5. 如图,两个等腰直角三角形 ADC 与 EDG,连接 AG,CE 相交于点 H。
(1) 试说明 $ AG = CE $；
(2) 求 $ \angle AHC $ 的度数。

解：（1）因为三角形ADC与三角形EDG是等腰直角三角形，所以AD=CD，GD=ED，∠ADC=∠GDE=90°。所以∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，即∠ADG=∠CDE。在△ADG和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ ∠ADG=∠CDE,\\ DG=DE,\end{array}\right. $所以△ADG≌△CDE(SAS)。所以AG=CE。（2）设AG，CD的交点为K，因为△ADG≌△CDE，所以∠DCE=∠DAG。因为∠AKD=∠CKH，∠ADC=90°，所以∠AHC=∠ADC=90°。

6. 如图,在方格纸中,以 AB 为一边作 $ \triangle ABP $,使之与 $ \triangle ABC $ 全等,从点 $ P_1 $,$ P_2 $,$ P_3 $,$ P_4 $ 四个点中找出符合条件的点 P,则点 P 有()。

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

C

解：
1. 设方格边长为1，建立坐标系，令$A(0,0)$，则$B(4,0)$，$C(1,2)$。
2. $\triangle ABC$的边长：$AB=4$，$AC=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(4-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}$。
3. 分别计算各点与$A$、$B$的距离：
$P_1(1,-2)$：$AP_1=\sqrt{(1-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{5}$，$BP_1=\sqrt{(4-1)^2+(0+2)^2}=\sqrt{13}$，符合全等条件。
$P_2(3,-1)$：$AP_2=\sqrt{(3-0)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{10}\neq\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$，不符合。
$P_3(3,-2)$：$AP_3=\sqrt{(3-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{13}$，$BP_3=\sqrt{(4-3)^2+(0+2)^2}=\sqrt{5}$，符合全等条件。
$P_4(3,2)$：$AP_4=\sqrt{(3-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}$，$BP_4=\sqrt{(4-3)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$，符合全等条件。
4. 符合条件的点为$P_1$、$P_3$、$P_4$，共3个。
答案：C

7. 如图(1),已知 $ AB = AC $,点 D 为 $ \angle BAC $ 的平分线上的一点,连接 BD,CD；如图(2),已知 $ AB = AC $,点 D,E 为 $ \angle BAC $ 的平分线上的两点,连接 BD,CD,BE,CE；如图(3),已知 $ AB = AC $,点 D,E,F 为 $ \angle BAC $ 的平分线上的三点,连接 BD,CD,BE,CE,BF,CF……照此规律,第 n 个图形中有全等三角形的对数是对。

$\frac{n(n+1)}{2}$

8. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,延长 AC 边上的中线 BE 到点 G,使 $ EG = BE $,延长 AB 边上的中线 CD 到点 F,使 $ DF = CD $,连接 AF,AG。
(1) 补全图形。
(2) AF 与 AG 的大小关系如何? 给出你的理由。
(3) 点 F,A,G 的位置关系如何? 给出你的理由。

解：（1）略（2）AF=AG。理由如下：在△AFD和△BCD中，因为FD=CD，∠ADF=∠BDC，AD=BD，所以△AFD≌△BCD(SAS)。所以AF=BC。同理可得，AG=BC。所以AF=AG。（3）点F，A，G三点共线。理由如下：因为△AFD≌△BCD，△AGE≌△CBE，所以∠FAB=∠ABC，∠GAC=∠ACB。因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°，即点F，A，G三点共线。

（1）（补全图形略）
（2）AF=AG。理由如下：
在△AFD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}FD=CD \\\angle ADF=\angle BDC \\AD=BD\end{array}\right.$
∴△AFD≌△BCD(SAS)，
∴AF=BC。
同理，在△AGE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}EG=BE \\\angle AEG=\angle CEB \\AE=CE\end{array}\right.$
∴△AGE≌△CBE(SAS)，
∴AG=BC。
∴AF=AG。
（3）点F，A，G三点共线。理由如下：
∵△AFD≌△BCD，
∴∠FAB=∠ABC。
∵△AGE≌△CBE，
∴∠GAC=∠ACB。
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠FAB+∠BAC+∠GAC=180°，
即点F，A，G三点共线。

9. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 5 $,中线 $ AD = 7 $,求 AB 的取值范围。

解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。在△EDB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l} DB=DC,\\ ∠BDE=∠ADC,\\ DE=AD,\end{array}\right. $所以△EDB≌△ADC(SAS)，所以BE=AC=5，AE=2AD=14。在△ABE中，AE - BE ＜ AB ＜ AE + BE，即9 ＜ AB ＜ 19。

解：延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
在$\triangle EDB$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}DB = DC, \\\angle BDE = \angle ADC, \\DE = AD,\end{cases}$
所以$\triangle EDB \cong \triangle ADC(SAS)$，则$BE = AC = 5$。
因为$AD = 7$，所以$AE = AD + DE = 7 + 7 = 14$。
在$\triangle ABE$中，由三角形三边关系得：$AE - BE ＜ AB ＜ AE + BE$，即$14 - 5 ＜ AB ＜ 14 + 5$，所以$9 ＜ AB ＜ 19$。