登录
1. 下列方程最适合用因式分解来解的是 ()
A.$(x-3)(x+1)=2$
B.$2(x-5)^{2}=x^{2}-25$
C.$y^{2}+3y-1=0$
D.$8(3-x)^{2}=5$
A.$(x-3)(x+1)=2$
B.$2(x-5)^{2}=x^{2}-25$
C.$y^{2}+3y-1=0$
D.$8(3-x)^{2}=5$
答案
B
解析
对于选项A，$(x - 3)(x + 1)=2$，将其化简为一般形式$x^{2}-2x - 5 = 0$，不能直接因式分解；
对于选项B，$2(x - 5)^{2}=x^{2}-25$，先将右边利用平方差公式变形为$2(x - 5)^{2}=(x + 5)(x - 5)$，然后移项可得$2(x - 5)^{2}-(x + 5)(x - 5)=0$，提取公因式$(x - 5)$得到$(x - 5)[2(x - 5)-(x + 5)]=0$，即$(x - 5)(x - 15)=0$，适合用因式分解法求解；
对于选项C，$y^{2}+3y - 1 = 0$，不能直接因式分解；
对于选项D，$8(3 - x)^{2}=5$，化简为一般形式$8x^{2}-48x + 67 = 0$，不能直接因式分解。
对于选项B，$2(x - 5)^{2}=x^{2}-25$，先将右边利用平方差公式变形为$2(x - 5)^{2}=(x + 5)(x - 5)$，然后移项可得$2(x - 5)^{2}-(x + 5)(x - 5)=0$，提取公因式$(x - 5)$得到$(x - 5)[2(x - 5)-(x + 5)]=0$，即$(x - 5)(x - 15)=0$，适合用因式分解法求解；
对于选项C，$y^{2}+3y - 1 = 0$，不能直接因式分解；
对于选项D，$8(3 - x)^{2}=5$，化简为一般形式$8x^{2}-48x + 67 = 0$，不能直接因式分解。
2. 当用公式法解方程$2x^{2}-1=3x$时，$b^{2}-4ac$的值为 ()
A.2
B.-3
C.17
D.-1
A.2
B.-3
C.17
D.-1
答案
C
解析
将方程 $2x^2 - 1 = 3x$ 整理为标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$，即 $2x^2 - 3x - 1 = 0$。
其中 $a = 2$，$b = -3$，$c = -1$。
计算判别式 $b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 2 × (-1) = 9 + 8 = 17$。
其中 $a = 2$，$b = -3$，$c = -1$。
计算判别式 $b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 2 × (-1) = 9 + 8 = 17$。
3. 方程$x^{2}-x=56$的根是 ()
A.$x_{1}=7,x_{2}=8$
B.$x_{1}=7,x_{2}=-8$
C.$x_{1}=-7,x_{2}=8$
D.$x_{1}=-7,x_{2}=-8$
A.$x_{1}=7,x_{2}=8$
B.$x_{1}=7,x_{2}=-8$
C.$x_{1}=-7,x_{2}=8$
D.$x_{1}=-7,x_{2}=-8$
答案
C
解析
将方程$x^{2}-x=56$移项得$x^{2}-x - 56 = 0$，
对$x^{2}-x - 56$进行因式分解，
根据十字相乘法可得$x^{2}-x - 56=(x - 8)(x + 7)$，
则原方程可化为$(x - 8)(x + 7)=0$，
要使两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，
所以$x - 8 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-7$。
对$x^{2}-x - 56$进行因式分解，
根据十字相乘法可得$x^{2}-x - 56=(x - 8)(x + 7)$，
则原方程可化为$(x - 8)(x + 7)=0$，
要使两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$，
所以$x - 8 = 0$或$x + 7 = 0$，
解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-7$。
4. 若关于x的一元二次方程$(a+3)x^{2}-ax+9-a^{2}=0$的一个根为$x=0$，则a的值为.
答案
3
解析
将$x=0$代入方程$(a + 3)x^2 - ax + 9 - a^2 = 0$，得$9 - a^2 = 0$，解得$a = ±3$。因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a + 3 ≠ 0$，即$a ≠ -3$，故$a = 3$。
5. 对于任意实数a、b，定义一种运算：$a※b=a^{2}+b^{2}-ab$，等式右边为通常的混合运算. 若$x※(x - 1)=3$，则x的值为.
答案
$2$或$-1$（或 填 $\boxed{-1\ 或\ 2}$ 的形式，根据具体填写要求）
解析
根据题意，将$x※(x - 1)=3$转化为方程：
$x^{2}+(x-1)^{2}-x(x-1)=3$，
展开并整理得：
$x^{2}+x^{2}-2x+1-x^{2}+x-3=0$，
合并同类项：
$x^{2}-x-2=0$，
因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$，
解得：
$x=2$或$x=-1$。
$x^{2}+(x-1)^{2}-x(x-1)=3$，
展开并整理得：
$x^{2}+x^{2}-2x+1-x^{2}+x-3=0$，
合并同类项：
$x^{2}-x-2=0$，
因式分解得：
$(x-2)(x+1)=0$，
解得：
$x=2$或$x=-1$。
6. 用适当的方法解下列方程：
（1）$x^{2}+2\sqrt{2}x+2=0$；
（2）$x^{2}-2x-399=0$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$.
（1）$x^{2}+2\sqrt{2}x+2=0$；
（2）$x^{2}-2x-399=0$；
（3）$3x^{2}=2(2-x)$；
（4）$(3y+2)^{2}-4y^{2}=0$.
