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22. 如图，长方形$ABCD$的长为4，宽为2. 请在图中建立适当的直角坐标系，并写出$A$，$B$，$C$，$D$的坐标.
答案
【解析】：以点$B$为坐标原点，分别以$BC$，$BA$所在直线为$x$轴，$y$轴建立直角坐标系。
已知长方形$ABCD$的长$BC = 4$，宽$AB=2$。
根据坐标的定义：点$B$在原点，其坐标为$(0,0)$；
点$A$在$y$轴上，且$AB = 2$，所以$A$的坐标为$(0,2)$；
点$C$在$x$轴上，且$BC = 4$，所以$C$的坐标为$(4,0)$；
点$D$的横坐标与$C$相同为$4$，纵坐标与$A$相同为$2$，所以$D$的坐标为$(4,2)$。
【答案】：以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立直角坐标系，$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,2)$。
已知长方形$ABCD$的长$BC = 4$，宽$AB=2$。
根据坐标的定义：点$B$在原点，其坐标为$(0,0)$；
点$A$在$y$轴上，且$AB = 2$，所以$A$的坐标为$(0,2)$；
点$C$在$x$轴上，且$BC = 4$，所以$C$的坐标为$(4,0)$；
点$D$的横坐标与$C$相同为$4$，纵坐标与$A$相同为$2$，所以$D$的坐标为$(4,2)$。
【答案】：以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立直角坐标系，$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,2)$。
23. $\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出与$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出所得像的各顶点坐标；
(2)将$\triangle ABC$向下平移3个单位长度，画出平移后的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出所得像的各顶点坐标.
(1)作出与$\triangle ABC$关于$y$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，并写出所得像的各顶点坐标；
(2)将$\triangle ABC$向下平移3个单位长度，画出平移后的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，并写出所得像的各顶点坐标.
答案
【解析】：
(1) 关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。
已知$A(-2,3)$，$B(-3,2)$，$C(-1,1)$，则$A_1(2,3)$，$B_1(3,2)$，$C_1(1,1)$，然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$A_1C_1$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2) 向下平移$3$个单位长度，各点纵坐标减$3$，横坐标不变。
$A(-2,3)$向下平移$3$个单位得$A_2(-2,0)$；$B(-3,2)$向下平移$3$个单位得$B_2(-3,-1)$；$C(-1,1)$向下平移$3$个单位得$C_2(-1,-2)$，然后连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$A_2C_2$得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
【答案】：
(1) $A_{1}(2,3)$，$B_{1}(3,2)$，$C_{1}(1,1)$
(2) $A_{2}(-2,0)$，$B_{2}(-3,-1)$，$C_{2}(-1,-2)$
(1) 关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。
已知$A(-2,3)$，$B(-3,2)$，$C(-1,1)$，则$A_1(2,3)$，$B_1(3,2)$，$C_1(1,1)$，然后连接$A_1B_1$，$B_1C_1$，$A_1C_1$得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2) 向下平移$3$个单位长度，各点纵坐标减$3$，横坐标不变。
$A(-2,3)$向下平移$3$个单位得$A_2(-2,0)$；$B(-3,2)$向下平移$3$个单位得$B_2(-3,-1)$；$C(-1,1)$向下平移$3$个单位得$C_2(-1,-2)$，然后连接$A_2B_2$，$B_2C_2$，$A_2C_2$得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
【答案】：
(1) $A_{1}(2,3)$，$B_{1}(3,2)$，$C_{1}(1,1)$
(2) $A_{2}(-2,0)$，$B_{2}(-3,-1)$，$C_{2}(-1,-2)$
24. 已知：直线$l_{1}:y=2x+m$经过点$(-3,-2)$，它与$x$轴，$y$轴分别交于点$B$，点$A$；直线$l_{2}:y=kx+b$经过点$(2,-2)$，且与$y$轴交于点$C(0,-3)$，它与$x$轴交于点$D$.
(1)求直线$l_{1}$，$l_{2}$的解析式；
(2)若直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点$P$，求$S_{\triangle ACP}:S_{\triangle ACD}$的值.
(1)求直线$l_{1}$，$l_{2}$的解析式；
(2)若直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点$P$，求$S_{\triangle ACP}:S_{\triangle ACD}$的值.
