ OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}$=$\sqrt{50^2 - 30^2}$=40 cm。
∵ PC=PB + BC=70 + 30=100 cm，
在Rt△POC中，∠OCP=90°，
∴ OP=$\sqrt{OC^2 + PC^2}$=$\sqrt{40^2 + 100^2}$=$20\sqrt{29}$ cm。

7.如图，BC为$\odot O$的直径，$AD⊥ BC$，垂足为D，$\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，BF与AD相交于点E.
(1)求证：$AE=BE$；
(2)若点A，F把半圆三等分，$BC=12$，求AE的长.

解：
(1) 证明：
连接AC，
∵ BC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，即$∠ BAD + ∠ CAD=90°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ C + ∠ CAD=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ C$，
又∵ $\overset{\frown}{BA}=\overset{\frown}{AF}$，
∴ $∠ ABF=∠ C$，
∴ $∠ ABF=∠ BAD$，
∴ $AE=BE$。
(2) 连接OA，
∵ 点A，F把半圆三等分，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FC}$，每段弧对应的圆心角为$60°$，
∴ $∠ AOB=60°$，
∵ $OA=OB$，$BC=12$，
∴ $OA=OB=AB=6$，
∵ $AD⊥ OB$，
∴ D为OB中点，$∠ ADB=90°$，
∴ $BD=\frac{1}{2}OB=3$，
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$，
∵ $∠ ABE$对应$\overset{\frown}{AF}$，$\overset{\frown}{AF}$的度数为$60°$，
∴ $∠ ABE=30°$，
由(1)知$AE=BE$，设$AE=BE=x$，则$DE=AD - AE=3\sqrt{3}-x$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE^2=DE^2 + BD^2$，
代入得：$x^2=(3\sqrt{3}-x)^2 + 3^2$，
解得$x=2\sqrt{3}$。
答：AE的长为$2\sqrt{3}$。