答案
（1）原方程可化为$(x+\sqrt{2})^2=0$，开平方得$x+\sqrt{2}=0$，解得$x_1=x_2=-\sqrt{2}$。
（2）移项得$x^2-2x=399$，配方得$(x-1)^2=400$，开平方得$x-1=\pm20$，解得$x_1=21$，$x_2=-19$。
（3）化为一般式$3x^2+2x-4=0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$\Delta=2^2-4×3×(-4)=52$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$。
（4）因式分解得$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$，即$(y+2)(5y+2)=0$，则$y+2=0$或$5y+2=0$，解得$y_1=-2$，$y_2=-\frac{2}{5}$。
（2）移项得$x^2-2x=399$，配方得$(x-1)^2=400$，开平方得$x-1=\pm20$，解得$x_1=21$，$x_2=-19$。
（3）化为一般式$3x^2+2x-4=0$，$a=3$，$b=2$，$c=-4$，$\Delta=2^2-4×3×(-4)=52$，$x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{3}$，解得$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{3}$。
（4）因式分解得$(3y+2-2y)(3y+2+2y)=0$，即$(y+2)(5y+2)=0$，则$y+2=0$或$5y+2=0$，解得$y_1=-2$，$y_2=-\frac{2}{5}$。
7. 若直角三角形的两边长分别是方程$x^{2}-7x+12=0$的两根，则该直角三角形的面积是 ()
A.6
B.12
C.12或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
A.6
B.12
C.12或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
答案
D
解析
解方程$x^2 - 7x + 12 = 0$，因式分解得$(x - 3)(x - 4) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 4$，即直角三角形两边长为3和4。
情况1：3和4为直角边，面积$S = \frac{1}{2}×3×4 = 6$；
情况2：4为斜边，3为直角边，另一直角边为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，面积$S = \frac{1}{2}×3×\sqrt{7} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$。
综上，面积为6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
情况1：3和4为直角边，面积$S = \frac{1}{2}×3×4 = 6$；
情况2：4为斜边，3为直角边，另一直角边为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，面积$S = \frac{1}{2}×3×\sqrt{7} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$。
综上，面积为6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
8. (整体思想)已知$(x+y)(x+y+2)-8=0$，则$x+y$的值是 ()
A.-4或2
B.-2或4
C.2或-3
D.3或-2
A.-4或2
B.-2或4
C.2或-3
D.3或-2
答案
A
解析
设 $x + y = t$，则原方程 $(x+y)(x+y+2)-8=0$ 可化为：
$t(t + 2) - 8 = 0$，
展开得：
$t^2 + 2t - 8 = 0$，
因式分解得：
$(t - 2)(t + 4) = 0$，
解得：
$t_1 = 2, \quad t_2 = -4$，
将 $t$ 的值回代到 $x + y = t$，得到 $x + y$ 的两个可能值为 $2$ 或 $-4$。
$t(t + 2) - 8 = 0$，
展开得：
$t^2 + 2t - 8 = 0$，
因式分解得：
$(t - 2)(t + 4) = 0$，
解得：
$t_1 = 2, \quad t_2 = -4$，
将 $t$ 的值回代到 $x + y = t$，得到 $x + y$ 的两个可能值为 $2$ 或 $-4$。
9. (2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为.
答案
$1 + \sqrt{2}$（或写为文字“一加根号二”对应的选项）
解析
由题意知，正确计算应为 $a^2$，而淇淇误算为 $2a$。
根据题意，误算的结果比正确答案小1，所以有：
$a^2 - 2a = 1$，
整理得：
$a^2 - 2a - 1 = 0$。
利用一元二次方程的求根公式 $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1, b = -2, c = -1$，代入得：
$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 × 1 × (-1)}}{2 × 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。
由于题目要求 $a$ 为正数，所以 $a = 1 + \sqrt{2}$（舍去负值）。
但考虑到初中阶段可能未学习完全的一元二次方程通解公式，可通过配方法求解：
$a^2 - 2a - 1 = (a-1)^2 - 2 = 0$，
$(a-1)^2 = 2$，
$a-1 = \pm \sqrt{2}$，
由于 $a$ 为正数，所以 $a = 1 + \sqrt{2}$。
根据题意，误算的结果比正确答案小1，所以有：
$a^2 - 2a = 1$，
整理得：
$a^2 - 2a - 1 = 0$。
利用一元二次方程的求根公式 $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a = 1, b = -2, c = -1$，代入得：
$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 × 1 × (-1)}}{2 × 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。
由于题目要求 $a$ 为正数，所以 $a = 1 + \sqrt{2}$（舍去负值）。
但考虑到初中阶段可能未学习完全的一元二次方程通解公式，可通过配方法求解：
$a^2 - 2a - 1 = (a-1)^2 - 2 = 0$，
$(a-1)^2 = 2$，
$a-1 = \pm \sqrt{2}$，
由于 $a$ 为正数，所以 $a = 1 + \sqrt{2}$。
10. (化归思想)已知$m^{2}+mn-n^{2}=0$，且$mn≠0$，则$\frac{n}{m}$的值为.
答案
$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$（写为两个值$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ，按题目要求填答案形式，这里若用选项形式需题目给选项，本题按要求直接写值则填$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$相关正确呈现，若非要按给定格式填类似选项字母无对应，可理解为答案写$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ ）
解析
由已知条件$m^{2}+mn-n^{2}=0$，因为$mn\neq0$，所以$m\neq0$，$n\neq0$。
方程两边同时除以$m^{2}$，设$\frac{n}{m}=x$，则原方程可化为$1 + x - x^{2}=0$，即$x^{2}-x - 1=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
方程两边同时除以$m^{2}$，设$\frac{n}{m}=x$，则原方程可化为$1 + x - x^{2}=0$，即$x^{2}-x - 1=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），这里$a = 1$，$b=-1$，$c = - 1$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
