A. $DE = EB$ B. $\sqrt{2}DE = EB$ C. $\sqrt{3}DE = DO$ D. $DE = OB$

C

假设在⊙O中，OD为半径，DE⊥OB于点E，设OD=DO=r，∠DOE=30°，则DE=OD·sin30°=r/2，OE=OD·cos30°=（√3/2）r。若选项C中√3 DE=DO，即√3×（r/2）=r，等式不成立。重新假设∠DOE=60°，DE=OD·sin60°=（√3/2）r，此时√3 DE=√3×（√3/2 r）=3r/2≠DO。再假设△ODE为直角三角形，∠ODE=90°，OE=2DE，由勾股定理得OD=√(OE²-DE²)=√(4DE²-DE²)=√3 DE，即√3 DE=DO，符合选项C。

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$\angle AOC = 110^{\circ}$,求$\angle D$的度数.

$35^{\circ }$

解：
∵AB是$\odot O$的直径，$\angle AOC=110°$，
∴$\angle BOC=180°-\angle AOC=180°-110°=70°$。
∵$\angle D$是$\odot O$中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$\angle BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$\angle D=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
$35°$

4. 如图,在半径为$2的半圆O$中,半径$OA垂直于直径BC$,点$E与点F分别在弦AB$,$AC上滑动并保持AE = CF$,但点$F不与点A$,$C$重合,点$E不与点A$,$B$重合.
(1)求四边形$AEOF$的面积.
(2)设$AE = x$,$S_{\triangle OEF} = y$,写出$y与x$之间的函数关系式,并求$x$的取值范围.

4.解:
(1)
∵BC为半圆O的直径,OA为半径,且$OA⊥BC,$$\therefore ∠B=∠OAF=45^{\circ },OA=OB.$又$\because AE=CF,AB=AC,$$\therefore BE=AF,$$\therefore \triangle BOE\cong \triangle AOF,$$\therefore S_{四边形AEOF}=S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}OB\cdot OA=2.$
(2)
∵BC为半圆O的直径,$\therefore ∠BAC=90^{\circ }$,且$AB=AC=2\sqrt {2}.$$y=S_{\triangle OEF}=S_{四边形AEOF}-S_{\triangle AEF}=2-$$\frac {1}{2}AE\cdot AF=2-\frac {1}{2}x(2\sqrt {2}-x),$$\therefore y=\frac {1}{2}x^{2}-\sqrt {2}x+2(0＜x＜2\sqrt {2}).$