答案
【解析】：
### $(1)$求直线$l_{1}$，$l_{2}$的解析式
**求直线$l_{1}$的解析式：**
已知直线$l_{1}:y = 2x + m$经过点$(-3,-2)$，将点$(-3,-2)$代入$y = 2x + m$中，可得：
$-2=2\times(-3)+m$
$-2=-6 + m$
移项可得$m=-2 + 6=4$
所以直线$l_{1}$的解析式为$y = 2x + 4$。
**求直线$l_{2}$的解析式：**
已知直线$l_{2}:y = kx + b$经过点$(2,-2)$和$C(0,-3)$，将这两点代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}b=-3\\2k + b=-2\end{cases}$
把$b = -3$代入$2k + b=-2$，得$2k-3=-2$
移项可得$2k=-2 + 3 = 1$，解得$k=\frac{1}{2}$
所以直线$l_{2}$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-3$。
### $(2)$求$S_{\triangle ACP}:S_{\triangle ACD}$的值
**求$A$点坐标：**
对于直线$l_{1}:y = 2x + 4$，令$x = 0$，则$y=4$，所以$A(0,4)$。
**求$P$点坐标：**
联立$l_{1}$与$l_{2}$的方程$\begin{cases}y = 2x + 4\\y=\frac{1}{2}x-3\end{cases}$
即$2x + 4=\frac{1}{2}x-3$
移项可得$2x-\frac{1}{2}x=-3 - 4$
$\frac{3}{2}x=-7$，解得$x=-\frac{14}{3}$
把$x = -\frac{14}{3}$代入$y = 2x + 4$，$y=2\times(-\frac{14}{3})+4=-\frac{28}{3}+\frac{12}{3}=-\frac{16}{3}$，所以$P(-\frac{14}{3},-\frac{16}{3})$。
**求$D$点坐标：**
对于直线$l_{2}:y=\frac{1}{2}x-3$，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x-3=0$，$\frac{1}{2}x=3$，解得$x = 6$，所以$D(6,0)$。
**根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）求面积比：**
$\triangle ACP$与$\triangle ACD$有相同的底$AC$，$AC=4-(-3)=7$。
$\triangle ACP$以$AC$为底时，高$h_{1}$是点$P$横坐标的绝对值$\vert x_{P}\vert=\frac{14}{3}$；$\triangle ACD$以$AC$为底时，高$h_{2}$是点$D$横坐标$x_{D}=6$。
根据$S=\frac{1}{2}ah$（$a$相同），则$\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\times AC\times\vert x_{P}\vert}{\frac{1}{2}\times AC\times x_{D}}=\frac{\vert x_{P}\vert}{x_{D}}$
把$\vert x_{P}\vert=\frac{14}{3}$，$x_{D}=6$代入可得$\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{14}{3}}{6}=\frac{14}{3}\times\frac{1}{6}=\frac{7}{9}$。
【答案】：
$(1)$ $l_{1}$的解析式为$y = 2x + 4$，$l_{2}$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-3$；$(2)$ $\frac{7}{9}$。
### $(1)$求直线$l_{1}$，$l_{2}$的解析式
**求直线$l_{1}$的解析式：**
已知直线$l_{1}:y = 2x + m$经过点$(-3,-2)$，将点$(-3,-2)$代入$y = 2x + m$中，可得：
$-2=2\times(-3)+m$
$-2=-6 + m$
移项可得$m=-2 + 6=4$
所以直线$l_{1}$的解析式为$y = 2x + 4$。
**求直线$l_{2}$的解析式：**
已知直线$l_{2}:y = kx + b$经过点$(2,-2)$和$C(0,-3)$，将这两点代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}b=-3\\2k + b=-2\end{cases}$
把$b = -3$代入$2k + b=-2$，得$2k-3=-2$
移项可得$2k=-2 + 3 = 1$，解得$k=\frac{1}{2}$
所以直线$l_{2}$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-3$。
### $(2)$求$S_{\triangle ACP}:S_{\triangle ACD}$的值
**求$A$点坐标：**
对于直线$l_{1}:y = 2x + 4$，令$x = 0$，则$y=4$，所以$A(0,4)$。
**求$P$点坐标：**
联立$l_{1}$与$l_{2}$的方程$\begin{cases}y = 2x + 4\\y=\frac{1}{2}x-3\end{cases}$
即$2x + 4=\frac{1}{2}x-3$
移项可得$2x-\frac{1}{2}x=-3 - 4$
$\frac{3}{2}x=-7$，解得$x=-\frac{14}{3}$
把$x = -\frac{14}{3}$代入$y = 2x + 4$，$y=2\times(-\frac{14}{3})+4=-\frac{28}{3}+\frac{12}{3}=-\frac{16}{3}$，所以$P(-\frac{14}{3},-\frac{16}{3})$。
**求$D$点坐标：**
对于直线$l_{2}:y=\frac{1}{2}x-3$，令$y = 0$，则$\frac{1}{2}x-3=0$，$\frac{1}{2}x=3$，解得$x = 6$，所以$D(6,0)$。
**根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）求面积比：**
$\triangle ACP$与$\triangle ACD$有相同的底$AC$，$AC=4-(-3)=7$。
$\triangle ACP$以$AC$为底时，高$h_{1}$是点$P$横坐标的绝对值$\vert x_{P}\vert=\frac{14}{3}$；$\triangle ACD$以$AC$为底时，高$h_{2}$是点$D$横坐标$x_{D}=6$。
根据$S=\frac{1}{2}ah$（$a$相同），则$\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\times AC\times\vert x_{P}\vert}{\frac{1}{2}\times AC\times x_{D}}=\frac{\vert x_{P}\vert}{x_{D}}$
把$\vert x_{P}\vert=\frac{14}{3}$，$x_{D}=6$代入可得$\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{14}{3}}{6}=\frac{14}{3}\times\frac{1}{6}=\frac{7}{9}$。
【答案】：
$(1)$ $l_{1}$的解析式为$y = 2x + 4$，$l_{2}$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-3$；$(2)$ $\frac{7}{9}$。
