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知识点一 同底数幂除法法则
1. 一般地，我们有$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$）。即同底数幂相除，底数
2. 特别地，当$m=n$时，$a^m ÷ a^n = a^{m-n} = a^0$，于是规定$a^0=1$（$a≠0$）。这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于
1. 一般地，我们有$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$）。即同底数幂相除，底数
不变
，指数相减
。2. 特别地，当$m=n$时，$a^m ÷ a^n = a^{m-n} = a^0$，于是规定$a^0=1$（$a≠0$）。这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于
1
。答案
1. 不变 相减 2. 1
解析
【分析】
本题是对整式除法中基础概念的考查，解题思路为回忆同底数幂除法法则和零指数幂的相关规定，直接对应填空即可：①针对第一问，回忆同底数幂除法的运算性质，明确底数和指数的运算规律；②针对第二问，回忆零指数幂的定义，明确非零数0次幂的取值。
【解析】
1. 根据同底数幂除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$），可得同底数幂相除时，底数保持不变，指数做减法运算，即底数不变，指数相减。
2. 根据零指数幂的规定：$a^0=1$（$a≠0$），可得任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【答案】
1. 不变 相减 2. 1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度很低，主要考察对课本基础定义、法则的记忆掌握程度，只要熟悉教材相关知识点即可快速答对。
【难度系数】
0.9
本题是对整式除法中基础概念的考查，解题思路为回忆同底数幂除法法则和零指数幂的相关规定，直接对应填空即可：①针对第一问，回忆同底数幂除法的运算性质，明确底数和指数的运算规律；②针对第二问，回忆零指数幂的定义，明确非零数0次幂的取值。
【解析】
1. 根据同底数幂除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，$m＞n$），可得同底数幂相除时，底数保持不变，指数做减法运算，即底数不变，指数相减。
2. 根据零指数幂的规定：$a^0=1$（$a≠0$），可得任何不等于0的数的0次幂都等于1。
【答案】
1. 不变 相减 2. 1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度很低，主要考察对课本基础定义、法则的记忆掌握程度，只要熟悉教材相关知识点即可快速答对。
【难度系数】
0.9
例1 计算：$(x^2)^3 · (-x) - (-x^3)^3 ÷ (-x^2)$。
解 原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2) = -x^7 - x^7 = -2x^7$。
解 原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2) = -x^7 - x^7 = -2x^7$。
答案
解：
原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2)$
$=-x^7 - x^{9-2}$
$=-x^7 - x^7$
$=-2x^7$
原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2)$
$=-x^7 - x^{9-2}$
$=-x^7 - x^7$
$=-2x^7$
解析
【分析】
本题是整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序即可：①先算乘方，运用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算两个乘方项，同时注意负数的奇次幂符号为负；②再算乘除，分别用同底数幂乘法（底数不变，指数相加）、同底数幂除法（底数不变，指数相减）计算，乘除运算遵循“同号得正，异号得负”的符号规则；③最后合并同类项得到结果，运算过程中要重点关注符号，避免出错。
【解析】
原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2)$
$=-x^{6+1} - x^{9-2}$
$=-x^7 - x^7$
$=-2x^7$
【答案】
$-2x^7$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；整式混合运算
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则和整式混合运算的顺序，解题的关键是准确掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算过程中的符号处理，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序即可：①先算乘方，运用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算两个乘方项，同时注意负数的奇次幂符号为负；②再算乘除，分别用同底数幂乘法（底数不变，指数相加）、同底数幂除法（底数不变，指数相减）计算，乘除运算遵循“同号得正，异号得负”的符号规则；③最后合并同类项得到结果，运算过程中要重点关注符号，避免出错。
【解析】
原式$=x^6 · (-x) - (-x^9) ÷ (-x^2)$
$=-x^{6+1} - x^{9-2}$
$=-x^7 - x^7$
$=-2x^7$
【答案】
$-2x^7$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘除运算；整式混合运算
【点评】
本题重点考查幂的相关运算法则和整式混合运算的顺序，解题的关键是准确掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算过程中的符号处理，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.8
例2 已知$(a-1)^{a+2}=1$，则满足条件的整数$a$的所有值为。
解析 当$a+2=0$，且$a-1≠0$时，解得$a=-2$。
当$a-1=1$时，解得$a=2$。
当$a-1=-1$，且$a+2$为偶数时，解得$a=0$。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
答案 $-2$或$2$或$0$
解析 当$a+2=0$，且$a-1≠0$时，解得$a=-2$。
当$a-1=1$时，解得$a=2$。
当$a-1=-1$，且$a+2$为偶数时，解得$a=0$。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
答案 $-2$或$2$或$0$
答案
解：分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时，即$a+2=0$且$a-1≠0$，
解得$a=-2$，此时$(-3)^0=1$，等式成立。
2. 当底数为1时，即$a-1=1$，
解得$a=2$，此时$1^4=1$，等式成立。
3. 当底数为$-1$且指数为偶数时，即$a-1=-1$且$a+2$为偶数，
解得$a=0$，此时$(-1)^2=1$，等式成立。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
1. 当指数为0且底数不为0时，即$a+2=0$且$a-1≠0$，
解得$a=-2$，此时$(-3)^0=1$，等式成立。
2. 当底数为1时，即$a-1=1$，
解得$a=2$，此时$1^4=1$，等式成立。
