19. (★)(2023·河南)如图 24.1-49,点$A,B,C在\odot O$上,若$\angle C = 55^{\circ}$,则$\angle AOB$的度数为【】

A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

D

∵点A,B,C在⊙O上，∠C=55°，∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴∠AOB=2∠C=2×55°=110°。

20. (★★)(2023·青岛)如图 24.1-50,四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,$BE平分\angle ABC$,$A是\overset{\LARGE{\frown}}{BE}$的中点,若$\angle D = 110^{\circ}$,则$\angle AEB$的度数是【】

A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

B

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=110°，
∴∠ABC=180°-∠D=70°（圆内接四边形对角互补）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=∠ABC/2=35°．
∵A是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$（弧中点定义）．
∴∠AEB=∠ABE=35°（等弧所对的圆周角相等）．

21. (★★★)(2023·北京)如图 24.1-51,圆内接四边形$ABCD的对角线AC,BD交于点E$,$BD平分\angle ABC$,$\angle BAC = \angle ADB$.
(1)求证：$DB平分\angle ADC$,并求$\angle BAD$的大小；
(2)过点$C作CF// AD交AB的延长线于点F$,若$AC = AD$,$BF = 2$,求此圆半径的长.

(1) ∠BAD=90°；(2) 半径为4。

(1) 证明：
∵∠BAC=∠ADB，∠ADB=∠ACB（同弧AB所对圆周角相等），
∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
∵∠CDB=∠CAB（同弧CB所对圆周角相等），∠BAC=∠ADB，
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC。
求∠BAD：
设∠ABD=∠CBD=α，∠BAC=∠ACB=β，
在△ABC中，2α+2β=180°，得α+β=90°。
∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAD=∠CBD=α（同弧CD所对圆周角相等），
∴∠BAD=α+β=90°。
(2)
∵CF//AD，∠BAD=90°，∴∠F=90°，∠FCA=∠CAD。
AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2∠ADB=2β。
在△ACD中，α+4β=180°，又α+β=90°，解得β=30°，α=60°。
设AB=BC=x，在Rt△ABD中，BD=2AB=2x，AD=AB·tan60°=x√3=AC。
在△ABC中，AC²=2x²-2x²cos120°=3x²，AC=x√3（成立）。
在Rt△AFC中，AF=AC·cos30°=3x/2，AF=AB+BF=x+2，
∴3x/2=x+2，解得x=4。
∵∠BAD=90°，∴BD为直径，BD=2x=8，半径为4。