3. 当底数为$-1$且指数为偶数时，即$a-1=-1$且$a+2$为偶数，
解得$a=0$，此时$(-1)^2=1$，等式成立。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
解析
【分析】
要解决$(a-1)^{a+2}=1$求整数a的问题，首先明确有理数乘方中结果为1的三类常见情况：①非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。我们按照这三类情况分别列式求解，同时注意每类情况的限制条件，最后验证所得的a是否为整数、是否满足原式即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时，即$\begin{cases}a+2=0 \\ a-1≠ 0\end{cases}$，解得$a=-2$，此时$(-3)^0=1$，等式成立；
2. 当底数为1时，即$a-1=1$，解得$a=2$，此时$1^4=1$，等式成立；
3. 当底数为$-1$且指数为偶数时，即$\begin{cases}a-1=-1 \\ a+2\mathrm{为偶数}\end{cases}$，解得$a=0$，此时$(-1)^2=1$，等式成立。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
【答案】
$-2$或$2$或$0$
【知识点】
零指数幂的性质；有理数的乘方；分类讨论思想
【点评】
本题考查幂的结果为1的特殊情况，解题时需要按类别逐一讨论，注意每种情况对应的限制条件，避免遗漏解或出现增解。
【难度系数】
0.6
要解决$(a-1)^{a+2}=1$求整数a的问题，首先明确有理数乘方中结果为1的三类常见情况：①非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。我们按照这三类情况分别列式求解，同时注意每类情况的限制条件，最后验证所得的a是否为整数、是否满足原式即可。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时，即$\begin{cases}a+2=0 \\ a-1≠ 0\end{cases}$，解得$a=-2$，此时$(-3)^0=1$，等式成立；
2. 当底数为1时，即$a-1=1$，解得$a=2$，此时$1^4=1$，等式成立；
3. 当底数为$-1$且指数为偶数时，即$\begin{cases}a-1=-1 \\ a+2\mathrm{为偶数}\end{cases}$，解得$a=0$，此时$(-1)^2=1$，等式成立。
综上，满足条件的整数$a$的所有值为$-2$或$2$或$0$。
【答案】
$-2$或$2$或$0$
【知识点】
零指数幂的性质；有理数的乘方；分类讨论思想
【点评】
本题考查幂的结果为1的特殊情况，解题时需要按类别逐一讨论，注意每种情况对应的限制条件，避免遗漏解或出现增解。
【难度系数】
0.6
知识点二 单项式除以单项式
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别
例3 已知$(-3x^4y^3)^3 ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2) = -mx^8y^7$，求$m$，$n$的值。
解 $(-3x^4y^3)^3 ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2)$
$= (-27x^{12}y^9) ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2)$
—特别提醒
对于同底数幂除法法则：
（1）因为0不能作为除数，所以底数$a ≠ 0$；
（2）单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
（3）应用同底数幂除法法则时，底数$a$可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。
—解题要点
幂为1的可能：
（1）1的任何次幂；
（2）－1的偶次幂；
（3）非零数的0次幂。
—特别提醒
单项式除以单项式分为三个步骤：
（1）系数相除；
（2）同底数幂相除；
（3）只在被除式里含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
$= -27 × (-\dfrac{2}{3})x^{12-n}y^{9-2}$
$= 18x^{12-n}y^7$
$= -mx^8y^7$。
所以$-m = 18$，$12 - n = 8$。
解得$m = -18$，$n = 4$。
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别
相除
作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数
作为商的一个因式。例3 已知$(-3x^4y^3)^3 ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2) = -mx^8y^7$，求$m$，$n$的值。
解 $(-3x^4y^3)^3 ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2)$
$= (-27x^{12}y^9) ÷ (-\dfrac{3}{2}x^n y^2)$
—特别提醒
对于同底数幂除法法则：
（1）因为0不能作为除数，所以底数$a ≠ 0$；
（2）单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
（3）应用同底数幂除法法则时，底数$a$可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。
—解题要点
幂为1的可能：
（1）1的任何次幂；
（2）－1的偶次幂；
（3）非零数的0次幂。
—特别提醒
单项式除以单项式分为三个步骤：
（1）系数相除；
（2）同底数幂相除；
（3）只在被除式里含有的字母，连同它的指数直接作为商的一个因式。
$= -27 × (-\dfrac{2}{3})x^{12-n}y^{9-2}$
$= 18x^{12-n}y^7$
$= -mx^8y^7$。
所以$-m = 18$，$12 - n = 8$。
解得$m = -18$，$n = 4$。
答案
相除 指数
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的基础运算法则，解题时只需回忆对应法则内容即可：单项式相除时需分三部分处理，一是系数部分相除，二是同底数幂分别相除，这两部分均作为商的因式；三是仅在被除式中存在的字母，无需做除法运算，直接将该字母连同它的指数共同作为商的一个因式，对应即可填出空缺内容。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。因此第一个空填“相除”，第二个空填“指数”。
【答案】
相除 指数
【知识点】
单项式除以单项式法则、整式的除法
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重对单项式除法运算规则的识记考查，牢记相关法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式除以单项式的基础运算法则，解题时只需回忆对应法则内容即可：单项式相除时需分三部分处理，一是系数部分相除，二是同底数幂分别相除，这两部分均作为商的因式；三是仅在被除式中存在的字母，无需做除法运算，直接将该字母连同它的指数共同作为商的一个因式，对应即可填出空缺内容。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。因此第一个空填“相除”，第二个空填“指数”。
【答案】
相除 指数
【知识点】
单项式除以单项式法则、整式的除法
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重对单项式除法运算规则的识记考查，牢记相关法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
